Урок по математике по теме «Понятие логарифма»

Урок алгебры в 10 классе

"Понятие логарифма"

( уч. С.М. Никольского Алгебра и начала

математического анализа 10)

Цели урока: дать понятие логарифма и его простейшие свойства, выработать умения работать с простейшими логарифмическими выражениями, продолжить работу по выдвижению гипотез, а также умению опровергать или подтверждать их, умению самостоятельно формулировать математические предложения; учить осуществлять самоконтроль и самооценку.

План урока:

- оргмомент(I)

- устный счёт(II)

- формулирование темы урока и работа над новым материалом(III)

- выполнение упражнений(IV)

- подведение итогов(V)

Оборудование: доска, мультимедийный проектор, экран.

Ход урока.

I На сегодняшнем уроке нам предстоит познакомиться с новым математическим понятием, значение которого трудно переоценить, знание которого пригодится нам как для непосредственных расчётов, в том числе по физике и астрономии, так и решения уравнений и неравенств, а также на итоговой аттестации - ЕГЭ.

Но для этого нам необходимо вспомнить такие понятия, как степень с рациональным показателем и способы её нахождения.

II Устный счёт.

На экране - таблица с рядами примеров по нахождению степени числа:

В тетрадях учащиеся должны записать ответы на месте каждого примера. После чего на экране появляется таблица ответов, с помощью которой учащиеся проверяют правильность своих ответов и делают вывод о причинах возможных неправильных ответах.

III На сегодняшнем уроке мы познакомимся с новым понятием, которое расширит наши возможности в решении уравнений.

Учащимся предлагается решить уравнения:

;

Если при решении подобных уравнений обычно не возникает затруднений, то при решении уравнений мы не можем пока дать ответа.

Перед учащимися встаёт проблема: найти решение уравнения . Каким способом можно будет это сделать?

Учащиеся предлагают графический способ, т.е., построив в одной системе координат графики уравнений и найдя абсциссу точки пересечения этих графиков, дать ответ на поставленный вопрос. Учащиеся выполняют необходимые построения в тетрадях. Графики имеют единст-венную точку пересечения, значит, уравнение будет иметь единственное решение.

Можно ли указать точное решение этого уравнения?

- Нет, только приближённое.

Поэтому, чтобы указать точное решение, мы должны ввести новое понятие и новый символ - логарифм. Это и будет темой нашего сегодняшнего урока. (Можно вспомнить также, что с необходимостью введения нового понятия и нового символа мы сталкивались при решении квадратных уравнений вида , когда недостаточность математического аппарата не позволяла нам получить точные решения и приводила к необходимости его расширения через введение нового математического понятия и символа - арифметического квадратного корня)

Итак, решая уравнение , мы пришли к выводу, что x должен быть таким числом, показателем степени, при возведении в которую числа 2, мы получим число 5. Таким показателем степени называют логарифм числа 5 по основанию 2 и записывают: x = log₂5. В данном случае по значению степени с некоторым основанием мы находим п о к а з а т е л ь этой степени, т.е. выполняем операцию, обратную возведению в степень.

Таким образом, если в выражении необходимо найти x, мы воспользуемся логарифмом: _a b. Давайте подумаем, для любого ли числа b можно определить логарифм?

Нет, только для .

Почему?

Потому что для (как следует из определения показательной функции).

То есть, ограничения накладываются не только на число b, но и на число a. Теперь можно дать точное определение логарифму:

Логарифмом числа b по основанию a( называют число , такое, что и обозначают α _a b. Число b называют подлогарифмическим выражением.

При определении логарифма мы использовали понятие, свойства и график показательной функции. Какая связь существует между ними?

- Нахождение логарифма является как бы противоположным действием, у них меняются местами независимая переменная и зависимая.

Да. В дальнейшем, когда мы познакомимся с логарифмической функцией. Мы увидим, как тесно она связана с функцией .

Надо отметить, что логарифмы как инструмент математических вычислений возникли в эпоху Возрождения для упрощения колоссальных расчётов. Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление - на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас(выдающийся французский математик, физик и астроном) говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь». Именно на свойстве логарифмов основана работа логарифмической линейки, которая долгое время до вытеснения их калькуляторами служила универсальным счётным инструментом инженерам и техникам. Но и сегодня логарифмическая линейка не сброшена со счетов. Предлагаю вам самостоятельно изучить устройство и принцип работы логарифмической линейки, а также указать области её использования в наши дни.

Вернёмся к определению логарифма. Непосредственно из определения следует, что

.

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Также из определения следуют первые простейшие свойства логарифма:

IV Выполнение заданий из учебника №№ 5.3, 5.4 и 5.5(д-и)

Очень часто используются логарифмы с определёнными основаниями: 10 и е.

Логарифмы с этими основаниями называются соответственно десятичный и натуральный:

и

Выполнение заданий №№ 5.7(е-и), 5.8(е-и), 5.9(ж-м)

V Итак, сегодня мы познакомились с новым понятием - логарифм. Подведём итоги. Что такое логарифм? Для чего нужны логарифмы? Каковы его простейшие свойства?

Вводя понятие логарифма, мы расширяем круг решаемых задач не только в математике, но и физике, астрономии и пр., т.к. ранее решение этих задач было либо невозможно, либо слишком затруднительно.

Для закрепления нового материала нужно выполнить самостоятельно №№ 5.5 (а-г), 5.7, 5.8(а-д), 5.9(а-е)(домашнее задание)