- Преподавателю
- Математика
- К вопросу изучения построения сечений многогранников
К вопросу изучения построения сечений многогранников
Раздел | Математика |
Класс | 11 класс |
Тип | Статьи |
Автор | Луконина С.А. |
Дата | 29.01.2016 |
Формат | docx |
Изображения | Нет |
К вопросу изучения построения сечений многогранников.
Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.
Данный материал характеризуется следующим особенностями:
-
Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.
-
В задачах используются в основном простейшие многогранники.
-
Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.
Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:
-
что значит построить сечение многогранника плоскостью;
-
как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;
-
как задается плоскость;
-
когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.
Поскольку плоскость определяется:
-
тремя точками;
-
прямой и точкой;
-
двумя параллельными прямыми;
-
двумя пересекающимися прямыми,
построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.
Существует три основных метода построения сечений многогранников:
-
Метод следов.
-
Метод вспомогательных сечений.
-
Комбинированный метод.
Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.
Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:
-
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;
-
построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;
-
построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;
-
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;
-
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.
В федеральный перечень учебников по геометрии для 10-11 класов входят учебники авторов:
-
Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др (Геометрия, 10-11);
-
Погорелова А.В. (Геометрия, 7-11);
-
Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжик В.И. (Геометрия, 10-11);
-
Смирновой И.М. (Геометрия, 10-11);
-
Шарыгина И.Ф. (Геометрия, 10-11).
Рассмотрим подробнее учебники Л.С, Атанасяна и Погорелова А.В.
В учебнике Л.С. Атанасяна на тему "Построение сечений многогранников" выделено два часа. В 10 классе в теме "Параллельность прямых и плоскостей" после изучения тетраэдра и параллелепипеда отводится один час на изложение параграфа "Задачи на построение сечений". Рассматриваются сечения тетраэдра и параллелепипеда. И тема "Параллельность прямых и плоскостей" завершается решением задач на одном или двух часах (всего задач на построение сечений в учебнике восемь).
В учебнике Погорелова А.В. на построение сечений отводится около трех часов в главе "Многогранники": один - на изучение темы "Изображение призмы и построение ее сечений", второй - на изучение темы "Построение пирамиды и ее плоских сечений" и третий - на решение задач. В списке задач, приведенных после темы, задач на сечение насчитывается всего около десяти.
Мы изучаем вопрос по учебнику Погорелова А.В. На моём сайте можно найти конспект урока и презентацию к нему.
Материал предлагается расположить в той последовательности, в какой он может применяться для обучения учащихся. Из изложения темы "Многогранники" предлагается исключить следующие параграфы: "Построение сечений призмы" и "Построение сечений пирамиды" с тем, чтобы систематизировать данный материал в конце этой темы "Многогранники". Классифицировать его по тематике задач с примерным соблюдением принципа "от простого к сложному" можно весьма условно следующим образом:
-
Определение сечения многогранников.
-
Построение сечений призмы, параллелепипеда, пирамиды методом следов. (Как правило в школьном курсе стереометрии используются задачи на построение сечений многогранников, решаемые основными методами. Остальные методы, в связи с их более высоким уровнем сложности, учитель может оставить для рассмотрения на факультативных занятиях или на самостоятельное изучение. В задачах на построение основными методами требуется построить плоскость сечения, проходящую через три точки).
-
Нахождение площади сечений в многогранниках (без использования теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).
-
Нахождение площади сечений в многогранниках (с применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).