Тест по математике для 10-11 классов

«Пирамида».

Тест - одна из самых популярных форм контроля знаний учащихся. Он помогает учителю за сравнительно короткий промежуток времени определить уровень усвоения материала учащимися и корректировки процесса обучения в соответствии с требованиями образовательных стандартов. Ученик получает возможность провести самоконтроль знаний.

Задания данного теста предназначены для проверки уровня знаний, умений и навыков по теме: «Пирамида».

Задания данного теста соответствуют теории в пределах учебного материала за 10-11 классы. Тест позволяют оценить степень и качество усвоения материала по теме «Пирамида» и может помочь выпускникам при подготовке к ЕГЭ в 11 классе. Тест может быть использован на уроке для фронтальной работы, работы в парах, самоконтроля.

В тесте представлены основные теоретические сведения, двадцать шесть задач и ответы к ним.

Тест разделён на три блока.

В первом блоке обратить внимание на задачи №4 и №5. Задание №9 довольно сложное для среднего ученика, его желательно разобрать подробно.

Во втором блоке задание №14 аналогично заданию №9.

Задачи второго и третьего блока можно предложить для самопроверки заданий профильного уровня по теме: «Пирамида».

В тестах использованы задания для подготовки к ЕГЭ ( базовый и профильный уровень).

Варианты сформированы из заданий, взятых из официальных источников:

- ЕГЭ портал 4ege.ru,

- math.reshuege.ru/ Образовательный портал для подготовки к экзаменам Дмитрия Гущина,

- тренировочные варианты от А.А. Ларина.

Пирамида.

Основные теоретические сведения.

Элементы пирамид

боковые грани - треугольники, сходящиеся в вершине;

боковые ребра - общие стороны боковых граней;

вершина пирамиды - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

высота - отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания

диагональное сечение пирамиды - сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

основание - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник.

NO - высота пирамиды.

O - середина гипотенузы АВ.

O - центр описанной окружности.

OC = OA = OB.

Если все боковые рёбра равны, то:

• вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;

• боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;

• высоты боковых граней равны;

• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а ее высота падает в центр основания.

Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины.

Свойства правильной пирамиды:

• боковые рёбра правильной пирамиды равны;

• в правильной пирамиде все боковые грани - равные равнобедренные треугольники;

• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;

• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где n - количество сторон многоугольника основания;

DO - высота пирамиды.

DAO - угол между боковым ребром и плоскостью основания.

DKO - угол между боковой гранью и плоскостью основания.

DK - апофема.

NO - высота пирамиды,

NDO - угол между боковым ребром и плоскостью основания

NKO - угол между боковой гранью и плоскостью основания

NK - апофема.

Формулы

где - площадь основания и - высота;

Объём треугольной пирамиды может быть вычислен по формуле:

где - скрещивающиеся рёбра , - расстояние между и , - угол между и ;

• Боковая поверхность - это сумма площадей боковых граней:

• Полная поверхность - это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

• Площадь боковой поверхности в правильной пирамиде:

где - апофема , - периметр основания, - число сторон основания, - боковое ребро, - плоский угол при вершине пирамиды.

Тетраэдр.

Тетраэдром называется треугольная пирамида.

• В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

• Существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр».

• Правильная треугольная пирамида - это пирамида с правильным треугольником в основании (боковые грани - равнобедренные треугольники).

• Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани - правильные треугольники.

Тест «Пирамида».

1

№ 27069

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

2

№ 27086

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

3

№ 27088.

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

4

№ 27110.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

5

№ 27116.

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

6

№ 27171.

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4.

7

№ 27178.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

8

№ 27180.

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

9

№ 509117.

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды.

Тест «Пирамида».

10

№ 245353

Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

11

№ 284349

В правильной четырехугольной пирамиде точка - центр основания, вершина, , . Найдите длину отрезка .

12

№ 318146.

В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно 5, сторона основания равна . Найдите объём пирамиды.

13

№ 324450.

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

14

№ 509088

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды.

15

№ 27070.

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

16

№ 27087

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

17

№ 501189.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М - середины ребер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания AВС.

Тест «Пирамида».

18

№27109.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем

19

№ 27111.

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

20

№ 27155.

Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

21

№ 27176.

Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание - прямоугольник со сторонами 3 и 4.

22

№ 27179

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

23

№ 27181.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите объем пирамиды.

24

№ 284348.

В правильной четырехугольной пирамиде точка - центр основания, вершина, , Найдите боковое ребро .

25

№ 284350.

В правильной четырехугольной пирамиде точка - центр основания, вершина, , . Найдите длину отрезка .

26

№ 27074.

Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

Ответы к тесту «Пирамида».

1

№ 27069

2

№ 27086

3

№ 27088

4

№ 27110

5

№ 27116

6

№ 27171.

7

№ 27178.

8

№ 27180.

9

№ 509117.

340

4

3

48

10

60

13

7

8

10

№ 245353

11

№ 284349

12

№ 318146.

13

№ № 324450

14

№ 509088

15

№ 27070.

16

№ 27087

17

№ 501189.

27

4

24

0,25

11

360

0,25

6,5

18

№27109.

19

№ 27111.

20

№ 27155.

21

№ 27176.

22

№ 27179

23

№ 27181.

24

№ 284348.

25

№ 284350.

256

4,5

96

24

12

48

5

6