- Преподавателю
- Математика
- Задачи на проценты (Методические рекомендации)
Задачи на проценты (Методические рекомендации)
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Николаева В.М. |
Дата | 19.12.2014 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ
(по тестам ЕГЭ)
I. Сплавы; смеси
Часто в задачах В14 встречаются текстовые задачи с процентами. Приведу примеры таких задач и рекомендации по их решениям.
Задача №1. Смешаем 2 кг 15%-го водного раствора некоторого вещества с 8 кг 10%-го водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение
-
2 · 0,15 = 0,3 (кг) - вещество в I растворе;
-
8 · 0,1 = 0,8 (кг) - вещество во II растворе;
-
2 + 8 = 10 (кг) - I + II растворы;
-
0,3 + 0,8 = 1,1 (кг) - вещество вместе из I и II растворов;
-
- концентрация нового раствора.
Ответ: 11.
Пятое действие можно сделать по-другому. Составить пропорцию:
1,1 кг - х %
10 кг - 100 %
.
Задача №2. Эту задачу решим с помощью системы уравнений с двумя переменными.
Имеется два сосуда. Первый содержит 7,5 кг, а второй - 50 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 42% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 50% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Решение
-
75 + 50 = 125 (кг) -раствор, содержащий 42% кислоты
-
125 · 0,42 = 52,5 (кг) - вещество в новом растворе
-
Пусть х % - концентрация I раствора;
Тогда y % - концентрация II раствора;
В I растворе вещества 0,75x кг, а во II растворе 0,5y кг. Имеем первое уравнение 0,75x + 0,5y = 52,5.
Пусть во второй раз смешали одинаковые массы этих растворов 50 кг I-го раствора и 50 кг II-го раствора. Тогда имеем второе уравнение 0,5x + 0,5y = 50.
Решим систему уравнений способом сложения.
10% концентрация I раствора, тогда найдем кислоту в I растворе.
75 · 0,1 = 7,5 кг
Ответ: 7,5.
Задача №3. Имеется два сплава. Первый содержит 15% золота, а второй - 2% золота. Масса первого сплава 3 кг, масса второго - 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав. Найдите процентное содержание золота в полученном сплаве.
Решение
-
3 · 0,15 = 0,45 (кг) золота в I сплаве;
-
7 · 0,02 = 0,14 (кг) - золота во II сплаве;
-
3 + 7 = 10 (кг) - III сплав;
-
0,45 + 0,14 = 0,59 (кг) золота в III сплаве;
-
- процентное содержание золота в III сплаве.
Ответ: 5,9.
Задача №4. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 54 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
Решение
-
Найдем сначала сколько кг в изюме совсем без воды.
54 кг - 100 %
х кг - 95 %
(кг)
-
Теперь найдем вес винограда
51,3 кг - 10 %, т.к. воды 90%
х кг - 100 %
Ответ: 513 кг винограда.
II. Вклады; банки
Задача №1. Клиент А сделал вклад в банке в размере 8800 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А и Б закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А получил на 968 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?
Решение
Пусть р % годовых начислял банк. Тогда через два года клиент А получил 8800 (1 + 0,01 р)2 , а клиент Б через год получил 8800 (1 + 0,01 р). Разница равна 968 рублей.
8800 (1 + 0,01 р)2 - 8800 (1 + 0,01 р) = 968
1 + 0,01 р = х
8800 х2 - 8800 х - 968 = 0
100 х2 - 100 х - 11 = 0
D1 = 2500 + 1100 = 3600
1 + 0,01 р = 1,1
р = 10
Ответ: 10 %.
Задача №2. В понедельник акции компании подешевели на некоторое число процентов, а во вторник подорожали на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подешевели акции компании в понедельник?
Решение
Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили х руб. К вечеру понедельника они подешевели на р % и стали стоить . К вечеру вторника акции подорожали на р % и стали стоить . По условию, акции подешевели на 9%. Имеем уравнение
;
; р2 = 30.
Ответ: 30.
Задача №3. Компания «Дельта» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2008 году, имея капитал в размере 8000 долларов. Каждый год, начиная с 2009 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Омега» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2010 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2011 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2013 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение
Если вкладчик не снимет со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять р % уже на новую увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад Sо, но и на проценты, которые на него полагаются
.
Тогда получаем
Разница 1 944 000 - 640 000 = 1 304 000
Ответ: 1 304 000.
Задача №4. Акционерное общество израсходовало 20% своей годовой прибыли на реконструкцию производственной базы, 25% оставшихся денег потратило на строительство спортивного комплекса, выплатило 4 200 000 рублей дивидендов по акциям. После всех этих расходов осталось нераспределенной 0,1 прибыли. Сколько рублей составляла прибыль акционерного общества?
Решение
-
100% - 20% = 80% оставшиеся
-
80 · 0,25 = 20% от всей прибыли на строительство спортивного комплекса
-
20% + 20% = 40% на реконструкцию + на спортивный комплекс
-
100% - 40% = 60% осталась прибыль
-
Пусть х рублей годовая прибыль
0,6х = 4 200 000 + 0,1х
0,5х = 4 200 000
х = 8 400 000
Ответ: 8 400 000.