Конспект урока Квадратные уравнения

Урок алгебры 8 класс

Андрощук Е.З., учитель математики,

Городецкая О.Ш. р. Шал акына, СКО.

Тема: Квадратные уравнения.

Цель: Обобщение и систематизация знаний по теме.

Задачи:

Способствовать систематизации и закреплению знаний и навыков решения квадратных уравнений, использования теоремы Виета при решении упражнений.

Развивать познавательные интересы, память, воображение, логическое мышление, наблюдательность, вычислительные навыки, умение выделять общее и находить различия, проводить самоконтроль и взаимоконтроль.

Воспитывать уважение к мнению товарищей, умение отстаивать свою точку зрения, интерес к предмету.

Ход урока:

1. Оргмомент. Психологический настрой.

Зажечь звезду! Сложно?

Но потрудившись можно.

На то и дан итоговый урок,

Чтоб каждый обобщить все знания по теме мог!

Теорию сегодня повторим

И уравнения квадратные решим,

Вы формулы корней умело применяйте,

Итак, удачи! Звезды зажигайте!

2. Актуализация опорных знаний.

«Уравнение - это золотой ключ,

открывающий все математические сезамы.»

Квадратные уравнения очень важны и для математики и для других наук.

Решение квадратных уравнений было вызвано потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также развитием самой математики.

Квадратные уравнения умели решать еще 2000 лет до нашей эры. Кто первыми научился это делать? Где это происходило? Узнать название этого древнего города нам поможет кроссворд.

к

в

а

д

р

а

т

н

о

е

д

и

с

к

р

и

м

и

н

а

н

т

д

в

а

о

д

и

н

н

у

л

ь

н

е

п

о

л

н

о

е

п

р

и

в

е

д

е

н

н

о

е

1. Как называется уравнение вида ax²+bх+с=0?

2. Название выражения b²-4ас?

3. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D>0?

4. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D=0?

5. Чему равен корень уравнения ах²=0?

6. Как называется квадратное уравнение, где хотя бы один их коэффициентов b или с равен нулю?

7. Как называется квадратное уравнение, в котором первый коэффициент а=1?

(За каждый правильный ответ ученик получает балл).

3. Математический диктант.

1. Запишите квадратное уравнение с коэффициентами а=2; b=-3; с=-4.

2. Запишите приведенное квадратное уравнение, если второй коэффициент равен -6, а свободный член равен 5.

3. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 8, а свободный член равен 2.

4. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен -1/3, а второй равен 3.

5. При каком условии квадратное уравнение не имеет корней?

6. Проверь, являются ли числа 11 и 15 корнями уравнения х²-26х+165=0.

7. Реши уравнение: 3х²-8х-3=0.

Проверка на доске:

1. 2х²-3х-4=0

2. х²-6х+5=0

3. 8х²+2=0

4. -1/3х²+3х=0

5. D<0

6. Да

7. х₁=3; х₂=-1/3.

Проводится взаимопроверка тетрадей, подсчитываются баллы.

4. Общее правило решения уравнений, приведенных к единому виду х²+bх=c было сформировано в Европе в 1544 году немецким математиком Михаэлем Штифелем.

Основные достижения в области решения уравнений принадлежат итальянским математикам Сципиону дель Ферро (1465-1526 гг), Никколо Тарталье и Джероламо Кардано.

Рафаэль Бомбелли среди положительных корней рассмотрел и отрицательные.

Лишь в 17 веке благодаря трудам математика и философа Рене Декарта, математика-физика Исаака Ньютонаспособ решения квадратных уравнений принимает современный вид, с помощью формул корней уравнения.

Вопрос: Какие виды квадратных уравнений вы знаете? Как они решаются? (Запись на доске)

Оценивается работа в баллах.

5. Работа в группах

«Домино»

Собрав домино верно, вы узнаете фамилию математика, который в своем труде «Арифметика» имел ряд задач, решаемых с помощью составления уравнений разных степеней.

5х²=0

х=0

4х²+2х=0

х=0; х= -1/2

7х²-63=0

х=3; х=-3

х²-7х+12=0

х=3; х=4

х²-2х+1=0

х=1

х-30+х²=0

х=-6; х=5

х²+169=0

Решений нет

Диофант - древнегреческий математик, год рождения и смерти до сих пор не выяснены. Полагают, что он жил в 3 веке до н.э..

Ребята оценивают в баллах работу каждого ученика, работая в группах.

6. Физминутка.

Рисуй глазами треугольник,

Теперь его переверни

Вершиной вниз.

И вновь глазами

Ты по периметру веди.

Рисуй восьмерку вертикально,

Ты головою не крути,

А глазами осторожно

Ты вдоль по линиям води.

И на бочок ее клади.

Теперь следи горизонтально,

И в центре ты остановись.

Зажмурься крепко, не ленись.

Глаза открываем мы, наконец.

Зарядка окончилась.

Ты - молодец!

7. Вопрос: Какими свойствами обладают корни приведенного квадратного уравнения?

(учащиеся формулируют теорему Виета).

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни - и дробь уж готова.

В числителе с, в знаменателе а,

А сумма корней тоже дроби равна,

Хоть с минусом дробь, что за беда,

В числителе b, в знаменателе а.

Задание: Заполни пропуски в таблице.

Уравнение:

а

c

D

х₁

х₂

х₁+х₂

х₁*х₂

х²+х-2=0

1

1

-2

9

1

-2

-1

-2

2х²-8=0

2

0

-8

64

2

-2

0

-8

х²-2х-1=0

1

-2

-1

9

3

-1

2

-1

х²-8х+15=0

1

-8

15

4

5

3

8

15

х²-х-12=0

1

-1

-12

49

-3

4

1

-12

2х²-16х+24=0

2

-16

24

64

6

2

8

12

Проводится самооценка выполненного задания.

8. Исследовательская работа.

Выведем свойство корней квадратного уравнения.

Найти корни уравнения:

(По выбору решают у доски квадратные уравнения)

Уравнения:

Корни:

х²+2х-3=0

х₁=1; х₂=-3

х²-7х+6=0

х₁=1; х₂=6

4х²-7х+3=0

х₁=1; х₂=3/4

5х²-х-4=0

х₁=1; х₂=-4/5

Какая закономерность между корнями и коэффициентами уравнения?

Вывод:

1. Если в квадратном уравнении ах²+bх+с=0 сумма коэффициентов а+b+с=0, то х₁=1; х₂=с/а.

2. Если в квадратном уравнении ах²+bх+с=0 сумма коэффициентов а-b+с=0, то х₁=-1; х₂=-с/а

9. В средние века в Индии, в Китае также использовались арифметические методы решения квадратных уравнений.

В Индии соответствующие задачи нередко облекались в стихотворную форму, например, одна из задач знаменитого математика 12 века Бхаскеры звучит так:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекались.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая.

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Решить задачу.

На доске

Проверка решения:

(х/8)²+12=х

х²/64+12=х

х²+768=64х

х²-64х+768=0

D=4096-3072=1024>0

√D=32

х₁=64+32/2=48; х₂=64-32/2=16

Ответ: 16 обезьянок или 48 обезьянок.

10. Решить уравнения, приводимые к квадратным (с комментированием).

    1. 4х(х+2)=х-3

    4х²+7х+3=0

    D=49-48=1

    х₁=-7+1/8=-3/4

    х₂=-7-1/8=-1

    2. (х-3)²=3х-11

    х²-9х+20=0

    D=81-80=1

    х₁=9+1/2=5

    х₂=9-1/2=4

    3. (х-1)(х+1)=2х-1

    х²-1-2х+1=0

    х²-2х=0

    х(х-2)=0

    х=0; х=2

    4. х²+15/х-1=2х

    х²+15=2х(х-1)

    х²+15-2х²+2х=0

    -х²+2х+15=0

    D=4+60=64

    х₁=2+8/2=5

    х₂=2-8/2=-3

11. Рефлексия.

1. Что вы можете делать по теме «Квадратные уравнения»?

2. Какой этап урока был самым интересным?

3. Какое задание вызвало затруднение?

4. Все ли вы усвоили на уроке?

12. Итоги урока. Подсчет баллов. Выставление оценок.

13. Д/з

Составить и решить 3 квадратных уравнения и задачу, решаемую с помощью квадратного уравнения.