Программа элективного курса для 9 класса

Программа элективного курса по математике

«Решать задачи? - Легко!»

для учеников 9 класса

Пояснительная записка:

Поскольку изменившийся социальный заказ и модернизация школьного математического образования предполагает новые формы контроля знаний выпускников девятых классов, обновленное содержание образования, возникает необходимость более полно удовлетворять познавательные интересы обучающихся.

Данный предметный курс «Решать задачи? - Легко!» предназначен для изучения в 9 классе и рассчитан на 12 часов (1 раз в неделю в течение трёх месяцев). Из всего разнообразия математических задач в ходе занятий будут рассматриваться текстовые задачи, так как именно решение текстовых задач часто вызывает затруднения у учеников.

Кроме того, текстовые задачи - это математические модели реальных ситуаций. Таким образом, умение решать некоторые школьные математические задачи имеет практическое применение в жизни. Это, в первую очередь, задачи на проценты и части, а так же задачи на движение и на работу.

Решение всякой математической задачи - это цепь рассуждений. Вычисления, которые приходится производить, невозможны без нахождения логических связей между величинами, встречающимися в условии задачи. Следовательно, для успешного формирования навыков решения задачи, необходимо научить школьников правильно рассуждать. Поэтому курс начинается с занятий, на которых предлагаются для решения задачи, развивающие логическое мышление.

Цель изучения курса:

дать возможность ученику получить более полную подготовку к государственному экзамену, развить его логическое мышление в ходе решения текстовых задач, создать условия для самостоятельной исследовательской деятельности и развития творческого мышления.

Задачи изучения курса:

- создавать положительную мотивацию для изучения

математики;

- выработать навыки решения вышеуказанных типов текстовых

задач;

- активизировать познавательную деятельность учащихся;

- повысить информационную и коммуникационную

компетентность учащихся.

Методы и формы обучения:

При организации работы будет предполагается применение деятельностного подхода, который найдет свое выражение в самостоятельном поиске теоретического материала, взаимном обучении, выполнении индивидуальных практических и творческих заданий. Предполагается использовать на занятиях групповую, индивидуальную и коллективную работу, а также информационные технологии.

Занятия будут проводиться в виде лекций и семинаров- практикумов.

Работа будет организована на следующих принципах:

- минимум начальной информации, максимум самостоятельной и творческой работы ученика;

- учитель-режиссер, ученик-соучастник его же образования.

Таким образом, обучение будет происходить через деятельность с максимально возможным уровнем самостоятельности обучающегося.

В результате изучения курса обучающиеся должны:

- распознавать основные типы текстовых задач, знать алгоритмы и методы их решения;

- научиться выстраивать логические связи между величинами, на основе этих связей составлять математические модели задач, работать с составленными математическими моделями.

Контроль уровня достижений будет осуществляться в ходе выполнения учениками самостоятельных практических и творческих работ, а так же во время выступлений на семинарах.

Критерии оценки: выставление балльной оценки не планируется; успешно освоившим материалы курса считается тот обучающийся, который выступал на семинарах, успешно справился с 60% предложенных практических работ и представил выполненное творческое задание.

Тематический план:

№ темы

Содержание материала

Кол-во часов

Технология реализации

1

Постановка цели, классификация задач, проверка владения базовыми навыками, решение задач на развитие логического мышления

2

Беседа,

входной тест,

совместное и самостоятельное решение задач

2

Задачи «на движение»

3

Лекция, семинар-практикум, зачетная работа

3

Задачи «на работу»

3

Лекция, семинар-практикум, зачетная работа

4

Задачи «на проценты» и «на части»

3

Лекция, семинар-практикум, зачетная работа

5

Подведение итогов работы

1

Защита задачи,

анализ работы

Основные компоненты содержания курса:

Тема 1. Постановка цели, классификация задач, проверка владения базовыми навыками, решение задач на развитие логического мышления.

Занятие 1. Ход занятия:

Человек ежедневно встречается с житейскими, производственными, научными задачами. Любое дело в конечном итоге сводится к решению какой-либо задачи. Поэтому научиться решать задачи чрезвычайно важно. Конечно, в ходе занятий курса мы будем решать не любые, а лишь математические и сводимые к ним задачи. Но умение решать математические задачи оказывает огромное влияние на общее умение решать задачи. И тот, кто научится решать эти задачи, сумеет решить и другие.

Решение задач - это сложная работа.

Галилео Галилей говорил, что « без упорного умственного труда никто не может далеко продвинуться в математике. Но каждый, кому знакома

радость познания, кто увидел красоту математики, не будет жалеть затраченных усилий».

Далее учитель информирует о целях изучения данного курса, акцентируя внимание на том, что в каждую часть КИМов предстоящей государственной итоговой аттестации включены текстовые задачи разных типов и разной степени сложности. Оговариваются критерии оценивания успешности усвоения материалов курса, содержание творческих заданий, требования к слушателям курса. Дается долговременное задание по подготовке к защите задачи, которое заключается в том, что на последнем занятии каждый должен представить, подобранную самостоятельно, задачу и представить её решение.(форма презентации - любая)

Перечисляются типы текстовых задач. Вспоминаем основные закономерности между величинами в задачах «на движение» (s = v t) и «на работу» (объем работы = производительность * время работы), три вида задач «на проценты», определение пропорции, решение пропорции. (При этом используется медиапроектор).

После этого ученикам предлагается выполнение входного теста ( 7 -10 минут):

Вариант 1 Вариант 2

Решите уравнения:

1. 8х²=32 1. 5х²=45

2. х² - 3х + 2 = 0 2. х² - 2х - 35 = 0

3. 3х² - 8х + 5 = 0 3. 3х² - 5х + 2 = 0

4. Известно, что s=54 км, t=0,9ч. 4. Известно, что s=54 км, v=27км/ч.

Найдите v. Найдите t.

5. Запишите в виде десятичной дроби: 5. Запишите в виде десятичной дроби:

5%; 0,7%; 3,5%; 50%; 120%. 2%; 1,3%; 0,4%; 25%; 110%.

6. Решить пропорцию: 6. Решить пропорцию: = =

Затем решаем задачи на развитие логического мышления:

№1. Как, имея лишь два сосуда вместимостью 5л и 7л, налить из водопроводного крана 6л?

Решение:

№ переливания

5л

7л

1

0

7

2

5

2

3

0

2

4

2

0

5

2

7

6

5

4

7

0

4

8

4

0

9

4

7

10

5

6

11

0

6

№2. В купе едут 6 пассажиров, живущих в разных городах: Москве, Петербурге, Туле, Киеве, Риге и Одессе. Фамилии их: Агеев, Боков, Власов, Громов, Дубов и Елисеев. Известно, что:

1. Агеев и москвич - врачи;

2. Дубов и петербуржец - учителя;

3. Власов и туляк - инженеры;

4. Боков и Елисеев - участники войны, туляк не был в армии;

5. Рижанин старше Агеева, одессит старше Власова;

6. Боков и москвич сошли в Киеве, Власов и рижанин должны сойти в Виннице.

Решение: составим таблицу:

профессия

фамилия

москвич

врач

АБВГДЕ

петербуржец

учитель

АБВГДЕ

туляк

инженер

АБВГДЕ

киевлянин

АБВГДЕ

рижанин

АБВГДЕ

одессит

АБВГДЕ

Решаем задачу методом исключения.

По горизонтали в третьем столбце зачеркиваем буквы: у москвича согласно условиям (1) и (6), зачеркнем А и Б; у петербуржца на основании (2) - Д; У туляка согласно (3) и (4) - В,Б,Е; у рижанина - А, В на основании (5), (6); у одессита - В согласно (5).

Согласно (1 ) А - врач, зачеркнем А у учителя и инженера; аналогично, Д - у врача и инженера; В - у врача и учителя.

По вертикали: 1) киевлянин - Власов(единственная незачеркнутая буква) и согласно (3) он - инженер;

2) в горизонтали киевлянина можно зачеркнуть все буквы, кроме В.

Теперь А не зачеркнута у одессита. Одессит - Агеев, и на основании (1) он - врач, в его строке зачеркнем все фамилии, кроме А.

Продолжая дальше, (предложить сделать это ученикам самостоятельно) получим: рижанин Дубов, он же - учитель.

Далее получим: петербуржец - Боков, он же - учитель.

Затем - москвич Елисеев, врач.

И, наконец, туляк - Громов, инженер.

№3. Восстановите цифры: _ 2*8** Ответ: _24873

*8*22 18422

6451 6451

Занятие 2. Ход занятия:

Анализ результатов выполнения входного теста и ошибок, допущенных при его выполнении.

Затем предлагаются для решения следующие задачи. (Решение в группах, затем сверка ответов, обсуждение решения, если нужно)

№1. Три ученицы - Галя, Лена и Наташа заняли в соревнованиях первые три места. Когда их спросили, какое место заняла каждая, они ответили:

Галя: «Я заняла первое место»

Лена: «Я заняла не первое место»

Наташа: «Я заняла не третье место. Однако, учтите, что один из ответов моих подруг правильный, а другой - нет». Ответ Наташи был правдивым.

Кто занял первое место?

Ответ: Наташа.

№2. Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3л и 5л, набрать из водопроводного крана 4л воды?

Ответ: Можно. Последовательность действий смотри в таблице:

3л

0

3

0

2

2

3

0

5л

5

2

2

0

5

4

4

№3. Клоуны Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, синей и зеленой рубашках. Их туфли были тех же трех цветов. У Бима туфли и рубашка были одного цвета. На Боме не было ничего красного. У Бама туфли зеленые, а рубашка - нет. Какие цвета имели рубашки и туфли на каждом?

Ответ:

Рубашка

Туфли

Бом

зеленая

синие

Бим

красная

красные

Бам

синяя

зеленые

№4. Сумма двух натуральных чисел равна 596. Одно из них оканчивается цифрой 2. Если эту цифру зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

Ответ: 542 и 54.

№5. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 мин, мама - за 2 мин, малыш - за 5 мин, а бабушка - за 10 мин. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти через мост за 17 мин? (Если переходят двое, то они идут со скоростью того, кто идет медленнее. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издалека нельзя. Носить друг друга на руках нельзя.)

Ответ:

Направление перемещения

Берег

Перемещение

Берег

Время

туда

БВ

ПМ

2мин

обратно

БВ

П

М

1мин

туда

П

БВ

М

10мин

обратно

П

М

БВ

2мин

туда

ПМ

БВ

2мин

Всего:

17мин

№6. Два мотоциклиста одновременно выехали из А в В. Первый весь путь ехал со скоростью 25 км/ч, а второй первую половину ехал со скоростью 30 км/ч, а вторую - со скоростью 20 км/ч. Кто из них раньше прибыл в В?

Ответ: прибыли одновременно.

№7. Имеются 3 сосуда емкостью 8л, 5л и 3л. Первый из них наполнен водой. Как разлить воду в два из этих сосудов так, чтобы в каждом было по 4л?

Ответ:

8л

5л

3л

8

0

0

5

0

3

2

3

3

2

5

1

7

0

1

7

1

0

4

1

3

4

4

0

№8. Папа с сыновьями отправился в поход. На пути им встретилась река; у берега - плот. Он выдерживает на воде только папу или двух сыновей. Как им переправиться на другой берег?

Ответ: первыми переправляются два сына, сын возвращается обратно, затем переправляется отец, второй сын возвращается за братом, переправляются сыновья.

Тема 2. Задачи «на движение»

Занятие 1. Ход занятия:

Лекция:

Среди множества задач, которые приходится решать, нередко встречаются задачи на движение. В них движутся поезда, пешеходы, лодки, машины, самолеты, звери и т.д. кто именно движется не важно - ведь от этого план решения задачи не зависит.

Чтобы легко решать эти задачи, надо знать несколько важных моментов. Во-первых, основная формула: s=vt; во-вторых, при движении навстречу друг другу (друг от друга) скорость сближения (удаления) равна сумме скоростей; в-третьих, при движении в одном направлении скорость сближения (удаления) равна разности скоростей; в-четвертых, при движении по реке, кроме собственной скорости транспортного средства, на скорость перемещения влияет еще скорость течения реки: v_по = v_c + v_р, v_пр = v_с - v_р.

Полезно условие задачи оформить в виде таблицы.

Рассмотрим примеры разных вариантов задач на движение. Задачи №3, №4 и №5 рекомендуется решить устно, выполняя при необходимости схемы движения на доске.

№1. Самолет пролетел расстояние между двумя городами за 17 ч со скоростью 1000км/ч. За сколько времени пролетит это расстояние другой самолет, скорость которого на 150км/ч меньше?

Решение:

v

t

s

Первый самолет

1000км/ч

17ч

17·1000км

Второй самолет

(1000-150) км/ч

х ч

850х км

Уравнение: 850х = 17000

х = 20 (ч)

Ответ: за 20 часов.

№2.(Из «Азбуки» Л.Н.Толстого) Мужик вышел пешком из Тулы в Москву в 5 часов утра. В 12 часов выехал барин из Тулы в Москву. Скорость барина в три раза больше. Мужик идет 5 верст в каждый час. На какой версте барин догонит мужика?

Ответ: на 53 версте.

№3.Два поезда вышли из одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет

260 км?

Ответ: через 2 часа.

№4.Два встречных поезда идут по параллельным путям. Скорость одного 50 км/ч, скорость другого 60 км/ч. Сколько минут пассажир, сидящий в первом поезде. будет видеть состав второго, если длина второго поезда 500м?

Ответ: 3/11 минуты.

№5.Чтобы проплыть некоторое расстояние по течению, лодке требуется времени в три раза меньше, чем против течения. Во сколько раз скорость движения лодки больше скорости течения?

Ответ: в 2 раза.

№6.Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 15 минут папа заметил пропажу, быстро развернул лодку, и они поплыли вниз по течению с той же собственной скоростью. За сколько минут они догонят шляпу?

Ответ: 15 минут.

Затем предлагается совместно решить более сложные задачи:

№7. Скорость велосипедиста от поселка до станции была на 1 км/ч больше, чем на обратном пути. На обратный путь он затратил на 2 мин больше. Расстояние между пунктами 7 км. Найдите первоначальную скорость велосипедиста.

Решение. Если х км/ч - скорость велосипедиста от поселка до станции,

то (х - 1)км/ч - его скорость на обратном пути. Время велосипедиста от поселка до станции 7/х ч, а время обратного движения 7/ (х - 1) ч. Так как время обратного движения на 2 минуты (т.е. на 1/30 ч ) больше, составим уравнение:

- =

х = 15 (км/ч) х = - 14 (не удовлетворяет условию задачи)

Ответ: 15 км/ч.

№8. Катер проплывает 20 км против течения реки и еще 24 км по течению за то же время, за какое плот может проплыть по этой реке 9 км. Скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч. Найдите скорость течения реки.

Решение. Пусть собственная скорость катера равна х км/ч, тогда условие задачи можно оформить в виде следующей таблицы:

v

t

s

Катер по течению

(15 + х) км/ч

ч

24 км

Катер против течения

( 15 - х) км/ч

ч

20 км

Плот

х км/ч

ч

9 км

Так как общее время движения катера равно времени движения плота, то составим уравнение: + =

Решая его, получим квадратное уравнение х² + 132х - 405 = 0, корнями которого являются числа 3 и -135. Условию задачи удовлетворяет только корень 3.

Ответ: 3 км/ч.

Занятие 2. Ход занятия:

Это занятие - практикум по решению задач. В начале занятия быстро повторяются основные формулы. Работают парами однородного по уровню подготовленности состава. Более подготовленные ученики решают задачи посложнее, менее подготовленные - полегче. Учитель исполняет роль «Справочного бюро».

Задачи для 1 уровня:

Составьте уравнение или систему уравнений по условиям следующих задач.

№1. В классе 25 учащихся. При посадке деревьев в школьном саду каждая девочка посадила по 2 дерева, а каждый мальчик - по 3 дерева. Всего было посажено 63 дерева. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?

Обозначьте число мальчиков - х, а число девочек - у.

№2.От дома до школы Коля обычно едет на велосипеде со скоростью 10 км/ч. Чтобы приехать в школу раньше на ¼ часа, ему надо ехать со скоростью 12 км/ч. Чему равно расстояние от дома до школы?

Пусть х км - расстояние от дома до школы.

№3. Лыжник от озера до деревни шел со скоростью 15 км/ч, а обратно- со скоростью 12 км/ч. Сколько времени ушло у него на обратную дорогу, если на весь путь туда и обратно лыжник затратил 3 ч?

Пусть х ч - время на обратную дорогу.

Решите задачи.

№4. Николай и Андрей живут в одном доме. Николай вышел из дома и направился к школе. Через 4 мин после него из дома вышел Андрей и догнал своего друга у школы. Найдите расстояние от дома до школы, если Николай шел со скоростью 60 м/мин, а скорость Андрея 80 м/мин.

Ответ: 960 м.

№5. Лодка проплывает 15 км по течению реки и еще 6 км против течения за то же время, за какое плот может проплыть по этой реке 5 км. Собственная скорость лодки равна 8 км/ч. Найдите скорость течения реки.

Ответ: 2 км/ч.

Задачи для 2 уровня:

Составьте уравнение или систему уравнений по условиям следующих задач.

№1. Расстояние по реке между двумя деревнями равно 2 км. На путь туда и обратно моторная лодка затратила 22 мин. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 1 км/ч?

Пусть х км/ч - собственная скорость лодки.

№2. Скорость первого пешехода на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому на путь длиной 5 км ему потребовалось на 15 мин меньше, чем второму. Чему равны скорости пешеходов?

Пусть х км/ч - скорость первого пешехода.

№3. От дома до школы Коля обычно едет на велосипеде со скоростью 10 км/ч. Чтобы приехать в школу раньше на ¼ часа, ему надо ехать со скоростью 12 км/ч. Чему равно расстояние от дома до школы?

Пусть х км - расстояние от дома до школы.

Решите задачи.

№4. Мотоцикл, движущийся по шоссе со скоростью 60 км/ч, миновал трансформаторную будку. Через час мимо этой будки проехал автомобиль со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от будки автомобиль догнал мотоцикл, если оба они ехали без остановок?

Ответ: 180 км.

№5. Группа туристов отправляется на лодке от лагеря по течению реки с намерением вернуться обратно через 5 ч. Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость лодки

8 км/ч. На какое наибольшее расстояние по реке они могут отплыть, если перед возвращением они планируют пробыть на берегу 3 ч?

Ответ: на 7,5 км.

В ходе занятия учителем ведется мониторинг выполнения задания каждой парой.

По окончанию работы до сведения всего класса доводятся сравнительные результаты.

Занятие 3. Ход занятия:

В начале занятия ученики показывают классу подготовленную и проверенную учителем презентацию по теме Задачи «на движение»

Затем ученики выполняют зачетную работу по данной теме.

Работа дифференцирована по уровню сложности.

1 уровень.

№1. От города до поселка автомобиль доехал за 3 ч. Если бы он увеличил скорость на 25 км/ч, то затратил бы на этот путь на 1 ч меньше. Чему равно расстояние от города до поселка?

Ответ: 150 км.

№2. Моторная лодка прошла 10 км по озеру и 4 км против течения реки, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

2 уровень.

№1. Расстояние между морскими пристанями 300 км. Два катера начали свое движение от одной и той же пристани с интервалом в 5 часов, а в конечный пункт прибыли одновременно. Определите время движения каждого катера, если скорость движения одного из них на 10 км/ч больше скорости другого.

Ответ: 20 км/ч и 30 км/ч.

№2. Из города А в город В, расстояние между которыми равно 300 км, выехал автобус. Через 20 мин навстречу ему из В в А выехал автомобиль и через 2 ч после выезда встретил автобус. С какой скоростью ехал автомобиль, если известно, что она была на 20 км/ч больше скорости автобуса?

Ответ: 80 км/ч.

Тема 3. Задачи «на работу»

Занятие 1. Ход занятия:

Лекция.

Класс задач «на работу» представляет собой довольно-таки сложные задачи. Работу характеризуют три компонента действия:

- время работы;

- объем работы;

- производительность ( количество произведенной работы в единицу времени).

Основное соотношение, которое надо знать, чтобы успешно решать такого вида задачи, это:

объем работы = производительность · время работы

Так же необходимо понимать, что при выполнении определенной работы несколькими работниками совместно, общая производительность будет равна сумме производительностей всех работников.

Полезно так же в некоторых случаях принимать объем выполненной работы за единицу.

Чтобы наглядно представить себе условие задачи, его можно оформить в виде таблицы, аналогичной таблице, составляемой по условию задач «на движение».

Рассмотрим примеры разных вариантов задач на работу.

№1. Первый автомат упаковывает в минуту на 2 коробки конфет больше, чем второй. Первый автомат работал 10 мин, а второй - 20 мин. Всего за это время было упаковано 320 коробок конфет. Сколько коробок конфет в минуту упаковывает каждый автомат?

Решение.

Производительность

Время работы

Объем работы

Первый автомат

х кор/мин

10 мин

10х кор.

Второй автомат

(х - 2) кор/мин

20 мин

20 (х - 2) кор.

Так как по условию всего было упаковано 320 пачек, то составим уравнение:

10х + 20 (х - 2) = 320

х = 12 (кор.) - упаковывает первый автомат.

Тогда, 12 - 2 = 10 (кор.)- упаковывает второй автомат.

Ответ: 12 коробок и 10 коробок.

№2. Две копировальные машины печатают рукопись. Если всю рукопись будет печатать первая машина, то работа будет выполнена на 4 минуты позже, чем двумя машинами при совместной работе. Если печатать всю рукопись будет вторая машина, то она напечатает на 25 минут позже, чем обе машины при совместной работе. За сколько минут может напечатать эту рукопись вторая машина?

Решение.

Производительность

Время работы

Объем работы

Первая машина

х

1

Вторая машина

у

1

Совместно

+

х - 4 или у - 25

1

Пусть время печати всей рукописи первой машиной - х мин, а второй - у мин. Тогда время общей работы двух машин можно найти двумя способами: х - 4 и у - 25.

Поэтому получим первое уравнение: х - 4 = у - 25.

Примем за единицу работу по печати всей рукописи.

Производительность первой машины - , производительность второй машины - ,

Общая производительность - ( + ). Зная их общее время работы (х - 4), можно составить второе уравнение: ( + )(х - 4) = 1.

х - 4 = у - 25.

( + )(х - 4) = 1.

Решая систему из составленных уравнений, получим, что вторая машина может напечатать рукопись за 35 минут.

Ответ: за 35 минут.

Занятие 2. Ход занятия:

Это занятие - практикум по решению задач. В начале занятия быстро повторяются основные формулы. Работают группами разноуровневого состава. В группе назначается или избирается координатор. Учитель исполняет роль « Справочного бюро» для координаторов. При необходимости подключается к работе группы.

№1. (Задача с выбором ответа)

Мастер делает всю работу за 6 часов, а его ученик эту же работу может сделать за 8 часов. За сколько времени сделают ион эту работу, если будут работать вместе?

а) 7 ч; б) 2 ч; в) 3ч; г) 3ч.

Ответ: 3ч.

№2. Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 6 часов. Один из них работает в 3 раза быстрее, чем другой. За сколько времени каждый экскаватор может вырыть этот котлован, работая отдельно?

Производительность

Время работы

Объем работы

Первый экск.

х ч

1

Второй экск.

3х ч

1

Совместно

+

6 ч

1

Тогда по условию задачи составим уравнение: ( + ) 6 = 1.

Решая его, находим х = 8, то есть первому экскаватору потребуется 8 часов, тогда второму - 24 часа.

Ответ: 8 часов, 24 часа.

№3. Производительность трёх снегоуборочных машин одинакова. Работая вместе, они сделали за 4 часа половину всей работы, а затем другую половину доделала одна из них. Сколько времени ушло у неё, чтобы доделать эту работу?

Решение.

Итак, 3 машины, работая вместе, сделали половину работы за 4 часа. Приняв всю работу за 1, получаем, что общая производительность трёх машин при совместной работе, равна отношению ½ к 4, то есть равна 1/8. Тогда производительность одной машины равна отношению 1/8 к 3, то есть, равна 1/24. Поэтому, чтобы найти время работы одной машины по уборке половины работы, нужно найти отношение ½ к 1/24. Его значение равно 12.

Ответ: 12 часов.

Занятие 3. Ход занятия:

В начале занятия ученики показывают классу подготовленную и проверенную учителем презентацию по теме Задачи «на работу»

Затем ученики выполняют зачетную работу по данной теме.

Работа дифференцирована по уровню сложности.

1 уровень.

№1. На двух принтерах распечатали 340 страниц. Первый принтер работал 10 мин, а второй - 15 мин. Производительность первого принтера на 4 страницы в минуту больше, чем производительность второго. Сколько страниц в минуту можно распечатать на каждом принтере?

Ответ: на первом - 16 страниц в минуту, на втором - 12 страниц в минуту.

№2. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать некоторый участок дороги на 4 ч быстрее, чем другая. За сколько часов может заасфальтировать участок каждая бригада, если известно, что за 24 ч совместной работы они заасфальтировали 5 таких участков?

( Составить систему уравнений по условию задачи)

2 уровень.

№1. Два сварщика, работая вместе, могут выполнить заказ за 7 дней, причем второй начинает работу на 1,5 дня позже первого. За сколько дней каждый из них выполнит этот заказ, работая отдельно, если второму потребуется на 3 дня меньше, чем первому?

Ответ: первый - за 14 дней, второй - за 11 дней.

№2. Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй - 12 ч, то они выполнят только ¾ всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Ответ: первый оператор - за 12 часов, второй - за 24 часа.

Тема 4. Задачи «на проценты» и «на части».

Занятие 1. Ход занятия:

Лекция.

Определение: Процентом называется одна сотая часть.

Отсюда легко получаются соотношения, которые полезно помнить:

50% числа х - это его половина (0,5 х );

25% числа х - это его четверть ( 0,25 х или ¼ х );

20% числа х - это его пятая часть - ( 0,2 х или 1/5 х );

75% числа х - это его три четверти ( 0, 75 х или ¾ х );

100% числа х - это всё число ( х ).

Различают три вида задач на проценты:

1. нахождение процентов от числа

Пример. Найти 15% от числа 60.

0,15 · 60 = 9.

Ответ: 9.

2. нахождение числа по его процентам

Пример. Найти число, 12% которого равны 30.

1 способ. 30 : 0,12 = 250.

2 способ. 12% ---- 30

100% --- х

= х = = 250

Ответ: 250.

3. нахождение процентного отношения чисел

Пример. Сколько процентов составляет 120 от 600?

· 100% = 20%

Ответ: 20%.

Задачи «на части» не вызывают трудности, если начинать рассуждения при их решении с фразы: «пусть одна часть равна х», а далее составлять уравнение по условию задачи. Так же можно, решая задачи «на части», принимать сумму всех частей за 100% и проводить дальнейшие рассуждения, учитывая этот факт. Часто при решении такого типа задач полезно составить пропорцию и решить её.

Пример. На пост спикера парламента претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 252 депутата. Голоса разделились в отношении 2 : 7. Сколько голосов получил победитель и сколько - проигравший?

Решение.

1 способ. Пусть на одну часть приходится х голосов. Тогда по условию: 2х + 7х = 252, откуда х = 28; то есть, за победившего - 196 голосов, а за проигравшего - 56 голосов.

2 способ. 9 частей ------ 252 голоса

2 части ------ х голосов

х = ( 2 ·· 252 ) / 9 , х = 28.

Ответ: за победившего - 196 голосов, за проигравшего - 56 голосов.

Решение более сложных задач.

№1. В городской думе заседало 60 депутатов, представляющих две партии. После выборов число депутатов от первой партии увеличилось на 15%, а от второй партии - уменьшилось на 20%. Сколько депутатов от каждой партии оказалось в городской думе после выборов, если всего было выбрано 55 депутатов?

Решение.

Пусть в первой партии до выборов было х депутатов, а от второй - у депутатов. После выборов от первой партии в составе думы оказалось 1,15х депутатов, а от второй -

0,8у депутатов. Так как, до выборов в думе было 60 депутатов, а после выборов их стало 55, то составим систему уравнений: х + у = 60

1,15х + 0,8у = 55

Решив её, получим: х = 23, у = 32.

Значит, после выборов от первой партии стало 23 депутата, а от второй - 32 депутатов.

Ответ: 23 и 32.

№2. Влажность свежескошенной травы 60%, сена 20%. Сколько тонн сена получится из 1 т свежескошенной травы?

Решение.

В 1 т свежескошенной травы содержится 60% влаги, то есть сухого вещества в ней - 40%, то есть 400 кг.

Тогда 400 кг сухого вещества составляет 80% сена, а значит, 100% равны 500 кг.

Ответ: 500 кг.

№3. Каждый учащийся спортивной школы занимается одним из видов борьбы - самбо, дзюдо или карате. Отношение числа самбистов к числу дзюдоистов равно 11 : 6, а числа дзюдоистов к числу каратистов равно 3 : 4. Сколько процентов учащихся занимается наиболее популярным в этой школе видом борьбы?

Решение.

Так как отношение числа дзюдоистов к числу каратистов равно 3 : 4, то оно равно и отношению 6 : 8. Тогда отношения числа самбисток к числу дзюдоистов и к числу каратистов выглядит как 11 : 6 : 8. Следовательно, 11 + 6 + 8 = 25 составляет 100% все учащихся. Значит, на одного спортсмена приходится 4%, тогда самый популярный вид борьбы - это самбо, а занимается им 11 · 4 = 44 %.

Ответ: 44% учащихся.

Занятие 2. Ход занятия:

Это занятие - практикум по решению задач. В начале занятия быстро повторяются основные формулы. Работают группами разноуровневого состава. В группе назначается или избирается координатор. Учитель исполняет роль « Справочного бюро» для координаторов. При необходимости подключается к работе групп.

№1. Влажность сухих грибов 15%, а свежих - 90%. Сколько сухих грибов получится из 1,7 кг свежих?

Ответ: 200 г.

№2. Каждый слушатель на курсах изучает один из языков - английский, немецкий или французский. Отношение числа слушателей, изучающих английский, к числу слушателей, изучающих немецкий, равно 3 : 2, а числа изучающих немецкий к изучающим французский равно 8 : 5. Сколько процентов учащихся изучает наименее популярный на курсах язык?

Ответ: 20% слушателей.

№3. Клиент внес 3000 рублей на два вклада, один из которых дает годовой доход 8%, а другой - 10%. Через год на двух вкладах у него было 3260 рублей. Какую сумму внес клиент на каждый вклад?

Решение.

Пусть клиент внес на первый вклад х р., тогда на второй - ( 3000 - х) р. Через год первый вклад составил 1,08х р., а второй - 1,1( 3000 - х)р. Так как на двух вкладах стало 3260 р., то составим уравнение: 1,08х + 1,1(3000 - х)= 3260.

Решив его, получим х = 1000. Таким образом, на первый вклад была внесено 1000 р., а на второй - 2000 р.

Ответ: 1000р. и 2000 р.

Занятие 3. Ход занятия:

В начале занятия ученики показывают классу подготовленную и проверенную учителем презентацию по теме Задачи «на проценты» и «на части».

Затем ученики выполняют зачетную работу по данной теме.

Работа дифференцирована по уровню сложности.

1 уровень.

№1. Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена изделия?

Ответ: 720 рублей.

№2. Банк в конце года начисляет 3% к сумме, находящейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года?

Ответ: на 60,9 рублей.

№3. Цену на некоторый товар сначала снизили на 30%, а затем повысили на 20%. На сколько процентов изменилась цена товара?

Ответ: снизилась на 16%.

2 уровень.

№1. Сколько литров воды надо добавить к 20 литрам пяти процентного раствора соли, чтобы получить четырехпроцентный раствор?

Ответ: 5 литров.

№2. Сколько граммов 15%-ного раствора кислоты надо добавить к 50 граммам 60%-ного раствора кислоты, чтобы получить 40%-ный раствор кислоты?

Ответ: 46 граммов.

№3. Цену некоторого товара снизили на 15%, а потом еще на 20%. Найдите общий процент снижения цены.

Ответ: на 42%.

№4. За апрель выпуск продукции завода составил 40% плана за квартал, за май - 130% продукции, выпущенной в апреле. Чтобы выполнить план за квартал, завод в июне изготовил 240 машин. Каков квартальный план завода?

Ответ: 3000 машин.

Тема 5. Подведение итогов работы.

Ход занятия:

В начале занятия происходит «Защита задачи». Обучающиеся представляют свои задачи с решениями. Слушатели задают выступающим вопросы. Происходит обсуждение решений. Затем учитель анализирует работу всех и каждого в отдельности. Объявляет фамилии успешно освоивших материалы курсов.

Список литературы для учеников:

1. Мордкович, А. Г. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений [Текст] / А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2005.

2. Мордкович, А. Г. Алгебра: задачник для 8 класса общеобразовательных учреждений [Текст] / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская. - М.: Мнемозина, 2005.

3. Кузнецова, Л.В. Алгебра: сб. заданий для подготовки к гос.итоговой аттестации в 9 кл. [Текст] / Л.В.Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А.Бунимович и др.- 4 изд., перераб.- М.:Просвещение, 2009.

4. Кузнецова, Л.В. Алгебра: сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9класс. [Текст] / Л.В.Кузнецова, Е.А.Бунимович, Б.П.Пигарев, С.Б.Суворова.-9 изд.-М.: Дрофа, 2009.

5. Фридман, Л.М. Учитесь учиться математике: книга для учащихся. [Текст] - Л.М. Фридман. М.: Просвещение, 2000.

6. Кочагина, М.Н., Кочагин, В.В. «Малое ЕГЭ» по математике. [Текст] / М.Н. Кочагина, В.В. Кочагин.-М.: Eksmo Education, 2007г.

7. Лаппо, Л.Д., Попов, М.А. Алгебра: государственная (итоговая) аттестация (в новой форме). 9 класс. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий. [Текст] /Л.Д.Лаппо, М.А. Попов. - М.: Издательство «Экзамен», 2009.

8. Якушева, Г. Математика: справочник школьника. [Текст] /Г. Якушева.-М.: Издательство « Пресса», 1995.

Список литературы для учителей:

1. Кузнецова, Л.В. Алгебра: сб. заданий для подготовки к гос.итоговой аттестации в 9 кл. [Текст] / Л.В.Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А.Бунимович и др.- 5 изд., перераб.- М.:Просвещение, 2009.

2. Кузнецова, Л.В. Алгебра: сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9класс. [Текст] /Л.В.Кузнецова, Е.А.Бунимович, Б.П.Пигарев, С.Б.Суворова.-9 изд.-М.: Дрофа, 2009.

3. Гин, А.А. Приемы педагогической техники: пособие для учителя. [Текст] / А.А. Гин. - М.: Вита-пресс, 2002.

4. Кочагина, М.Н., Кочагин, В.В. «Малое ЕГЭ» по математике. [Текст] / М.Н. Кочагина, В.В. Кочагин.-М.: Eksmo Education, 2007г.

5. Чулков, П.В. и др. Алгебра: тесты. 7 - 9 кл. [Текст] / П.В.Чулков, М.А. Максимовская, Е.В. Слепенкова. Н.В. Васюк, Л.Е. Федулкин. - М.: Издат-Школа, 1998.

6. Материалы газеты «Математика»: еженедельное приложение к газете «Первое сентября»: № 8-10, 1999; № 2-3, 2001.

Список рекомендуемых интернет-ресурсов:

1. Министерство образования РФ: mon.gov.ru/; edu.ru/.

2. Тестирование online: kokch.kts.ru/cdo/, school-tests.ru.

3. Педагогическая мастерская, уроки в Интернет и многое другое: teacher.fio.ru, www/shevkin.ru, works.tarefer.ru, omsk.edu/article/vestnik-omgpu-150.pdf.

4. Новые технологии в образовании: edu.secna.ru/main/.

5. Новые методические пособия по подготовке к итоговой аттестации: alleng.ru.