Раздаточный материал по теме «Основные свойства функций одной переменной»

Негосударственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Волгоградский колледж бизнеса»

Фроловский филиал

Раздаточный материал

дисциплина «Математика»

тема: «Основные свойства функции одной переменной»

для I курса

специальностей 0601 «Экономика и бухгалтерский учет»,

050801«Менеджмент»,

030504 «Право и организация социального обеспечения»

Составила преподаватель:

Маринина Н.С.

Рассмотрено и одобрено на заседании цикловой комиссии

общеобразовательных и социально-экономических дисциплин

Протокол №_______ от «___»_____________2006 г.

Председатель цикловой комиссии __________ Гриневич И.Б.

Фролово, 2006

Пояснительная записка

Данный материал используется студентами для I курса

специальностей 0601 «Экономика и бухгалтерский учет»,

050801 «Менеджмент», 030504 «Право и организация социального обеспечения» при работе на занятиях, или при самостоятельном изучении темы.

Включает в себя теоретический материал, который содержит в себе:

1. Понятия, обозначения

2. Способы задания функций

3. Основные свойства функций

-четность и нечетность,

-нули функции,

-промежутки знакопостоянства,

-периодичность,

-монотонность,

-обратимость,

-точки экстремума и значения в этих точках,

-ограниченность

Студентам предлагается воспользоваться этим материалом на вводном занятии или самостоятельно изучить его и использовать по теме «Основные свойства функции одной переменной».

1. Понятия и обозначения.

Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу x из некоторого заданного множества сопоставляет единое число y.

Обозначение: y=f(x), где

x - независимая переменная (аргумент функции)

y - зависимая переменная (функция)

Множество значений x называется областью определения функции (обычно обозначается D).

Множество значений y называется областью значений функции (обычно обозначается E).

Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x)).

y

0 х

2. Способы задания функций

1. Аналитический способ: функция задается с помощью математической формулы.

Например: y = x + 3, y = ln x и т.д.

2. Графический способ: функция задается графиком функции.

3. Описательный способ: Функция задается словесным описанием.

Например: функция Дирихле

4. Табличный способ: функция задается с помощью таблицы.

Например:

x

1

2

3

4

5

y

2

4

6

8

10

3. Основные свойства функций

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если

1. область определения функции симметрична относительно оси y

2. Для любого x из области определения выполнено равенство

f(x)= f(-x)

y

x

3. График четной функции симметричен относительно оси y

4. Пример

Функция называется нечетной, если

1)область определения функции симметрична относительно нуля

2. Для любого x из области определения выполнено равенство

- f(x)= f(-x)

y

x

2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3. Пример

Многие функции являются ни четными, ни нечетными, такие функции называются функциями общего вида. График функции будет изображен следующем образом

y

Пример:

2. Нули функции

Нулем функции: y = f(x) называется такое значение аргумента , при котором функция обращается в нуль:.

В нуле функции ее график имеет общую точку с осью x.

y

0 x

, , - нули функции y=f(x)

3. Промежутки знакопостоянства

Промежутками знакопостоянства называют промежутки на которых функция принимает положительные и отрицательные значения. Над этими промежутками график функции лежит выше оси (соответственно ниже) оси абсцисс

4. Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом T>0, если для любого x из области определения значения x + T и x - T также принадлежат области определения и

f(x) = f(x + T) = f(x - T)

При этом любое число вида Tn, где nN, также является периодом этой функции

y

0 x

T

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов. Чтобы построить график периодической функции, строят фрагмент графика на любом отрезке длиной T (например, [0; T]), а затем производят последовательные переносы фрагментов графика на T, 2T, 3T и т.д. вдоль оси x (вправо и влево).

5. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале (a,b), если для любых , из этого интервала таких, что < справедливо равенство

y

0 x

Функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a,b), если для любых , из этого интервала таких, что < справедливо равенство

0 x

6. Обратимость функции.

Функция называется обратимой, если она строго монотонна, то есть либо возрастает на некотором интервале либо убывает на нем.

y y

0

0 x x

Внутренняя точка области определения называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство:

f(x) < f()

Значение = f() называется максимумом этой функции. y

x

- точка максимума

- максимум

Внутренняя точка области определения называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство:

f(x) > f()

Значение = f() называется минимумом этой функции y

x x

- точка минимума

- минимум

7.Экстремумы (максимумы и минимумы)

8. Ограниченность функции

Функция y=f(x) называется ограниченной сверху, если существует число М, такое что выполняется неравенство f(x)<M

y

M

0 x

Функция y=f(x) называется ограниченной снизу, если существует число m, такое что выполняется неравенство f(x)> m.

y

0 x

m

Функция y=f(x) называется ограниченной, если существуют числа М и m, такие что выполняется неравенство m<f(x)<M

y

M

0 x

m