Муниципальное общеобразовательное казённое учреждение

средняя общеобразовательная школа п. Безбожник

Мурашинского района Кировской области

Рассмотрено на заседании методического

совета школы

«___» ___________ 2014 года.

Протокол №

Председатель методического совета

________________ Гусева Л.В.

Утверждаю

Директор МОКУ СОШ п. Безбожник

________________А.Ф. Синицын

Приказ №

от « » _________ 2014 года.

Рабочая программа дополнительного образования по математике

как средство достижения личностных, предметных

и метапредметных результатов обучения в рамках введения

Федерального государственного образовательного стандарта.

Программу составила

Горбачевская З.Ф.,

учитель математики первой

квалификационной категории

МОКУ СОШ п. Безбожник

Мурашинского района

Кировской области

Безбожник

2014 год

1. Пояснительная записка

Образовательная программа курса по выбору (элективного курса) «Текстовые задачи в математике» разработана на основе программы Министерства образования РФ в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом по математике и оценки качества подготовки выпускников основной школы.

Причиной введения данного курса для учащихся 9, 11 классов стало несоответствие между требованиями, предъявляемыми к выпускникам общеобразовательных учреждений при прохождении государственной (итоговой) аттестации и содержанием действующей программы. Текстовые задачи включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в ЕГЭ, в конкурсные экзамены. Однако практика показывает, что они вызывают затруднения у учащихся, т.к. обьём содержания некоторых тем либо не соответствует времени, отведенному на их изучение, либо изучение некоторых тем в основной школе программой не предусмотрено.

Направленность курса развивающая, практическая.

Актуальность данного курса заключается в том, что решение текстовых задач - приоритет основной школы. Материал содержится во всех учебниках математики и алгебры, но разбросан по ним небольшими порциями. Особенно актуальными сегодня стали задачи из раздела «Реальная математика», в частности, задачи по комбинаторике, статистике и теории вероятностей. Многие из них в основной школе либо не рассматриваются вообще, либо на их решение отводится недостаточное количество времени.

Данный курс предусматривает систематизацию всех знаний и умений, полученных учащимися в основной школе, а также рассмотрение тех типов задач и способы их решения, которые ранее не встречались. Тем более, что решение текстовых задач предусматривает как обязательная итоговая государственная аттестация выпускников основной школы, так и Единый Государственный Экзамен по математике для выпускников старшей ступени образования.

Раздел «Вероятность и статистика» - обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования у учащихся функциональной грамотности - умения воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.

При изучении статистики и вероятности обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

Цель данного курса: создание условий для подготовки к государственной (итоговой) аттестации по математике

Задачи курса:

1. Предметные:

   • овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения обучения в старшей школе или иных общеобразовательных учреждениях, изучения смежных дисциплин, применения в повседневной жизни;

   • создание фундамента для математического развития, формирования механизмов мышления, характерных для математической деятельности.

2. Метапредметные:

• формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества;

• развитие представлений о математике как форме описания и методе познания действительности, создание условий для приобретения первоначального опыта математического моделирования;

• формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности;

3. Личностные:

• воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решения;

• формирование качеств мышления, необходимых для адаптации в современном информационном обществе;

• развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей;

• формирование таких качеств характера, как внимание к окружающим, доброжелательная речь, умение выслушать других, самостоятельность, ответственность, умение оценить, проанализировать полученные результаты задачи и соизмерить их с реальными жизненными ситуациями.

Особенности учебно-образовательного процесса.

Все задачи курса подобраны по определенным модулям. В процессе завершения решения задач по определенному модулю целесообразно проводить итоговые занятия с целью выявления пробелов в изучении данной темы и последующей коррекцией знаний.

Реализовывать данную программу лучше для учащихся 9 - 11 классов, так как именно эти учащиеся мотивированы на успешное прохождение ГИА.

Для организации работы учащихся сформированы информационные, научно-методические и материально-технические ресурсы: подобрана необходимая литература: варианты КИМов ГИА и ЕГЭ предшествующих лет и текущего года, учебно-методические пособия по решению задач, имеются мультимедийные средства обучения (диаграммы, графики, таблицы по теме «Статистика»).

В процессе итоговой аттестации в КИМах выпускных классов ежегодно меняется набор текстовых задач. И если в один год приоритетными являлись задачи на прогрессии или задачи на сплавы-смеси, то в следующий год основной упор делается на задачи на движение или совместную работу. Поэтому автором программы собраны задачи по всем представленным модулям, разработаны методические рекомендации по решению задач всех модулей и критерии их оценивания.

Основными методами организации обучения являются частично-поисковый и проблемный. Учащиеся самостоятельно или коллективно находят методы решения задач, обсуждают методы решения, проводят исследование полученных результатов. Основные типы занятий, используемые при проведении данного курса - лекция, семинар, круглый стол, урок-зачет, урок-практикум, занятия-тренинги, самостоятельная работа с различными источниками информации (таблицы, диаграммы, графики).

В процессе преподавания используются современные педтехнологии: технология группового самостоятельного обучения, технология развития критического мышления, технология дебатов. В процессе обучения используется компетентностно-ориентированный подход.

• Предметная компетентность формируется через усвоение учащимися содержания курса в процессе обучения.

• Информационная компетентность - через использование различных источников знаний: формула, символы, слово; справочная литература; таблицы, графики, диаграммы. Даются задания на формирование умений работать с физическими, химическими формулами, с формулами производственного характера, с формулами экономического смысла, с представленной статистической информацией.

• Использование на занятиях парной, групповой и фронтальной форм организации познавательной деятельности позволяют сформировать у учащихся коммуникативную компетентность.

• Технологическая компетентность формируется через использование в процессе обучения различных инструкций (алгоритмов решения задач) при организации самостоятельной работы учащихся при проведении контролирующих занятий (урок - зачет).

• В процессе обучения и контроля знаний учащиеся оценивают себя: чему они научились, что у них получается, что не получается, почему, ставят цели, анализируют результаты работы. Таким образом, у учащихся формируется рефлексивная компетентность.

Контроль над усвоением знаний учащихся осуществляется на различных уровнях:

• Вводный контроль. Перед изучением каждой темы, с целью выявления уровня знаний учащихся по данному вопросу.

• Текущий контроль. Проверка и обсуждение задач, самостоятельно решаемых учащимися, рецензирования ответов учеников, проведение уроков-семинаров.

• Тематический контроль: Уроки-зачеты в конце каждого модуля.

• Итоговый контроль. Выполнение тестовой работы в форме ГИА или ЕГЭ (апрель).

Планируемый результат освоения данной программы

Предметные результаты:

Усвоение учащимися теоретических знаний необходимых для решения текстовых задач, овладение различными способами решения;

умение работать с математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии и символики, использовать различные языки математики, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений;

овладение основными способами представления и анализа статистических данных; наличие представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о вероятностных моделях;

умение применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера.

Метапредметные результаты:

Умение учащимися использовать различные источники информации для получения данных, необходимой для решения задач;

умение понимать и использовать математические средства наглядности (графики, диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;

Способность учащихся четко и понятно излагать способы решения задач, алгоритмы, используемые в практике.

Способность учащихся грамотно вести монолог, диалог и полилог.

Личностные результаты:

Сформированность у учащихся мотивации к обучению и познанию;

умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;

умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.

Данная программа может использоваться преподавателями образовательных учреждений для подготовки учащихся к государственной (итоговой) аттестации, проведения итоговых занятий.

2. Учебный план

Курс рассчитан на 34 часа. Занятия проводятся 1 раз в неделю.

3. Тематическое планирование курса

№ модуля

Тема занятия

Количество часов

Модуль 1.

Задачи на движение:

• Задачи на среднюю скорость;

• Задачи на движение по реке;

• Задачи на движение по окружности.

4

1

2

1

Модуль 2.

Задачи на «бассейны» (на совместную работу)

2

Модуль 3.

Задачи на проценты:

• Задачи на изменение влажности продукта;

• Задачи на сплавы-смеси;

• Задачи на переливание;

• Задачи на изменение величины зарплаты, стоимости товара, плана выпуска продукции и т.д.;

• Разные задачи на проценты.

6

1

2

1

1

1

Модуль 4.

Задачи на прогрессии

2

Модуль 5.

Задачи на уравнениях в целых числах

1

Модуль 6.

Реальная математика

• Задачи на оптимальное решение;

• Задачи на определение наиболее экономичных заказов;

• Задачи химического, физического, производственного смысла.

11

4

3

4

Модуль 7.

Задачи по комбинаторике, статистике и теории вероятностей.

• Статистика в диаграммах и графиках;

• Задачи на вычисление вероятностей событий.

4

Решение задач разных типов

4

Итого

34

4. Содержание

Модуль 1. Задачи на движение (4 часа)

Дидактическая цель:

• Повторить формулы скорости, времени и расстояния, единицы измерения каждой величины, усовершенствовать навыки работы с данными формулами;

• Развивать представление о средней скорости движения, понимание терминов «собственная скорость», «скорость по течению», «скорость против течения» и владеть ними; рассмотреть условия движения по окружности двух точек в одном направлении, в противоположных направлениях.

Задачи на среднюю скорость движения .

1. Автомобиль двигался 3,2ч по шоссе со скоростью 90 км/ч, затем 1, 5 ч по грунтовой дороге со скоростью 45 км/ч, наконец, 0,3 ч по проселочной дороге со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всем участке пути. (2)

Решение. Чтобы найти среднюю скорость движения автомобиля на всем участке пути, необходимо весь проделанный путь разделить на затраченное на этот путь время.

(3,2 · 90 + 1,5 · 45 + 0,3 · 30) : (3,2 + 1,5 + 0,3 ) = 74,7 (км/ч )

Ответ: 74,7 км/ч.

2. На первом участке пути поезд шел 2 ч со скоростью 60 км/ч, а на втором он шел 3 ч. С какой скоростью шел поезд на втором участке, если его средняя скорость на двух участках была равна 51 км/? (2)

Решение. Так как средняя скорость движения на всем участке пути составляет 51 км/ч, то за 5 часов движения поезд прошел 255км. За первые 2 часа он пройдет 60 · 2 = 120 км. Следовательно, последующие 3 часа он пройдет со скоростью ( 255 - 120 ) : 3 = 45 км/ч.

Ответ: 45 км/ч.

3. Расстояние между двумя пунктами 45 км. Мотоциклист проехал это расстояние в одном направлении ( в гору ) со скоростью 40 км/ч, а в другом направлении (с горы) со скоростью 60 км/ч. Какова средняя скорость движения мотоциклиста на всем участке пути? (1)

Решение. Средняя скорость движения равна частному от деления пройденного пути на потраченное на этот путь время. Все расстояние составляет 45 · 2 = 90 км, а потраченное время равно

45/40 + 45/60 = 15/8 (ч ). Следовательно, средняя скорость равна 48 км/ч.

Ответ: 48 км/ч.

4. Турист шел со скоростью 4 км/ч, а потом точно такое же время со скоростью 5 км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на всем участке пути? (1)

Решение. Пусть турист шел х часов со скоростью 4 км/ и столько же - х часов со скоростью 5 км/ч. Тогда за 2х часов он прошел 4х + 5х = 9х км. Средняя скорость движения туриста равна 9х : 2х = 4,5 км/ч.

Ответ: 4,5 км/ч.

5. Некоторое расстояние автомобиль преодолел в гору со скоростью 42 км/ч, а с горы со скоростью 56 км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля на всем участке пути? (1)

Решение: пусть длина участка пути равна х км. Тогда в оба конца автомобиль проехал 2х км, затратив на весь путь х : 42 + х : 56 = х : 24 ч. Средняя скорость движения равна (2х : х) : 24 = 48 км/ч.

Ответ: 48 км/ч.

6. В гору велосипедист ехал со скоростью 10 км/ч, а с горы с некоторой другой постоянной скоростью. Как оказалось, средняя скорость движения была равна 12 км/ч. С какой скоростью он шел с горы? (1)

Решение: Пусть в гору и с горы велосипедист проехал по х км - всего 2х км. Так как средняя скорость равна 12 км/ч, то на путь туда и обратно затрачено 2х : 12 = х : 6 (ч). Пусть скорость движения с горы равна у км/ч, тогда на путь туда и обратно затрачено х:10 + х:у = х(у+10):10 у (ч).

Получим уравнение: х (у + 10) : 10у = х : 6.

Разделим левую и правую часть на х и найдем у:

(у + 10) : 10 у = 1 : 6,

6у + 60 = 10 у,

у = 15

Ответ: 15 км/ч.

7. Автомобиль ехал из А до В порожняком с некоторой постоянной скоростью, а возвращался с грузом со скоростью 54 км/ч. С какой скоростью он ехал порожняком, если средняя скорость оказалась равной 60 км/ч? (1)

Решение этой задачи аналогично решению предыдущей.

Ответ: 67,5 км/ч.

8. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 52 км/ч, а вторую - со скоростью 62 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всем участке пути. (5)

Решение:

Все данные можно свести в таблицу.

v, км/ч

t, ч

s, км

1 часть пути

52

х

52х

2 часть пути

62

х

62х

Ответ: 57 км/ч.

Задачи на движение по реке.

При решении задач на движение по реке очень важно отработать понимание учащимися понятий «собственная скорость», «скорость в стоячей воде», «скорость по течению», «скорость против течения».

Задача 1. Катер проходит некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а по течению реки за 5ч. Сколько времени потребуется плоту на такое же расстояние?

Решение: Примем все расстояние за 1, тогда за 1 ч катер проходит по течению 1/5, а по озеру 1/6 всего расстояния; по течению на 1/5 - 1/6 = 1/30 расстояние больше - это и есть часть расстояния, на которую в час течение сносит все предметы, в том числе и катер, и плот. Значит, то же расстояние плот проплывет за 30 ч.

Ответ: 30 ч.

Задачу можно решить с помощью уравнения.

Пусть х км - данное расстояние, тогда х : 5 км/ч - скорость катера по течению, х : 6 км/ч - скорость катера в стоячей воде. Так как скорость движения плота равна скорости течения , тогда плот будет двигаться со скоростью

х : 5 - х : 6 = х : 30 (км/ч).

Отсюда искомое время будет равно частному от деления пройденного расстояния на скорость плота.

Ответ: 30 ч.

Задача 2. Катер прошел от одной пристани до другой 240 км и вернулся обратно. Найдите среднюю скорость катера на всем пути, если его собственная скорость 18 км/ч, а скорость течения 2 км/ч. (3)

Решение: Средняя скорость движения равна частному от деления всего пройденного пути на затраченное на этот путь время. Весь путь составляет 240 + 240 = 480 км.

Затраченное время равно сумме времени, затраченного на путь по течению и времени на путь против течения.

18 + 2 = 20 (км/ч) - скорость по течению;

240 : 20 = 12 (ч) - затрачено на путь по течению.

18 - 2 = 16 (км/ч) - скорость против течения;

240 : 16 = 15 (ч) - затрачено на путь против течения.

Следовательно, средняя скорость катера будет равна

480 : (12 + 15) = 17 (км/ч).

Ответ: 17(км/ч).

Задача 3. Пароход от Киева до Херсона идет 3 суток, а от Херсона до Киева - 4 суток. Сколько времени будут плыть плоты от Киева до Херсона? (1)

Решение: Следует учесть, что от Киева до Херсона катер плывет по течению, а обратно - против течения. Плот же плывет в стоячей воде.

Пусть расстояние между городами х км. Тогда скорость по течению равна х/3 км/сут, а скорость против течения - х/4 км/сут.

Тогда удвоенная скорость течения будет равна

( км/сут.)

Следовательно, скорость течения

( км/сут.)

а время движения плота составит (дня)

Ответ: 24 дня.

Задача 4. Пловец по течению быстрой реки проплыл 150 км. Когда же он поплыл против течения, то за то же время его снесло течением на 50 м ниже по течению. Во сколько раз скорость течения реки больше скорости пловца? (1)

Решение: Пусть собственная скорость пловца х км/мин, а скорость течения у км/мин. Тогда время движения по течению реки и против течения соответственно равны

мин. и мин.

По условию задачи эти выражения равны. Отсюда получим, что у =2х, т.е. скорость течения реки больше скорости пловца в 2 раза.

Ответ: в 2 раза.

Задача 5. Папа и сын плывут на лодке против течения реки. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпку. Только через 20 минут папа заметил пропажу, быстро развернул лодку и они поплыли вниз по течению с той же собственной скоростью. За сколько минут они догонят шляпку? (4)

Решение: Пусть собственная скорость лодки х км/ч, а скорость течения у км/ч. Тогда скорость удаления лодки и шляпы равна (х -у) + у = х км/ч, а скорость сближения лодки и шляпы равна (х + у) - у = х км/ч. Удаление и сближение лодки и шляпы происходило на одно и то же расстояние и с одной и той же скоростью, значит, время движения туда и обратно одинаково, т.е. шляпу догонят через 15 минут.

Ответ: 20 мин.

Задача 6. Я греб вверх по течению и, проплывая под мостом, потерял шляпу. Через 10 минут я это заметил и, повернув и гребя с той же силой, нагнал шляпу в 1 км ниже моста. Какова скорость течения? (1)

Решение: Решение задачи опирается на решение предыдущей задачи.

Я догонял шляпу столько же времени, сколько удалялся от нее. Следовательно, шляпа, плывшая со скоростью течения, проплыла 1 км за 20 минут, т.е. скорость течения равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

Задачи на движение по окружности

1. Ходики показывают 9 часов. Какое время будут показывать ходики, когда минутная стрелка догонит часовую в третий раз?

Решение: Пусть искомое время составляет х часов.

Что больше?

s₂ > s₁ на 2 круга.

Тогда

Откуда х = 3 (ч).

Следовательно, часы покажут 12 часов.

Ответ: 12 часов.

2. По окружности длиной 60м равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна из них делает полный оборот на 5 секунд быстрее другой, при этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 минуту. Определите скорости точек.

Решение:

v, м/с

t, сек

s, м

1 точка

Х

60/х = t₁

60

2 точка

У

60/у = t₂

60

1 точка

Х

60

60х = s₂

2 точка

у

60

60у = s₂

v₁ > v₂. тогда на 5 сек.

При движении в одном направлении совпадение точек происходит ровно через 1 круг. Тогда s₁ > s₂ на 1 круг ( 60 м )

А значит, 60х - 60у = 60;

х - у = 1.

Решая полученную систему уравнений

получим х = 4, у = 3.

Ответ:3 м/с; 4 м/с.

3. Из пункта А круговой трассы длиной 80 км одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого 92 км/ч, а скорость второго - 68 км/ч. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго ровно на 1 круг?

Решение:

v, км/ч

t, ч

s, км

1 автомобилист

92

х

92х =s₁

2 автомобилист

68

Х

68х = s₂

Что больше?

s₁ > s₂ на 1 круг, равный 80 км.

92х - 68х = 80;

24х = 80;

Х = 10/3.

10/3 ч = 200 минут.

Ответ: Через 200 мин.

4. Две точки двигаются по окружности длиной 1,2м с постоянными скоростями. Если они двигаются в разных направлениях, то встретятся через каждые 15 сек. При движении в одном направлении первая точка догонит другую через каждые 60 сек. Найдите скорости каждой точки.

Решение: Пусть v₁ > v_2, тогда s₁ > s₂ на m, значит s₁ - s_{2 =} m; (при движении в противоположных направлениях).

Если же они двигаются в одном направлении, то s₁+s₂=1 кругу, т.е. 1,2м. следовательно, s₁ + s_{2 =}m. Сведем все данные в таблицу:

v, м/ч

t, ч

s, м

1 точка

Х

15

15х = s₁

2 точка

У

15

15у = s₂

1 точка

Х

60

60х = s₃

2 точка

у

60

60у = s₄

15х = 15у = 1,2;

60х = 60у = 1,2.

Решением данной системы будет х = 0,05, у = 0,03. значит, точки двигались со скоростями 0,05м/с и 0,03м/.

Ответ: 0,05м/с; 0,03м/с.

5. Два бегуна одновременно стартуют из двух диаметрально противоположных точек А и В круговой дорожки стадиона. Они бегут в противоположных направлениях и встречаются в первый раз в точке М, находящейся в 50 метрах от точки В, во второй раз - в точке С, находящейся в 42 метрах от А. найдите длину дорожки стадиона.

Решение: До момента первой встречи оба бегуна пробегут вместе полкруга, до момента второй встречи вместе пробегут они целый круг.

Следует рассмотреть две различных ситуации.

1 ситуация.

Бегуны бегут навстречу друг другу. Тогда до момента первой встречи в точке М второй из них пробежит 50м (ВМ = 50м). Так как движение равномерное, то до момента второй встречи в точке С он пробежит эти же 50м (ВС = 100м). Но от начала движения первого из них расстояние до точки С равно 42м (АС = 42м). Тогда путь первого до первой встречи составит полкруга.

42 + 100 + 50 = 192 (м), следовательно, весь круг 384 м.

2 ситуация.

Бегуны встречаются первый раз в точке М, а в другой раз - в точке С, находящейся на другой полуокружности от точки А. Тогда

МС = 100м; АМ = 100 - 42 = 58 (м);

А, значит, весь путь составит (58 + 50) · 2 = 216 (м).

Ответ: 384 м или 216 м.

6. Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, сходятся через каждые 56 минут. Если бы они двигались с теми же скоростями в противоположных направлениях, то они встречались бы через каждые 8 минут. Известно, что при движении в противоположных направлениях расстояние между ними уменьшилось с 40м до 26м за 24 сек. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности?

Решение:

v, круг/мин

t, мин

S, круг

1 тело

Х

56

56х = s₁

2 тело

У

56

56у = s₂

1 тело

Х

8

8х = s₃

2 тело

у

8

8у = s₄

Пусть v₁ > v_2, тогда s₁ > s₂ ( на 1 круге). Получим первое уравнение:

56х - 56у = 1.

При движении в разных направлениях: s₃+ s₄ = 1 круг. Имеем:

8х + 8у = 1.

Решая систему полученных уравнений, получим:

(кр/мин);(кр/мин).

Чтобы определить скорость тел в м/мин, воспользуемся дополнительными условиями. Известно, что за 24 сек = 2/5 минут при движении в противоположных направлениях расстояние между ними уменьшилось на 40 - 26 = 14(м), которое они прошли вместе. Оставшийся путь - 26 м.

Пусть вся окружность имеет длину р м. Первая точка за 1 минуту проходит 1/14 р, а за 2/5 минуты - 2/70 = 1/35 р.

Вторая точка за 1 минуту проходит 3/56 р, а за 2/5 минуты - 3/140 р.

Тогда вместе они пройдут

Откуда р = 280(м) - длина окружности, а скорости точек соответственно равны 20 м/мин и 15 м/мин.

Ответ: 280 м; 20 м/мин: 15 м/мин.

7. По двум концентрическим окружностям равномерно вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 секунд быстрее другой, и поэтому успевает сделать в 1 минуту на 2 оборота больше. Сколько оборотов в минуту совершает каждая точка?

Решение: Точки вращаются независимо друг от друга.

Пусть v₁ >v_2, тогда

(сек) = (мин.) 1-е уравнение.

Так как s₁ > s_2, то х - у = 2- (2-е уравнение)

Решая систему полученных уравнений, имеем:

х = 6; у = 4.

Ответ: 6 кр/мин; 4 кр/мин.

Модуль 2. Задачи «на бассейны» (2 часа)

Дидактическая цель:

• Рассмотреть различные жизненные ситуации на совместную работу; познакомить учащихся со старинными математическими задачами;

• Усвоить понятие «производительность».

Задача 1.

За пять недель пират Ерема

Способен выпить бочку рома,

А у пирата у Емели

Ушло б на это две недели.

За сколько дней прикончат ром

Пираты, действуя вдвоем? (1)

Решение: Рассмотрим задачу не в неделях, а в днях.

Пират Ерема выпивает бочку рома за пять недель, следовательно, за 35 дней. Тогда за один день он выпивает1/35 бочки рома.

Пират Емеля выпивает эту же бочку за две недели, т.е. за 14 дней. Тогда ежедневно он может выпить 1/14 бочки рома.

Если они будут пить ром вместе, то за один день выпьют

( бочки рома).

Следовательно, всю бочку рома пираты смогут выпить вместе за 10 дней.

Ответ: 10 дней.

Задача 2. (старинная задача) Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь? (4)

Решение: Если муж выпивает кадь пития за 14 дней, а вместе с женой за 10 дней, то количество пития, выпитого за 1 день, будет соответственно равно 1/14 и 1/10 кади. Тогда жена выпьет за день

(кади).

Следовательно, всю кадь пития жена выпьет за 35 дней.

Ответ: 35 дней.

Задача 3. Лев съел овцу за один час, волк съел овцу за два часа, а пес съел овцу за три часа. Спрашивается, как скоро они втроем съели бы овцу? (4)

Решение: За один час лев, волк и пес съедят

( овцы ).

Следовательно, чтобы съесть вместе одну овцу, всем троим понадобится (часа)

Ответ: за ч.

Задача 4. Через первую трубу бассейн наполняется за 20 часов, через вторую - за 30 часов. За сколько часов бассейн наполнится через обе трубы?

Решение: Производительность труб соответственно равна 1/20 и 1/30 воды в час. Работая вместе, за один час наполнится

(бассейна).

Следовательно, через две одновременно работающих трубы бассейн наполнится за 12 часов.

Ответ: за 12 ч.

Задача 5. Первая бригада может выполнить задание за 36 дней, а вторая - за 45 дней. За сколько дней две бригады выполнят задание, работая вместе? (1)

Решение: Производительность труда каждой бригады равна 1/36 и 1/45 задания в день соответственно. Тогда, работая вместе, за один рабочий день бригады смогут выполнить

(работы).

Вся же работа будет выполнена за 20 дней.

Ответ: за 20 дней.

Задача 6. (Из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого) Четыре человека хотят двор строить. Первый из них может построить в 1 год, второй может в два года, третий - в три года, а четвертый - в четыре года. Спрашивается, в сколько годов они все вместе построят тот двор? (1)

Решение: Каждый из этих людей может построить в год 1двор, двора, двора, двора.

При совместной работе за один год они могут построить

(двора).

Следовательно, один двор они могут выстроить за года, т.е за дня

Ответ: за 175 дня.

Задача 7. Два сотрудника типографии вместе набрали на компьютере 65 страниц, причем первый работал на 1 час больше, чем второй. Однако второй набирает в час на 2 страницы больше, чем первый, и поэтому он набрал на 5 страниц больше. Сколько страниц в час набирает каждый сотрудник? (5)

Решение:

Время работы,

(ч)

Производительность (страниц в час)

Вся работа

(страниц)

1 рабочий

х

у

ху

2 рабочий

х - 1

у +2

(х - 1)(у + 2)

Т.к. при совместной работе напечатано 65 страниц, то получим уравнение

ху + (х - 1)(у + 2) = 65.

Зная, что второй рабочий напечатал на 5 страниц больше первого, получим:

(х - 1)(у + 2) - ху = 5.

Решая систему полученных уравнений получим:

Х₁ = -2,5, что не удовлетворяет условие задачи,

Х₂ = 6 (ч), тогда у = 5.

5 страниц в час набирает 1-й сотрудник,

5 + 2 = 7 страниц набирает 2 -й сотрудник.

Ответ: 5 и 7 страниц.

Задача 8. На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 минут. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой машине е можно сделать на 15 мин быстрее, чем на второй? (5)

Решение:

Время работы,

(ч)

Производительность каждой машины

Вся работа

(пакет докум.)

1 машина

х

1/х

1

2 машина

у

1/у

1

По условию задачи известно, что на первой машине заказ можно выполнить на 15 мин. быстрее, следовательно

у - х = 15;

Т. к. при совместной работе на двух машинах можно выполнить заказ за 10 минут, то общая производительность составит:

решая систему полученных уравнений, имеем: х = 15, у = 30.

Ответ: 15 и 30 ч.

Задача 9. На дачном участке есть небольшой бассейн. Если подавать в него воду с помощью двух шлангов, то за 8 минут будет наполнено 2/3 бассейна. За какое время можно наполнить бассейн водой через каждый из шлангов в отдельности, если один из них наполн7яет бассейн на 10 минут быстрее, чем другой? (5)

Решение:

Время работы,

(ч)

Производительность каждого шланга

Вся работа

(наполненный бассейн.)

1 шланг

х

1/х

1

2 шланг

у

1/у

1

Исходя из условия задачи, имеем, что один из шлангов наполняет бассейн, работая самостоятельно, на 10 мин быстрее другого. Значит

х - у = 104.

При совместной работе за 8 мин будет наполнено 2/3 всего бассейна, имеем:

решая полученную систему уравнений, получим:

х = 30; у = 20.

Ответ: 20 и 30 ч.

Задача 10. Двум операторам поручили набрать на компьютере текст рукописи объемом 288 страниц. Первый оператор взял себе 168 страниц, отдав остальные страницы второму. Первый выполнил свою работу за 21 день, второй - за 12 дней. Сколько страниц рукописи первый оператор должен был дополнительно передать второму, чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое число дней?

Решение: 1-й оператор набрал 168 страниц за 21 день. Следовательно, его производительность труда составляет 8 страниц в день.

2-й оператор набрал 120 страниц за 12 дней, следовательно, его производительность составила 10 страниц в день.

Тогда их общая производительность составит 18 страниц в день.

Весь заказ (288 страниц) два оператора, работая вместе, наберут за

288 : 18 = 16 (дней).

Первый оператор должен отдать второму 8 · (21 - 16) = 40 (страниц).

Ответ: 40 страниц.

Модуль 3. Задачи на проценты (6 часов)

Задачи на проценты можно разделить на три основные группы:

1. Изменение влажности продукта;

2. Изменение величины заработной платы (плана выпуска продукции, стоимости товара, акций и др.);

3. О процентном содержании компонентов в растворе или сплаве.

Исходя из этого, решение задач данного типа преследует следующие цели:

• овладеть понятием «процент» и уметь оперировать им в различных ситуациях;

• ввести понятие «сложные проценты»;

• знать/понимать понятие «концентрация» и уметь находить ее;

• рассмотреть в процессе решения задач практическую направленность понятия «процент»

Разные задачи на проценты

Задача 1. Число увеличили на 10%, а потом уменьшили на 10%. Изменилось ли число?

Решение:

1-я ситуация:

Пусть х - данное число, у - новое число.

Х - 100%

У - 110% , отсюда новое число составляет 1,1х.

2-я ситуация:

1,1х - 100%

Z - 90%, отсюда полученное вновь число составит 0,99х.

Сравнив первоначальное и конечное значение числа, можно сказать, что новое число составляет 99% данного, т.е. число уменьшилось на 1%.

Ответ: уменьшилось на 1%.

Задача 2. Число увеличили на 10%, а потом еще на 10%. На сколько процентов увеличили число за два раза?

Решение:

1-я ситуация.

Было: х - 100%

Стало: у - 110%, отсюда у - 1,1х.

2-я ситуация:

Было: 1,1х - 100%

Стало: z - 110%, откуда z = 1,21х.

Сравнив полученные результаты, делаем вывод, что данное число увеличилось на 21%.

Ответ: увеличилось на 21%.

Задача 3. Альбом дороже книги на 100%. На сколько процентов книга дешевле альбома?

Решение:Стоимость книги - х р - 100%

Стоимость альбома - 2х р - 200%.

Книга в два раза дешевле альбома, а значит, ее стоимость составляет 50% стоимости альбома. Стоимость книги меньше стоимости альбома на 50%.

Ответ: на 50%.

Задача 4. Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу сосна составляет 99%. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?

Решение: Для наглядности и большей уверенности в полученном результате целесообразно решить задачу в конкретных числах.

Пусть всего было 1000 деревьев. Сосна составляет 99%, т.е 990 штук.

Предположим, что вырубили х сосен. Тогда их осталось 990 - х. Все оставшиеся деревья составляют 1000 - х штук. После вырубки 1% сосен они будут составлять 98% от всего количества деревьев, т.е 0,98 (1000 - х ). Получим уравнение:

990 - х = 0,98(1000 - х),

решая которое, получим х = 500.

Оказывается, что при такой постановке вопроса вырубается половина всех сосен.

Решая задачу в общем виде, имеем такой же результат.

Пусть было всего х деревьев. Сосны составляют 99% от всего количества, т.е 0,99 х. Вырубили у сосен. Осталось: (х - у) деревьев и

(0,99 х - у) сосен.

Процентное содержание сосен в лесу составляет

100 = 98;

0,99 х - у = 0, 98(х - у).

Решая уравнение, получим:

х= 2у, откуда

у = 0,5 х,

т.е. вырубленная сосна составляет половину имеющихся в лесу деревьев.

Задачи на изменение влажности продукта:

Задача 1. Арбуз весил 20 кг и содержал 99% воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз? (1)

Решение:

Сухое вещество

вода

вода

Сухое вещество

Вода

1%

99%

-

=

2%

20 кг

Х кг

(20 - х)

кг

Было: 0,01• 20 = 0,2 кг (сух. вещ.)

Осталось: 0,02 • (20 - х) кг (сух. вещ.)

0,02 • (20 - х) = 0,2

х = 10.

10 кг воды испарилось. Арбуз весит 10 кг.

Ответ: 10 кг.

Задача 2. Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляет 98%. После подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов после подсушивания? (КИМы - 2005)

Решение:

Сухое вещество: было: (0,02 • 140) кг; стало: (0,07 • х) кг;

0,02 • 140 = 0,07 • х;

х = 40 кг.

Ответ: 40 кг.

Задача 3. Свежие грибы содержат 92% воды, а сухие - 8%. Сколько получится сухих грибов из 23 кг свежих? (КИМы - 2006)

Решение:

Сухое вещество

Вода

Вода

Сухое вещество

Вода

8%

92%

-

=

92%

8%

23

кг

(23 - х)

х

кг

Сухое вещество: было: (0,08 • 23) кг; стало: (0,92 • х) кг;

0,08 • 23 = 0,92 х;

х = 2.

Ответ 2 кг.

Задача 4. Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько томат-пасты, содержащей 30% воды, получится из 28 тонн протертой м ассы томатов, содержащей 95% воды? (1)

Решение:

Сухое вещество

Вода

Вода

Сухое вещество

Вода

5%

95%

-

=

70%

30%

28

т

28 - х

х

т

Сухое вещество: было: (0,05 • 28) т; стало: (0,7 х) т;

0,05 • 28 = 0,7 х;

х = 2.

Ответ: 2 т.

Задачи на процентное содержание компонентов в сплаве или растворе

Задача 1. Кусок сплава меди и цинка массой в 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы получить новый сплав, содержащий 60% меди?

Решение:

медь

цинк

медь

медь

цинк

45%

+

=

60%

36

кг

х кг

(36 + х)

кг

0,45 • 36 + х = 0,6 • (36 + х);

16,2 + х =21,6 + 0,6х;

0,4 х = 5,4;

х = 13,5.

Ответ: 13,5 кг.

Задача 2. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение:

Соляная кислота

Вода

Соляная кислота

Соляная кислота

Вода

30%

+

10%

=

15%

х

г

600 - х

600

г

0,3 х + 0,1 (600 - х) = 0,15 • 600;

0,3 х + 60 - 0,1 х = 90;

0,2 х = 30;

х = 150.

150 г 30%-ного раствора и 450 г 10%-ного раствора соляной кислоты нужно взять.

Ответ: 150г и 450г.

Задача 3. Латунь - это сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг меньше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в которой содержится 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально?

Решение:

Составим уравнение по количеству меди.

х + 12 = 0,75 • (2х + 1)

х - 1,5х = 0,75 - 12;

0,5х = 11,25;

х = 22,5.

Ответ: 22,5 кг

Задача 4. Имеется два слитка сплава серебра и олова. Первый сплав содержит 360 г серебра и 40 г олова. Второй сплав содержит 450 г серебра и 150 г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 200 г сплава, в котором оказалось 81% серебра. Определить массу куска, взятого от второго слитка.

Решение: Для начала определим процентное содержание серебра в каждом слитке.

1-й слиток: 360 : (360 + 40) = 0,9 =90%;

2-й слиток: 450 : (450 + 150) = 0,75 = 75%.

серебро

олово

серебро

олово

серебро

олово

90%

+

75%

=

81%

(200

- х) г

х

г

200

г

0,9 • (200 - х) + 0,75х = 0,81 • 200;

180 - х + 0,75х = 162;

0,15х = 18;

х = 120.

Ответ: 120 г.

Задача 5. Если смешать 8 кг и 2 кг раствора серной кислоты разной концентрации, то получим 12%-ный раствор. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15%-ный раствор. Определить первоначальную концентрацию каждого раствора.

Решение:

Серная кислота

Серная кислота

Серная кислота

х%

+

у%

=

12%

8

кг

2

кг

10

кг

Серная кислота

Серная кислота

Серная кислота

х%

у%

15%

m

кг

m

кг

2m

кг

Задачу можно решить без перехода процентов в десятичные дроби.

8х + 2у = 12 • 10;

mх + mу = 15 • 2 m.

Переходим к более простой системе:

4х + у = 60;

х + у = 30.

Решением системы будут числа х = 10; у = 20.

Ответ: 10%; 20%.

Задача 6. Имеются два слитка золота и серебра. В первом - отношение золота к серебру 1:2, а во втором - 2:3. если сплавить 1/3 первого слитка и 5/6 второго, то в полученном слитке будет столько золота, сколько в первом серебра. Если же 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке серебра будет на 1 кг больше. Чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?

Решение: В первом слитке отношение золота к серебру - 1:2. значит, весь слиток составляет 3 части. Тогда золота там будет 1/3, а серебра - 2/3. Если предположить, что золота было х кг, то серебра там будет 2х кг. Исходя из условия задачи, получим первое уравнение:

Отношение золота к серебру во втором слитке составляет 2/3. следовательно, весь слиток составляет 5 частей. Золота в нем 2/5, а серебра - 3/5. если золота было 2у кг (2 части), а серебра - 3у (3 части), то, согласно условию задачи, имеем:

Решая систему полученных уравнений, имеем: х = 1,2; у = 1,2.

Следовательно, в первом слитке золота было 1,2 кг, а во втором - 2,4 кг.

Ответ: 1,2 кг; 2,4 кг.

Задачи на переливание

Задача 1. В колбе было 800 г 80%-ного спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого спирта и добавил 200 г воды. Определите концентрацию в процентах полученного спирта.

Решение: В задачах такого типа нас интересует только спирт.

спирт

вода

спирт

вода

вода

Спирт

вода

80%

-

80%

+

=

х%

800

г

200

г

200 г

800

г

Спирта было: 0,8 • 800 = 640 (г);

Спирта вылили: 0,8 • 200 = 160 (г);

Спирта осталось: 640 - 160 = 480 (г) ( в новом растворе - 800 г);

Концентрация спирта в новом растворе: (480 : 800) • 100% = 60%.

Ответ: 60%.

Задача 2. В сосуде было 20 л чистого спирта. Часть этого спирта отлили, а сосуд долили водой. Затем отлили столько же литров смеси, и сосуд опять долили водой. После этого в сосуде оказалось чистого спирта втрое меньше, чем воды. Сколько спирта отлили первый раз?

Решение: Пусть каждый раз отливали х л спирта.

1-я ситуация: Спирта было: 20 л;

Спирта отлили: х л;

Спирта осталось: (20 - х) л в 20 л раствора;

Концентрация: (20 - х) : 20 • 100% =

2-я ситуация: спирта было: (20 - х) л;

Спирта отлили: ((20 - х) : 20) • х;

Спирта осталось:

( 20 - х -х) л в 20 литрах раствора.

В новом растворе чистого спирта оказалось втрое меньше, чем воды. Следовательно, спирт составляет ¼ всего раствора, т.е. 20 : 4 = 5 л.

Получим уравнение:

20 - х - х = 5;

400 - 20х - 20х + х² - 100 = 0;

х² - 40х + 300 = 0;

х₁ = 10;

х₂ = 30 ( не удовлетворяет условие задачи).

Ответ: отлили 10 л спирта.

Задача 3. В двух одинаковых сосудах емкостью по 30 л каждый содержится всего 30 л спирта. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд. Затем из второго сосуда отливают в первый 12 л полученной смеси. В результате во втором сосуде оказалось на 2 л спирта меньше, чем в первом. Найти первоначальный объем спирта в каждом сосуде.

Решение:

1-й сосуд, 30 л

2-й сосуд, 30 л

вода

вода

спирт, х л

спирт, (30 - х) л

1-й сосуд: спирта было х л в 30 л раствора;

Концентрация спирта: (х : 30) • 100%.

Чтобы доверху дополнить второй сосуд, нужно взять из первого сосуда х л смеси. Сколько спирта содержится в этой смеси?

Из 1-го сосуда чистого спирта взяли: в 1-м сосуде спирта осталось:

л; л.

Тогда во втором сосуде чистого спирта стало:

л в 30 литрах раствора.

Концентрация во втором сосуде:

• 100%;

Из второго сосуда отлили 12 л полученной смеси в первый сосуд. Количество чистого спирта в нем составляет:

л;

В первом сосуде чистого спирта стало:

л;

По условию задачи всего чистого спирта было 30 л, а после произведенных переливаний в первом сосуде спирта оказалось на 2 л больше, чем во втором. Следовательно, в первом сосуде спирта было 16 л, а во втором - 14 л. Получим уравнение:

= 16;

30х - х² + 12 (30 - х + х²/30) = 480;

30х - х² +360 - 12х + 0,4 х² = 480;

х² - 30х + 200 = 0;

х₁ = 20; х₂ = 10.

Ответ: 20 л; 10 л.

Задача 4. Емкость сосуда 8 л. Он наполнен воздухом, содержащим 16% кислорода. Из него выпускают некоторое количество воздуха и впускают такое же количество азота. После чего опять выпускают такое же, как и в первый раз, количество смеси и опять дополняют таким же количеством азота. В новой смеси кислорода оказалось 9%. Определить, по сколько литров смеси выпускали каждый раз.

Решение: Все расчеты производятся по кислороду.

Пусть выпускают каждый раз по х л воздуха.

1-я ситуация: Кислорода было: 0,16 • 8 = 1,28 (л);

Кислорода выпустили: 0,16х (л); 16% О₂

Кислорода осталось: (1,28 - 0,16х) л (в 8 л смеси, т.к. в него добавили азот);

Концентрация: (1,28 - 0,16х) : 8 • 100%.

2-я ситуация: Кислорода выпустили: (1,28 - 0,16х) : 8 • х. 9% О₂

Кислорода осталось: 0,09 • 8 = 0,72 (л);

Кислорода выпустили за 2 раза: 1,28 - 0,72 = 0,56 (л).

Получим уравнение:

16х + 16х - 2х² - 56 = 0;

х² - 16х + 28 = 0;

х₁ = 14 (условие задачи на удовлетворяет);

х₂ = 2.

По 2 л воздуха выпускали каждый раз.

Ответ: по 2 л.

Задачи на изменение величины зарплаты, стоимости товара, плана выпуска продукции, банковские расчеты.

Задача 1. Цена товара сначала повысилась на 10%, а затем понизилась на 20%. Найти процент изменения цены товара.

Решение:Пусть первоначальная цена товара - х уе.

1-й сл.: Цена повысилась на 10% - стала 110%, а, значит, повысилась в 1,1 раза.

Тогда новая цена - 1,1х уе.

2-й сл.: цена понизилась на 20% - стала 80%, т.е. 0,8 от 1,1х. Имеем:

0,8 • 1,1х = 0,88х (уе).

Цена была: х уе; Цена стала: 0,88х уе.

Цена изменилась на х - 0,88х = 0,12х (уе), т.е.на 12%.

Ответ: на 12%.

Задача 2. В январе завод выполнил 105% месячного плана, в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?

Решение: Пусть месячный план составляет х продукции.

Январь: 1,05х продукции

Февраль: 1,05х • 1,04 = 1,092х (продукции);

За два месяца: 1,05х + 1,092х = 2,142х (продукции).

Двухмесячный план: - 2х продукции.

Процент выполнения за два месяца: 2,142х : 2х • 100% = 107,1%;

А, значит, завод перевыполнил двухмесячный план на 7,1%.

Ответ: на 7,1%.

Задача 3. За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 8%, в следующем году выпуск продукции увеличился на 25%. На сколько процентов вырос выпуск продукции по сравнении с первоначальным? (ЕГЭ)

Решение: Пусть х - выпуск продукции по плану.

1,08х - выпуск продукции в 1-й год.

1,08х •1,25 - 1,35х - продукции во второй год.

1,35х - х = 0,35х - увеличение выпуска продукции за два года, что составляет 35%.

Ответ: на 35%.

Задача 4. В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число процентов, если известно. Что в январе завод выпускал 600 изделий, а в феврале - 726 изделий. (ЕГЭ)

Решение: Январь: 600 изделий - 100%.

Увеличился выпуск на х% - стало (100 + х)%.

Переходя к дроби, получим: (100 + х):100 = 1 + 0,01х

Выпуск продукции увеличивался дважды на одно и то же число процентов и был доведен до 726 изделий. Поэтому, имеем:

600 • (1 + 0, 01х) (1 + 0,01х) = 726;

(1 + 0,01х)² = 1,21;

1 + 0,01х = 1,1;

0,01х = 0,1;

х = 10.

Ответ: на 10%.

Задача 5. Магазин выставил на продажу шубу, назначив цену на 150% выше оптовой. В конце сезона эта цена была снижена на 20%, а при распродаже весной новая цена была продана за 36000 рублей. Какую прибыль получил магазин? (Демо)

Решение: Оптовая первоначальная цена - х рублей.

2,5х рублей - розничная цена магазина

(0,8 • 2,5х) р = 2х р цена после 1-го снижения.

0,6 • 2х = 1,2х р цена после 2-го снижения.

1,2х = 36000;

х = 30000

30000 рублей - оптовая цена.

36000 - 30000 = 6000 (руб.) - полученная прибыль магазина.

Ответ: 6000 рублей.

Задача 6. Букинистический магазин продал книгу со скидкой в 10% от первоначальной цены и получил при этом 8% прибыли. Какую прибыль в процентах предполагал получить магазин до скидки?

Решение:Пусть книга была сдана в магазин за х рублей - 100%;

у% - предполагаемая прибыль;

(100 + у)% = (1 + 0,01у) - предполагаемая прибыль;

х • (1 + 0.01у) рублей - предполагаемая магазином цена;

Скидка 10%:

0,9 • х(1 + 0,01- рублей - фактическая цена книги при продаже;

Получено 8% прибыли - это1,08 х рублей.

0,9 х (1 + 0,01у) = 1,08 х;

108х = 90 х (1 + 0.01у);

1 + 0,01у = 1,2;

0.01у = 0.2;

у = 20.

20% прибыли предполагал получить магазин.

Ответ: 20%.

Задача 7. Зарплату повысили на p%. Затем новую зарплату повысили на 2 p%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов была повышена зарплата во второй раз?

Решение: Пусть первоначальная зарплата - х рублей.

Повысилась зарплата на p% ---х • ( + 0,01 p) руб.

Повысилась на 2 p% ----х • (1 + 0,01 p) ( 1 + 0,02 p) руб.

Зарплата увеличилась в 1,32 раза - стала 1,32 х руб.

Получим уравнение:

х • (1 + 0,01 p) ( 1 = 0,02 p) = 1.32 х;

1 + 0,01 p + 0,02 p + 0,0002 p² = 1,32;

2 p² + 300 p - 3200 = 0;

p ² + 150 p - 1600 = 0;

p₁ = 10;

p₂ = -160 (условие задачи не удовлетворяет).

В первый раз зарплата повысилась на 10%, тогда во второй раз повышение зарплаты было на 20%

Ответ: на 20%.

Задача 8. За время учебного года стипендия повышалась дважды: за первое полугодие - на 10%, а во втором полугодии - на p%. В результате этого стипендия увеличилась на 32%. Насколько процентов стипендия увеличилась во втором полугодии?

Решение: Пусть стипендия на начало года была х рублей.

1-е полугодие: повышение на 10% - стала 1,1х руб.

2-е полугодие: повышение на p%. - стала 1,1х • (1 + 0,01 p) руб.

В итоге стипендия увеличилась на 32% - она стала 1,32х руб.

Получим уравнение:

1.1х •(1 + 0.01 p) = 1,32х;

1,1 • (1 + 0.01 p) = 1,32;

1 + 0,01 p = 1,2;

0,01 p = 0,2;

p = 20.

На 20% повысилась стипендия во втором полугодии.

Ответ: на 20%.

Задача 9. После двух повышений зарплата увеличилась в 1,43 раза. При этом число процентов, на которое повысилась зарплата во второй раз. Было в три раза больше, чем в первый раз. На сколько процентов повысилась зарплата во второй раз?

Решение: Пусть первоначальная зарплата составляла х рублей.

1-е повышение: на p% - стала х •(1 + 0.01 p) руб.

2-е повышение: на3 p% стала х •(1 + 0.01 p) (1 + 0,03 p) руб.

Зарплата увеличилась в 1,43 раза - стала 1,43 х рублей.

Получим уравнение:

х • (1 + 0.01 p) (1 + 0,03 p) = 1,43 х;

1 + 0,01 p + 0,03 p + 0,0003 p² = 1,43;

3 p² + 400 p - 4300 = 0;

p ₁ = 10_;

p₂ - отрицательное, что противоречит условию задачи.

В первый раз зарплата увеличилась на 10%, тогда второе повышение составило 30%.

Ответ: на 30%.

Задача 10. Для определения оптимального режима повышения цен социологи предложили фирме с 1-го января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине - в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2%, в другом - через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо повышать цену товара через каждые два месяца во втором магазине?

Решение: Пусть а рублей - первоначальная цена товара.

1-й магазин: повышение на 2%:

1-е повышение: цена стала - а · (1 + 0,02) руб.

2-е повышение: цена стала - а · (1 + 0,02) · (1 + 0,02)² руб.

--------------------------------------------------------------------------

6-е повышение: - цена стала - а · (1 + 0,02)⁶ руб.

2-й магазин: повышение на х%:

1-е повышение: цена стала - а · (1 + 0,01х) руб.

2-е повышение: цена стала - а · (1 + 0,01х)² руб.

3-е повышение: цена стала - а · (1 + 0,01х)³ руб.

Цены сравнялись, получим уравнение:

а (1 + 0,02)⁶ = а (1 + 0,01х)³;

(1 + 0,02)⁶ = (1 + 0,01х)³;

(1 + 0,02)² =· (1 + 0,01х);

1 + 0,04 + 0,0004 = 1 + 0,01х;

0,01х = 0.0404;

х = 4,04;

На 4,04% надо повышать цену товара во втором магазине.

Ответ: на 4,04%.

Задача 11. Для определения оптимального режима снижения цен социологи предложили фирме с 1-го января снижать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине - в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 10%, а в другом - через каждые 2 месяца, в начале третьего ( начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1-го июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо снижать цену товара через каждые 2 месяца во втором магазине?

Решение: Пусть а рублей - первоначальная цена товара.

1-й магазин - снижение на 10%:

1-е повышение - цена стала - а · (1 - 0,10 ) руб.

2-е повышение - цена стала - а · (1 - 0,10 )² руб.

-------------------------------------------------------------

6-е повышение - цена стала - а · (1 - 0,10 )⁶ руб.

2-й магазин - снижение на х%:

1-е снижение - цена стала а · ( 1 - 0,01 х) руб.

2-е снижение - цена стала а · ( 1 - 0,01 х)² руб.

3-е снижение - цена стала а · ( 1 - 0,01 х)³ руб.

Цены сравнялись - получим уравнение:

а · (1 - 0,10 )⁶ = а · ( 1 - 0,01 х)³;

(1 - 0,10 )⁶ = (1 - 0,01 х)³;

(1 - 0,10 )² = ( 1 - 0,01 х);

1 + 0,20 + 0,01 = 1 - 0,01х;

0,01х = 0,2 - 0,01;

0.01х = 0,19;

х = 19.

На 19% надо снижать цену товара во втором магазине.

Ответ: на 19%.

Задача 12. Клиент открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход банка - 11%. Если бы он добавил 800 рублей, то через год получил бы доход 220 рублей. Какую сумму внес клиент в банк?

Решение: Пусть в банк внесено х рублей.

Чтобы получит 220 рублей прибыли, ему необходимо внести в банк сумму ( х + 800) рублей. Тогда прибыль на эту сумму составила бы 0,11 · ( х + 800 ) рублей и равна 220 рублей. Получим уравнение:

0,11 · ( х + 800 ) = 220;

х + 800 = 2000;

х = 1200.

На счет было внесено 1200 рублей.

Ответ: 1200 рублей.

Задача 13. Получив премию, сотрудник фирмы решил положить ее в банк с годовым доходом 8%. Если бы банк выплачивал 11% годовых, то для получения такого же дохода потребовалась сумма на 900 рублей меньше. Сколько рублей составила премия?

Решение: Пусть сотрудник фирмы получил х рублей премии.

Доход от вложенных денег составил 0,08 х рублей.

При 11%-ной ставке для такого же дохода необходимо внести

( х - 900 ) рублей.

Получим уравнение:

0,11 · (х - 900) = 0,08х;

0,03х = 99;

х = 3300.

Премия сотрудника составила 3300 рублей.

Ответ: 3300 рублей.

Задача 14. Ирина внесла в январе 100 рублей на счет в банк, который ежемесячно начисляет 2%. Каждый месяц она вносила в течение года еще по 100 рублей, не снимая с нее никаких сумм. Какую сумму получит Ирина в конце декабря?

Решение: Рассмотрим сумму денег на счете в течение года.

Январь: 100 руб.

Февраль: (100 + 100 · 1,02) руб.

Март: (100 + 100 · 1,02 + 100 · 1,02²) руб.

------------------------------------------------------

Декабрь: (100 + 100 ·1,02 + 100 · 1,02² + … + 100 · 1,02¹¹) руб.

Сумма всех денег на счете в конце года представляет собой геометрическую прогрессию, сумма которой находится по формуле:

.

В конце года на счете будет сумма 1341 рубль.

Ответ: 1341 р.

Модуль 4. Задачи на прогрессии

Дидактическая цель:

• Повторить основные формулы арифметической и геометрической прогрессии, знать формулы n - го члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогресс и владеть ими в процессе решения задач

( а_n = а₁ + d (n - 1); S_n = ( а₁ + а_n.) :2 · n ) = (2а₁ + d (n - 1)): 2 n .

• Уметь распознать в данной задаче задачу на прогрессию.

1. Третий член арифметической прогрессии равен 25, а десятый равен 4. Найдите сумму первых 16 членов данной прогрессии. (6)

Решение: Пусть а₁ = 25 и а₁₀ = 4. используя формулу n-го члена арифметической прогрессии, имеем:

а₁ + 2d = 25;

{ а₁ + 9d = 4.

Вычтем из первого уравнения второе и получим

-7 d = 21, откуда d = -3.

Из первого уравнения найдем а₁ = 25 - 2 d = 25 - 2 · (-3 ) = 31.

Теперь находим сумму первых 16 членов этой прогрессии:

S₁₆ = (2а₁ + d · 15) : 2 · 16 = ( 2 · 31 + (-3 ) ·15) : 2 · 16 = 136.

Ответ: 136.

2. Найти сумму 25 членов арифметической прогрессии, если 13-ый е член равен 7.

Решение: Так как прогрессия арифметическая, то суммы ее членов, равноудаленных от концов, равны.

а₁₃ = член прогрессии, стоящий посередине.

а₁₃ = ( а₁₂ + а₁₄ ) : 2 = 7.

а₁₂ + а₁₄ = 14. таких пар всего 12.

Поэтому сумма всех членов прогрессии составит 12 · 14 + 7 = 175.

Ответ: S₂₅ = 175.

3. Десятый член арифметической прогрессии равен 19, а сумма первых пятидесяти членов равна 2500. найдите сумму третьего, двенадцатого и двадцатого членов этой прогрессии. (8)

Решение: Десятый член прогрессии а₁₀ = 19, а сумма первых пятидесяти ее членов S₅₀ = 2500. запишем эти условия, используя первый член а₁ и разность прогрессии d. Получаем систему уравнений:

а₁ + 9 d = 19, а₁ + 9 d = 19,

(2а₁ + 49 d ):2 · 50 = 2500. 2а₁ + 49d = 100.

Из первого уравнения системы выразим а₁ = 19 - 9d и подставим во второе:

2 (19 - 9d) + 49d = 100 или 38 - 18d + 49d = 100, или 31d = 62, откуда d = 2.

Тогда первый член а₁ = 19 - 9 · 2 = 1.

По условию задачи надо найти сумму третьего, двенадцатого и двадцатого членов этой прогрессии. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии. Получим:

а₃ + а₁₂ + а₂₀ = (а₁ + 2d) + (а₁ + 11d) + (а₁ + 19d) = 3а₁ + 32d = 3 + 32 · 2 = 67.

Ответ: 67.

4. В течение календарного года зарплата каждый месяц повышалась на одно и то же число рублей. За июнь, июль и август зарплата в сумме составила 9900 руб., а за сентябрь, октябрь и ноябрь - 10350 руб. найти сумму зарплаты за весь год. (9)

Решение: Нетрудно заметить, что условие задачи представляет собой арифметическую прогрессию. По условию задачи имеем:

а₆ + а₇ + а₈ = 9900; а₁ + 5 d + а₁ + 6 d + а₁ + 7 d = 9900;

а₉ + а₁₀ + а₁₁ = 10350. а₁ + 8 d + а₁ + 9 d + а₁ + 10 d = 10350.

3 а₁ + 18 d = 9900;

3 а₁ + 27 d = 10350.

После вычитания первого уравнения из второго получим:

9 d = 450, откуда d = 50.

Тогда а₁ = 3300 - 6 d = 3300 - 300 = 3000, а S₁₂ = 39300 руб.

Ответ: 39300 р.

5. При подготовке к экзамену ученик каждый день с 1-го по 8-е июня включительно увеличивал количество решенных задач на одно и то же число. С 1-го по 4-е июня он решил 24 задачи, а со 2-го по 6-е июня - 45 задач. Сколько задач решил ученик 8-го июня? (6)

Решение: Из условия задачи следует, что S_1-4 = 24, а S_2-6 = 45. Получим:

(2а₁ + 3 d ) : 2 · 4 = 24;

(2а₁ + 5 d ) : 2 · 6 - а₁ = 45.

(2а₁ + 3 d ) = 12;

6а₁ = 15 d - а₁ = 45.

а₁ = 3; d = 2., откуда а₈ = 3 + 7 · 2 = 17.

8-го июня ученик решил 17 задач.

Ответ: 17 задач.

6. За 10 дней Карл украл у Клары 165 кораллов, и из них 147 - в первые 7 дней. Каждый день он крал на одно и то же число кораллов меньше, чем в предыдущие. Сколько кораллов Карл украл в 10-й день? (9)

Решение: Следуя условию задачи, получим:

S₁₀ = 165,

S₇ = 147.

Тогда (2а₁ + 9 d ) : 2 ·10 = 165;

(2а₁ + 6 d ) : 2 · 7 = 147.

2а₁ + 9d = 33;

а₁ + 3d = 21. отсюда а₁ = 30; d = -3,

а, следовательно, а₁₀ = 30 + 9 · (-3 ) = 3.

В 10-й день Карл у Клары украл 3 коралла.

Ответ: 3 коралла.

7. Студенческая бригада подрядилась выложить керамической плиткой пол в зале молодежного клуба площадью 288 м². приобретая опыт, студенты в каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м² больше, чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким же образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобится еще 5 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать. Если одной коробки хватает на 1,2 м² пола, а для замены некачественных плиток понадобится 3 коробки? ( Белошистая)

Решение: Поскольку нарастание производительности происходило постоянно на определенное число, имеем арифметическую прогрессию. Примстание производительности происходило постоянно на определенное число, имеем арифметическую прогрессию. работы понадобится е этом а₁ - неизвестно, d = 2, S₁₆ = 288. известно, что n = 16 - число дней. Применим известную формулу для Sn.

Sn = ( 2а₁ + d (n - 1)) : 2 · n = (2а₁ + 2 (16 - 1)) : 2 · 16 = 288;

Отсюда 2а₁ + 2 · 15 = 36;

2а₁ = 6, откуда а₁ = 3.

Найдем площадь пола, покрытого плиткой. За 11 дней.

S₁ = ( 6 + 2 · 10 ) : 2 · 11 - 143 (м²), следовательно, осталось покрыть плиткой площадь 288 - 143 = 145 (м²).

Прикинем, сколько коробок с плиткой понадобится для покрытия этой площади:

145 : 1,2 120,8.

Округлим число коробок до 121 и добавим запасные коробки:

121 + 3 = 124 (коробки).

Ответ: 124 коробки.

8. Расстояние между движущимися навстречу автомобилями 21 км. Через сколько минут они встретятся, если первый автомобиль проходит каждую минуту ровно 1 км., а второй - в первую минуту - 200 м., а в каждую следующую - на 100 м больше, чем за предыдущую? (Спецкурс)

Решение: Скорость первого автомобиля постоянна и равна 1 км/ч = 1000 м/мин.

Скорость второго автомобиля менялась каждую минуту.

В первую минуту он прошел 200 м, а в каждую последующую минуту - на 100 м больше. Следовательно, путь второго автомобиля за каждую отдельную минуту составляет арифметическую прогрессию.

S₁ = 200 м.;

S₂ = 300 м.; и т.д.

Предположим, что они встретятся через n минут.

Тогда первый из них пройдет за это время путь S₁ = 1000n (м).

Путь второго автомобиля - S₂ = Sn ( сумма арифметической прогрессии).

Sn = (2а₁ + d · (n - 1)) : 2 · n;

Sn = (2 · 200 + (n - 1) · 100 )) : 2 · n = ( 200 + (n - 1) · 50) · n;

S₁ + S₂ = 21000 (м);

1000 n + 200 n + 50 n² - 50 n = 21000;

50 n² + 1150 n - 21000 = 0;

n ² + 23 n - 420 = 0;

n₁ = 12;

n₂ = -35 (условие задачи не удовлетворяет).

Автомобили встретятся через 12 минут.

Ответ: через 12 мин.

9. Игра, установленная на мобильном телефоне, состоит в последовательном прохождении нескольких уровней. За прохождение каждого уровня игрок получает 40 баллов. Кроме того, начисляются премиальные баллы по схеме: 10 баллов - за второй уровень. А за каждый следующий уровень - на 10 баллов больше, чем за предыдущий. Игрок прошел несколько уровней, и на его счету оказалось ровно 1300 баллов. Сколько всего премиальных баллов получил игрок?

Решение: Предположим, что игрок прошел n уровней. За каждую игру он получал 40 баллов. Следовательно, за всю игру он заработал 40 n баллов.

Премиальные за каждый уровень начисляются по схеме: за каждую последующую игру, начиная со второй, на 10 баллов больше, чем за предыдущую. Следовательно, количество заработанных за игру баллов составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 40, а разность равна 10. За всю игру заработано 1300 баллов.

Применим формулу S_n.

S_n = (2а₁ + d (n - 1)) : 2 · n = 1300;

Упростив полученное уравнение, получим:

n ² + 7n - 260 = 0,

откуда n₁ = - 20, что не удовлетворяет условие задачи,

n₂ = 13.

Следовательно, данная прогрессия состоит из 13 членов. Тогда 40 n = 520 (баллов) заработано за всю игру, 1300 - 520 = 780 (баллов) - составляют премиальные.

Ответ: 780 баллов.

Модуль 5. Задачи на числа

Дидактическая цель:

• Познакомить учащихся с позиционной системой записи чисел;

• Рассмотреть задачи, решаемые методом перебора, и задачи, решаемые с помощью уравнений и систем уравнений;

• Уметь анализировать полученные результаты и выбирать те, которые удовлетворяют условию задачи.

1. Если неизвестное двухзначное число разделить на число, изображенное теми же цифрами, но в обратном порядке, то в частном получится 4, а в остатке - 3. Если же искомое число разделить на сумму цифр, то в частном получится 8, а в остатке - 7. найти это число.

Решение: Учащимся следует понимать позиционную систему записи чисел.

ху = 10х + у.

Исходя из условия задачи, имеем:

ху : ух = 4 (ост.3);

ух : (х + у) = 8 (ост.7).

10х + у = 4 (10у + х) + 3;

10х + у = 8 (х + у) + 7.

10х + у = 40у + 4х + 3;

10х + у = 8х + 8у + 7.

6х - 39у = 3;

2х - 7у = 7.

2х - 13у = 1;

2х - 7у = 7.

у = 1; х = 7.

Следовательно, данное число равно 71.

Ответ: 71.

2. Пусть остаток от деления натурального числа n на 9 равен 5. найти остаток от деления на 9 числа.

Решение:

n : 9 = m (ост.5).

(4 n² + 7 n + 2) : 9 = ?

Из первого условия следует, что n = 9 m + 5.

Подставим это выражение во второе условие вместо n. Получим:

4 (9 m + 5)² + 7 (9 m + 5) + 2 = (9 m + 5) (4 (9 m + 5) + 7) + 2 =

= (9 m + 5) (36m + 27) + 2 = 9 (9 m + 5) (4m + 3) + 2

Выражение 9 (9 m + 5) (4m + 3) делится на 9, следовательно, остаток от деления равен 2.

Ответ: 2.

3. Определите, можно ли отпустить со склада 17 кг гвоздей ящиками по 3 и 5 кг, не нарушая упаковки. (1)

Решение: Если обозначить через х количество ящиков по 3 кг, а через у количество ящиков по 5 кг, то решение задачи сводится к поиску натуральных решений уравнения с двумя переменными

3х + 5у = 17.

Несложным перебором можно найти единственное решение (х; у) этого уравнения; (4; 1). Таким образом, со склада можно отпустить 4 ящика по 3 кг и 1 ящик по 5 кг - всего 17 кг гвоздей.

Ответ: можно.

Но не всегда можно так легко применить метод перебора. Иногда приходится прибегать к более сложному анализу задачи и рассуждениям.

4. Решим в натуральных числах другое уравнение:

3х + 5у = 60.

Если применить обычный перебор натуральных чисел, то нужно вместо у подставить все числа от 1 до 11, а это достаточно неудобно.

Нетрудно заметить., что 3х и 60 делятся на 3, следовательно,5у делится на 3, тогда у делится на 3. поэтому из всех чисел от 1 до 11 целесообразно проверить только 3, 6 и 9. получим три решения: (15; 3); (10; 6); (5; 9).

5. Задача Л. Эйлера. Некий чиновник купил лошадей и быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка - по 21 талеру. Сколько лошадей и быков купил чиновник? (1)

Решение: Здесь неизвестно общее число купленных животных, поэтому неудастся составить уравнение с одной переменной или систему уравнений с двумя переменными.

Пусть чиновник купил х лошадей и у быков. Тогда

31х + 21у = 1770.

По смыслу задачи х и у - натуральные числа. Так как 21 и 1770 делятся на 3, то 31х делится на 3 и х делится на 3. пусть х = 3х₁, где х₁ - натуральное число. Тогда

31 х₁ + 7у = 590,

х₁ = (590 - 7у) : 31.

Преобразуем полученное выражение:

х₁ = (590 - 7у) : 31 = 19 + (1 - 7у) : 31 = 19 - (7у - 1) : 31.

Очевидно, что х₁ будет целым. если 7у - 1 делится на 31. наименьшим натуральным числом у, при котором это произойдет, является число 9. при этом х₁ = 17, а, значит, х = 51. первое решение уравнения найдено: (51; 9).

Чтобы не заниматься долгим перебором значений у, заметим, что следующие целые значения х₁ будут получаться от увеличения у = 9 на число, кратное 31. тогда

у = 9 + 31 = 40, х₁ = 10, а, значит, х = 30.

у = 40 + 31 = 71, х₁ = 3, а, значит, х = 9.

При следующих значениях у значения х₁отрицательны. Таким образом, уравнение имеет три решения в натуральных числах: (51; 9); (30; 40); (9; 71).

Ответ: Чиновник купил:

51 лошадь и 9 быков;

или 30 лошадей и 40 быков;

или 9 лошадей и 71 быка.

6. Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трех воробьев заплачена одна монета, за каждые две горлицы - также одна монета и, наконец, за каждого голубя - по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы? (1)

Решение: Пусть купили х воробьев, у горлиц, тогда голубей было 30 - х - у. здесь х и у - натуральные числа. Составим уравнение:

Умножим левую и правую части уравнения на 6:

2х + 3у + 12(30 - х - у) = 180.

10х + 9у = 180.

Так как у делится на 10, то у = 10у₁, где у₁ - натуральное число. Подставим 10у₁ вместо у в уравнение и упростим его:

х + 9у₁ = 18.

Так как х делится на 9, то х = 9х₁, где х₁ - натуральное число. Подставим вместо х в уравнение 9х₁ и упростим его:

х₁ + у₁ = 2.

Это уравнение имеет единственное решение в натуральных числах:

х₁ = 1; у₁ = 1,

по которому, пользуясь формулами х = 9х₁ и у = 10у₁, найдем решение уравнения х = 9, у = 10.

Итак, на 30 монет купили 9 воробьев, 10 горлиц и 11 голубей.

Ответ: 9 воробьев,

10 горлиц,

11 голубей.

7. Двенадцать человек несут 12 хлебов; каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина - по половине хлеба, ребенок - по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей? (1)

Решение: Пусть было х мужчин, у женщин. Тогда детей было 12 - х - у.

Так как вместе они несли 12 хлебов, то получим уравнение:

2х + 0,5у + 0,25 (12 - х - у) = 12.

Умножив уравнение на 4, получим:

8х + 2у + 12 - х - у = 48.

7х + у = 36.

Выразим из этого уравнения х:

х = (36 - у) :7.

Так как х и у - натуральные числа, то здесь удобнее подобрать такие натуральные числа вместо у, чтобы выражение (36 - у):7 было натуральным и удовлетворяло условию задачи.

Нетрудно догадаться, что у = 1 удовлетворяет данным требованиям. Тогда х = 5. Получится, что хлеба несли 5 мужчин, 1 женщина и 12 - 5 - 1 = 6 (детей). Все эти числа удовлетворяют условие задачи:

2 5 + 0,5 1 + 0,25 6 = 12 (хлебов).

Если у = 8, то х = 4. Вместе эти числа составляют 12. Окажется, что детей не было вообще, а это не так.

При других значениях у значения х получаются отрицательными, что также невозможно.

Следовательно, единственно верным решением будут числа 5, 1 и 6, т.е. хлеба несли 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей.

Ответ: 5 мужчин,

1 женщина,

6 детей.

Модуль 6. Реальная математика (Практико-ориентированные задачи)

Дидактическая цель:

• Рассмотреть задачи, максимально приближенные к реальным жизненным ситуациям;

• Рассмотреть задачи экономического плана;

• Рассмотреть задачи физического, химического смысла, задачи производственного характера и вырабатывать умение работать с формулами.

Задачи на оптимальное решение

1. Теплоход рассчитан на 850 пассажиров и 25 членов экипажа. Каждая спасательная шлюпка может вместить 80 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

Решение: Всего на теплоходе 850 + 25 = 875 человек. 875 : 80 = 10,84 (шлюпки). Поэтому шлюпок нужно 11.

Ответ: 11 шлюпок.

2. Поезд Москва-Сосногорск отправляется в 14:09, а прибывает в 19:09 на следующий день. Сколько часов поезд находился в пути?

Решение: От 14 : 09 до 19: 09 проходит 5 часов, и плюс еще 24 часа (одни сутки). Следовательно, всего будет потрачено 29 часов.

Ответ: 29.

3. Железнодорожный билет для взрослого стоит 820 руб. стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из20 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты для всей группы?

Решение: Стоимость детского билета - 820 : 2 = 410 руб. тогда стоимость всех билетов будет равно 820 ∙ 2 + 410 ∙ 20 = 9840 (руб).

Ответ: 9840

4. В квартире установлен прибор учета расхода холодной воды. 1 февраля счетчик показывал расход 145 куб. м воды, а 1 марта - 162 куб.м воды. К5акую сумму следует заплатить за холодную воду за февраль, если цена за 1 куб. м воды составляет 24 руб. 30 коп ?

Решение: Всего израсходовано воды за месяц 162 - 145 = 17 куб. м. Следовательно, плата за воду составит 17 ∙ 24,3 = 413,1 руб.

Ответ: 413,1.

5. Диагональ экрана телевизора равна 32 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см.результат округлите до целого числа сантиметров.

Решение: 32 ∙ 2,54 = 81,28 см. В результате округления до целого числа, получим 81 см.

Ответ: 81.

6. Аня купила проездной билет на месяц и сделала за месяц 46 поездок. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет на месяц стоит 755 руб., а разовая поездка - 21 руб.?

Решение: За 46 поездок следовало заплатить 21 ∙ 46 = 966 руб. Следовательно, экономия составит 966 - 755 = 211 руб.

Ответ: 211.

7. Рост Джона 5 футов 3 дюйма. Выразите рост Джона в сантиметрах, если 1 фут равен 0,305 м, а 1 дюйм равен 2,54 см. результат округлите до целого числа сантиметров.

Решение: Выразим метры в сантиметрах: 0,305 м = 30,5 см Тогда 5 ∙ 30,5 + 3 ∙ 2,54 = 160,12 см, что приближенно равно 160 см.

Ответ: 160

8. Больному прописано лекарство, которое нужно принимать по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г.какого наименьшее количество упаковок хватит на весь курс лечения?

Решение: На весь курс лечения потребуется 0,5 ∙ 3 ∙ 21 = 31,5 г лекарства. Каждая упаковка содержит 10 ∙ 0,5 = 5 г. Следовательно, на весь курс потребуется 31,5 : 5 = 6,3 упаковки. Значит, приобрести нужно 7 упаковок.

Ответ: 7

9. Бегун пробежал 100 метров за 10 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

Решение: 100 м = 0,1 км; 10 с = 1/360 ч. Среднюю скорость находим делением 0.1 : 1/360 = 36 (км/ч).

Ответ: 36

10. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 6 человек следует взять 1/5 фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 9 человек? 1 фунт равен 0,4 кг.

Решение: 1/5 фунта чернослива соответствует 0,08 кг. Можно составить пропорцию:

6 человек ________0,08 кг чернослива

9 человек ________ х кг чернослива. Откуда х = 9 ∙ 0,08 : 6 = 0,12 кг = 120 граммов.

Ответ: 120

11. Система навигации, встроенная в спинку самолетного кресла, информирует пассажира о том, что полет проходит на высоте 33000 футов. Выразите высоту полета в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.

Решение: 33000 ∙ 30,5 = 1006500 см = 10065 м.

Ответ: 10065

12. Чайные клиперы - самые быстрые парусные корабли. Некоторые из них могли развивать скорость до 20 узлов.переведите в километры в час скорость клипера, который делает 15 узлов. 1 узел равняется 1 морской миле в час. 1 морская миля равняется 1852 метрам. Результат округлите до целого числа километров в час.

Решение: 1 морская миля равна 1852 м или 1,852 км. Следовательно, 15 узлов = 15 ∙ 1,852 = 27,78 км ≈ 28 км.

Ответ: 28

13. В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 160 человек. Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на 6 дней?

Решение: 40 ∙ 160 ∙ 6 = 38400 г = 38 кг 400 г. Поскольку в продаже пачки с сахаром килограммовые, то на весь лагерь понадобится 39 пачек.

Ответ: 39

14. Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 14% активного вещества. Ребенку в возрасти до 6 месяцев врач прописывает1,05 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток в сутки следует дать ребенку весом 8 кг?

Решение: Процентное содержание активного вещества в каждой таблетке составляет 14%, что в переводе в миллиграммы - 2,8 мг. Так как на каждый килограмм веса прописано 1,05 мг активного вещества, то ребенку весом 8 кг в сутки следует дать 1,05 ∙ 8 = 8,4 мг. Тогда 8,4 : 2,8 = 3 (таблетки).

Ответ:3

Задачи на определение наиболее экономичных заказов

1. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Тарифный план

Абонентская плата

Плата за 1 мин. разговора

«Повременный»

Нет

0,5 руб.

«Комбинированный»

200 руб. за 400 мин. в месяц

0,4 руб. за 1 мин. сверх 400 мин. в месяц

«Безлимитный»

345 руб. в месяц

Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предложения, что общая длительность телефонных разговоров составляет 600 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 600 минутам? Ответ дайте в рублях.

Решение: «Повременный»: 600 ∙ 0,5 = 300 (руб.)

«Комбинированный»: 200 + 0,4 ∙ 200 = 280 (руб.)

«Безлимитный»: 345 руб.

Самый дешевый тариф обойдется абоненту в 280 руб.

Ответ: 280

2. В таблице даны тарифы на услуги трех фирм такси. Предполагается поездка продолжительностью 50 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?

Решение: фирма А: 250 + 50 ∙ 12 = 850

Фирма Б: 300 + 30 ∙ 19 = 870

Фирма В: 120 + 225 + 35 ∙ 14 = 835 - самый дешевый тариф.

Ответ: 835

3. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10000 руб., он получает скидку на следующую покупку в размере 10% от уплаченной суммы. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возврата товара в магазин. Покупатель В хочет приобрести пиджак ценой 9450 руб., футболку по цене 800 руб. и галстук ценой 900 руб. в каком случае В заплатит за покупку меньше всего:

   • В купит все три товара сразу.

   • В купит сначала пиджак и футболку, а потом галстук со скидкой.

   • В купит сначала пиджак и галстук, а потом футболку со скидкой.

В ответ запишите, сколько рублей заплатит В за покупку.

Решение: Естественно, в первом случае покупка будет самой дорогой. Самой выгодной покупка окажется в том случае, когда скидка будет предоставлена на более дорогой товар, то есть, во втором случае.

Она составит: 9450 + 800 + 900 ∙ 0,9 = 11060 (руб.)

Ответ: 11060

4. Строительной фирме нужно приобрести 79 кубометров пенобетона у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой (в рублях)?

Решение: Фирма А: 2650 ∙ 79 + 4400 = 213750

Фирма Б: 3200 ∙ 79 = 252800

Фирма В: 2680 ∙ 79 + 3400 = 215720.

Самый выгодный заказ предоставляет фирма А.

Ответ: 213750

5. Для изготовления книжных полок требуется заказать 42 одинаковых стекла в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла - 0,25 м². в таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекол и шлифовку края. Сколько будет стоить самый дешевый заказ (в рублях)?

Фирма

Цена стекла

Пр (руб. за 1 м² )

Резка и шлифовка стекла (руб. за одно стекло)

А

415

75

Б

430

65

В

465

60

Сначала узнаем, сколько квадратных метров стекла нужно заказать. 42 ∙ 0,25 = 10,5 м².

Решение: Фирма А: 10,5 ∙ 415 + 75 ∙ 42 = 7507,5

Фирма Б: 10,5 ∙ 430 + 65 ∙ 42 = 7245

Фирма В: 10,5 ∙ 465 + 60 ∙ 42 = 7402,5.

Следовательно, самый выгодный заказ предоставляет фирма Б.

Ответ: 7245

6. От дома до дачи можно доехать на автобусе, электричке или маршрутном такси. В таблице показано время, которое нужно затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Ответ дайте в минутах.

Автобусом

От дома до остановки автобуса - 15 мин

Автобус в пути -

1 ч 55 мин

От остановки автобуса до дачи пешком - 10 мин

Электричкой

От дома до железнодорожной станции - 20 мин

Электричка в пути - 1 ч 10 мин

От железнодорожной станции до дачи пешком - 45 мин

Маршрутным

такси

От дома до остановки маршрутного такси -

20 мин

Маршрутное такси в пути - 1 ч 25 мин

От остановки маршрутного такси до дачи пешком -

40 мин

Решение: Рассчитываем время в пути на всех видах транспорта (в минутах):

Автобусом: 15 + 115 + 10 = 140

Электричкой: 20 + 70 + 45 = 135

Маршрутным такси: 20 + 85 + 40 = 145.

Самое короткое время - 135 минут.

Ответ: 135

7. Рейтинговое агентство определяет рейтинг соотношения «цена - качество» электрических фенов для волос. Рейтинг вычисляется на основе средней цены Р и оценок функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый отдельный показатель оценивается экспертами по 5-бальной шкале целыми числам от 0 до 4. итоговый рейтинг вычисляется по формуле

R = 3(F + Q ) + D - 0,01Р.

В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких моделей фенов. Определите, какая модель имеет наименьший рейтинг. В ответ запишите значение этого рейтинга.

Модель фена

Средняя цена (руб.)

Функциональность

Качество

Дизайн

А

1950

3

3

2

Б

2100

4

3

3

В

1920

3

3

4

Г

2150

3

2

4

Решение: R_А = 3 (3 +3 ) + 2 - 0,01 ∙ 1950 = 0,5

R_Б = 3 ( 4 + 3 ) + 3 - 0,01 ∙2100 = 3

R_В = 3 ( 3 + 3) + 4 - 0,01 ∙ 1920 = 2,8

R_Г = 3 ( 3 + 2 ) + 4 - 0,01 ∙ 2150 = - 2,5.

Следовательно, наименьший рейтинг имеет модель Г.

Ответ: - 2,5

8. В таблице указаны средние цены ( в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России (по данным на начало 2010 года).

Наименование продукта

Барнаул

Тверь

Псков

Пшеничный хлеб (батон)

12

11

11

Молоко (1 л)

25

26

26

Картофель (1 кг)

16

9

14

Сыр (1 кг)

260

240

235

Говядина (1 кг)

300

280

280

Подсолнечное масло (1 л)

50

38

62

Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 3 кг картофеля, 1 кг сыра, 3 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).

Решение: Определим стоимость данного набора продуктов в каждом из указанных городов.

Барнаул: 3 ∙ 16 + 1 ∙ 260 + 3 ∙ 50 = 458

Тверь: 3 ∙ 9 + 1 ∙ 240 + 3 ∙38 = 381

Псков: 3 ∙ 14 + 1 ∙ 235 + 3 ∙ 62 = 463.

Следовательно, самый выгодный набор продуктов в Твери.

Ответ: 381

9. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 600 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

Автомобиль

Топливо

Расход топлива

(л на 100 км)

Арендная плата (руб. за 1 сутки)

А

Дизельное

5

3600

Б

Бензин

7

3200

В

Газ

8

3200

Цена дизельного топлива - 19 руб. за литр, бензина - 20,5 руб. за литр, газа - 16,5 руб. за литр.

Решение: Фирма А: 600 : 100 ∙ 5 ∙ 19 + 3600 = 4170

Фирма Б: 600 : 100 ∙ 7 ∙20,5 + 3200 = 4061

Фирма В: 600 : 100 ∙ 8 ∙ 16,5 + 3200 = 3992.

Самый дешевый вариант - фирма В.

Ответ: 3992

10. Для строительства дачи можно использовать один из трех вариантов фундаментов: каменный, бетонный и фундамент из пеноблоков. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн камня и 9 мешков цемента. Для фундамента из пеноблоков необходимо 5 кубометров пеноблоков. Для бетонного фундамента необходимо 12 тонн щебня и 34 мешка цемента. Тонна камня стоит 2100 рублей, кубометр пеноблоков стоит 2500 рублей, щебень стоит 630 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 200 рублей. Сколько рублей придется заплатить за самый дешевый фундамент?

Решение: Рассчитываем стоимость каждого вида фундамента.

Каменный фундамент: 9 ∙ 2100 + 9 ∙ 200 = 20700 руб.

Фундамент из пеноблоков: 5 ∙ 2500 = 12500 руб.

Бетонный фундамент: 12 ∙ 630 + 34 ∙ 200 = 14360 руб.

Следовательно, самый дешевый фундамент обойдется 12500 рублей.

Ответ: 12500

11. Строительной фирме нужно приобрести 50 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такого бруса с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.

Поставщик

Цена бруса (руб за 1 м³)

Стоимость доставки

Дополнительные условия

А

3500

9900

-

Б

4500

7900

При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно

В

3600

7900

При заказе на сумму больше 200 000 руб. доставка бесплатно

Решение: Рассчитываем стоимость услуг каждой формы:

Фирма А: 3500 ∙ 50 + 9900 = 184 900 руб.

Фирма Б: 4500 ∙ 50 = 225 000 - больше 150 000 руб., следовательно, доставка бесплатно.

Фирма В: 3600 ∙ 50 = 180 000; 180 000 + 7 900 = 187 900 руб.

Следовательно, самые выгодные условия предлагает фирма А.

Ответ: 184 900

12. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Тарифный план

Абонентская плата

Плата за 1 минуту разговора

Повременный

Нет

0,25 руб.

Комбинированный

140 руб. за 320 мин в месяц

0,2 руб. за 1 мин сверх 320 мин в месяц

Безлимитный

150 руб. в месяц

-

Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предложения, что общая длительность телефонных переговоров составляет 700 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 700 минут? Ответ дайте в рублях.

Решение: Повременный: 700 ∙ 0,25 = 175 руб.

Комбинированный: 140 + 0,2 (700 - 320) = 216 руб.

Безлимитный: 150 руб.

Очевидно, что самый дешевый тариф будет стоить абоненту 150 рублей в месяц.

Ответ: 150

13. Двое решают, как им обойдется дешевле доехать из Москвы до Санкт - Петербурга - на поезде или в автомобиле. Билет на поезд стоит 630 рублей на одного человека. Автомобиль расходует 11 литров бензина на 100 км пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19,5 руб. за литр. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую поездку на двоих?

Решение: Поездка на поезде обойдется в 630 ∙ 2 = 1 260 руб.

На автомобиле придется заплатить: (700 : 100) ∙ 11 ∙ 19,5 = 1 501,5 руб.

Следовательно, дешевле обойдется поездка на поезде.

Ответ: 1 260

Задачи химического, физического, промышленного смысла

1. Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой q = 50 - 5 p. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = p q. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r (p) составит 120 тыс. руб. ответ приведите в тысячах рублей.

Решение: В формулу выручки подставим значение q и решим соответствующее уравнение.

p (50 - 5 p) = 120

5 p² - 50 p + 120 = 0

p² - 10 p + 24 = 0

p₁ = 6; p₂ = 4.

Естественно, наибольшая цена предприятия составит 6 тыс. руб.

Ответ: 6

2. Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h (t) = 1 + 11t - 5 t² , где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 м?

Решение: Так как высота, на которой находится подброшенный вверх мяч, не менее 3 метров, то решаем неравенство:

1 + 11t - 5 t² ≥ 3.

5t² - 11t + 2 ≤ 0,

5t² - 11t + 2 ≤ 0,

5t² - 11t + 2 = 0,

t₁ = 0,2; t₂ = 2.

Решением неравенства будет промежуток [ 0.2; 2 ] , длина которого равна 1,8.

Следовательно, мяч будет находиться на указанной высоте 1,8 секунды.

Ответ: 1,8

3. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону (t ) = m ₀ ∙ 2 ^- t/T, где m₀ - начальная масса изотопа, t (мин) - прошедшее от начального момента время, T (мин) - период полураспада. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m₀ = 156 мг изотопа Z, период полураспада которого T = 8 мин. Через какое время после начала распада масса изотопа станет меньше 39 мг?

Решение: Подставив данные из условия, получаем показательное уравнение, решением которого является число t = 16.

Ответ: 16

4. При температуре 0⁰ С рельс имеет длину l₀ = 10 м. при возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l (t⁰) = l₀ (1 + α t⁰ ), где α = 1.2 ∙ 10 ^-5 ( ⁰ С) ^-1 - коэффициент теплового расширения, t⁰ - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия

Решение: l₀ = 10 м = 10000 мм; l (t⁰) = 10009 мм; α = 1.2 ∙ 10 ^-5.

Подставив эти данные в формулу l (t⁰) = l₀ (1 + α t⁰), получим:

10000 (1+ 1.2 ∙ 10 ^-5 ∙ t⁰ ) = 10009;

10000 + 1,2 ∙ 10 ^-5 ∙ 10 ⁴ ∙ t⁰ = 10009;

1,2 ∙ 10 ^-5 ∙ 10 ⁴ ∙ t⁰ = 9;

1.2 ∙ 10 ^-1 ∙ t ⁰ = 9;

t ⁰ = 9 : 0,12 = 75.

Ответ: 75

5. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: I = U : R, где U - напряжение (в вольтах), R - сопротивление электроприбора (в омах). В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 5 A. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 В, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в Омах.

Решение: Подставив вместо U и I их значение, получим: R = 220 : 5 = 44 (Ом).

Ответ: 44

6. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности I, оперативности S, объективности T публикаций, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-бальной шкале целыми числами от 0 до 4.

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность - вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид:

R = (3 I + S +2Т + Q) : А.

Каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило рейтинг 100?

Решение: Так как все оценки наибольшие, т.е. 4, то, подставив ее в формулу рейтинга, получим:

(3 ∙ 4 + 4 + 2 ∙ 4 + 4) : А = 100;

28 ∙ А = 100;

А = 0,28.

Ответ: 0.28

7. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности I, оперативности S, объективности T публикаций, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-бальной шкале целыми числами от 0 до 4.

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность - вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид:

R = (3 I + S +2Т + Q) : А.

Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число А, при котором это условие будет выполняться.

Решение: Предположим, что по всем показателям издание получило оценку Х. Подставив это значение в формулу рейтинга, получим:

(3 ∙ Х + Х + 2 ∙ Х + Х ) : А = Х;

(7 Х) : А = Х;

А = 7Х :Х;

А = 7.

Ответ: 7

Модуль 7. Задачи по комбинаторике, статистике и теории вероятностей

Дидактическая цель:

• Отрабатывать навыки использования математических средств наглядности (графики, диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

• овладевать основными способами представления и анализа статистических данных; наличие представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о вероятностных моделях;

• Рассмотреть комбинаторные задачи и способы их решения;

• Вычислять вероятности событий в реальных ситуациях.

Статистика в диаграммах и графиках

Задачи по статистике мы не приводим, так как они предоставлены в достаточном количестве в пособиях по подготовке к итоговой аттестации в виде диаграмм, таблиц, графиков и т.д.

Задачи на вычисление вероятностей событий

1. В чемпионате по гимнастике участвуют 56 спортсменов: 27 из России, 22 из США. Остальные - из Китая. Порядок, в котором выступают гимнасты, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение: Вероятность случайного события является частным от деления количества желаемых событий на количество всех возможных событий.

Всего спортсменок из Китая 56 - (27 + 22) = 7;

Р = 7 : 56 = 0,125.

Ответ: 0,125

2. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: Вероятность выбрать подтекающий насос составляет 0,007. Следовательно, вероятность выбрать исправный насос равна 1 - 0,007 = 0, 993.

Ответ: 0,993

3. На экзамене 60 билетов. Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

Решение: Три невыученных билета из 60 составляют вероятность 0,05. Следовательно, искомая вероятность равна 1 - 0,05 = 0,95.

Ответ: 0,95

4. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых, 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

Решение: Р = 8 : 20 = 0,4.

Ответ: 0,4

5. Максим с папой решили прокатиться на колесе обозрения. Всего на колесе 30 кабинок, из них 11 - синие, 7 - зеленые, остальные - оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке.

Решение: Оранжевых кабинок всего 30 - (11 + 77) =12; следовательно, вероятность прокатиться в оранжевой кабинке равна 12 : 30 = 0,4.

Ответ: 0,4

6. На тарелке 15 пирожков: 4 с мясом, 9 с капустой и 2 с вишней. Катя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с капустой.

Решение: Р = 9 : 15 = 0,6.

Ответ: 0,6

7. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинами известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределили случайным образом. Найдите вероятность того, что Вове достанется пазл с изображением животного.

Решение: Р = 18 : 30 = 0,6.

Ответ: 0,6

8. Валя выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

Решение: Трехзначные числа - от 100 до 999. Всего их 900. числа, которые делятся на 51, заключены в условии:

100 ≤ 51 х ≤ 999;

1,9 ≤ х ≤ 19,8;

Следовательно, всего данных чисел 18. тогда вероятность выбрать данное число равна 18 : 900 = 0,02.

Ответ: 0,02

9. В каждой пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз в своей банке.

Решение: Вероятность получить приз составляет 1: 5 = 0,2, следовательно, вероятность противоположного события составит 1- 0,2 = 0,8.

Ответ: 0,8

10. В среднем на каждых 50 поступивших в продажу аккумуляторов 48 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.

Решение: Незаряженных аккумуляторов всего 2 из 50, следовательно вероятность купить незаряженный аккумулятор составит 2 : 50 = 0,04.

Ответ: 0,04

11. При двукратном бросании кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало меньше 3 очков.

Решение: При бросании кубика может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. При втором бросании возможна такая же ситуация. Так как в сумме выпало 6 очков, то это возможно в таких ситуациях: 1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1. Всего 5 ситуаций. По условию задачи в первый раз выпало меньше 3 очков, т.е. 1 или 2 очка. Таких ситуаций 2. следовательно, вероятность данного события равна Р = 2 : 5 = 0,4.

Ответ: 0,4

12. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что первые два броска окончатся одинаково.

Решение: При трехкратном бросании монеты возможно 8 ситуаций:

ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР.

Первые два броска оканчиваются одинаково в каждом из двух соседних случаях, например: (ОО)О и (ОО)Р, или (ОР)О и (ОР)Р. Вероятность таких событий составляет 2 : 8 = 0,25.

Ответ: 0,25

13. Двое играют в кости - они по разу бросают игральный кубик. Выигрывает тот, у которого выпадет больше очков. Если выпадет поровну, то наступает ничья. Первый бросил кубик, и у него выпало 4 очка. Найдите вероятность того, что он выиграет.

Решение: У каждого из игроков в равной степени может выпасть от 1 до 6 очков. У первого игрока выпало 4 очка. Победа наступает тогда, когда у второго выпадет меньше очков: 1, 2 или 3 очка. Исследуемое событие наступает в трех из шести случаев. Следовательно, вероятность данного события составляет 3 : 6 = 0,5.

Ответ: 0,5

14. При включении телевизор показывает случайный канал. Зритель включат телевизор. В это время по 20 каналам из 40 показывают рекламу. Найдите вероятность того, что зритель при включении попадет на канал, где реклама в этот момент не идет.

Решение: Реклама не идет ровно на половине каналов, следовательно, вероятность интересующего нас события равно 0,5.

Ответ: 0,5

15. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов - в первый день 30 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции.

Решение: Так как в первый день запланировано 30 докладов, а остальные распределены поровну на 2 других дня, то в каждый из этих дней будет сделано по 10 докладов. Вероятность искомого события составит 10 : 50 = 0,2.

Ответ: 0,2

16. На семинар приехали 6 ученых из Голландии, 5 из Италии, 4 из Чехии. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что четвертым окажется доклад ученого из Голландии.

Решение: Всего на семинар приехало 6 + 5 + 4 = 15 ученых, 6 из которых - ученые из Голландии. Тогда вероятность искомого события составляет 6 : 15 = 0,4.

Ответ: 0,4

17. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов. Среди которых 9 участников из России, в том числе Алексей Петров. Найдите вероятность того, что в первом туре Алексей Петров будет играть с каким либо теннисистом из России.

Решение: Всего участников 26 (с Алексеем Петровым), среди которых 9 из России, в том числе с Алексеем Петровым. Так как сам с собой Петров играть не может, но обязательно будет играть с российским теннисистом, то искомую вероятность можно найти как вероятность того, что будет играть теннисист из России, а именно: 8 : 25 = 0,32.

Ответ: 0,32

18. Лена и Саша играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, тот наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Лена проиграла.

Решение: 8 очков вместе может выпасть в таких ситуациях:

2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2.

Всего 5 случаев.

Лена проиграет в том случае, если у нее выпадет либо 2, либо 3 очка - в 2 случаях из 5. Следовательно, вероятность данного события будет 2 : 5 = 0,4.

Ответ: 0,4

Библиографический список.

1. Белошистая А.В. ЕГЭ - поурочное планирование. - М.: «Экзамен», 2005;

2. Виленкин Н.Я., Жохов В.И и др. Математика - 5 кл. - М.: «Сайтком», 2000;

3. Виленкин Н.Я., Жохов В.И и др. Математика - 6 кл. - М.: «Русское слово», 1998;

4. Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. ЕГЭ: Математика: Контрольно - измерительные материалы. - М.: Просвещение, 2003;

5. Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. ЕГЭ - 2006. Учебно - тренировочные материалы для подготовки учащихся. - М.: Интеллект - Центр, 2006;

6. Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. Учебно - тренировочные материалы для подготовки учащихся к ЕГЭ. Математика. - М.: Интеллект - Центр, 2005;

7. Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. и др. Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. - М.: Просвещение, 2006;

8. Шарыгин И.Ф. Решение задач. Учебное пособие для 10 кл. - М.: Просвещение, 1994;

9. Шевкин А.В. Сборник задач для учащихся 5 - 6 кл. - М.: «ГАЛС ПЛЮС», 1995;

10. Шевкин А.В. Текстовые задачи. Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1997.

11. Семенов А. Л. Математика, типовые экзаменационные варианты - М.: Национальное образование, 2013

12. Лаппо Л.Д. Математика, самостоятельная подготовка к ЕГЭ - М.: Экзамен, 2012

13. Семенова А.Л. Математика с теорией вероятностей и статистикой. - М.: Экзамен, 2012

14. Семенова А.Л., Математика, ЕГЭ, ФИПИ - М.: АСТ Астрель, 2012