- Преподавателю
- Математика
- Статья по математике на тему УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛИ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОСИЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Статья по математике на тему УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛИ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАВНОСИЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа, как в области действительных чисел, так и в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах.Например, в механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие модуля числа содержится в определениях таких понятий,...
Раздел | Математика |
Класс | 11 класс |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Гильмиева Г.Г. |
Дата | 22.04.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Поделитесь с коллегами:
Уравнения, содержащие модули.
Использование равносильных преобразований
1.1. Уравнение вида
Рассмотрим простейшее уравнение вида:
где число.
Если то решений нет.
Если то .
Если то или .
Примеры.
Решите уравнения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Решение:
а)
или .
б)
, то уравнение решений не имеет.
в)
г)
или
д)
или
е)
или
ж)
нет решений.
Ответ: а)
б) нет решений
в) 1,4
г)
д) 2; 12
е)
ж) нет решений
1.2. Уравнение вида
Примеры.
Решите уравнения:
а)
б)
Решение:
а)
б)
или
Ответ: а)
б) .
1.3. Уравнение вида
Примеры.
Решите уравнения:
а)
б) .
Решение:
а)
Запишем уравнение в виде ,
Получили уравнение вида
Оно равносильно неравенству:
Данное уравнение можно было бы решить иначе, используя свойство модуля:
тогда уравнение примет вид:
Получили уравнение вида
б)
Уравнение равносильно неравенству
Ответ: а)
б)
1.4. Уравнение вида
Рассмотрим уравнение:
Решение:
Большое количество ошибок при решении задач этого типа вызвано тем, что учащиеся, освобождаясь от модуля, забывают учесть условия, при которых модуль был раскрыт с тем или иным знаком.
Рассмотрим первый случай, когда Тогда модуль в левой части уравнения раскрывается со знаком «+», то есть уравнение примет вид:
Поскольку (верно), то значение является корнем данного уравнения.
Во втором случае . Тогда модуль раскрывается со знаком «-», и исходное уравнение переписывается в виде:
Поскольку значение не удовлетворяет условию (8+2=10, 10<0 неверно), то оно не является корнем уравнения.
Ответ: .
Уравнение вида можно решать двумя способами. Первый, стандартный, основан на раскрытии модуля, исходя из его определения, и заключается в переходе к совокупности (объединению) двух систем:
Именно этим способом был решен выше приведенный пример.
Второй способ состоит в переходе от исходного уравнения к равносильной системе:
Первый способ рациональнее применять в случае сложного выражения для функции и не очень сложного для функции Второй способ удобнее использовать, если выражение для функции не сложно.
Пример.
Решите уравнение:
Решение:
В нашем случае
Выражение для функции «проще», используем второй способ решения. Для этого запишем систему, равносильную исходному уравнению:
имеет корни
Уравнение решений не имеет.
Оба корня удовлетворяют неравенству
Ответ:
Решив уравнение первым способом, можно убедиться, что в этом случае он менее рационален.
1.5. Уравнение вида
Пример.
Решите уравнение:
Решение:
В нашем случае
Тогда исходное уравнение будет равносильно системе:
Ответ:
1.6. Уравнение вида
Пример.
Решите уравнение:
Решение:
Заметим, что
Тогда уравнение будет равносильно системе:
Ответ:
1.7. Уравнение вида
Пример.
Решите уравнение:
Решение:
Так как при любых , то исходное уравнение равносильно системе
Ответ: 2.
Полезно знать, что
Покажем, как можно решить уравнение Перейдем к равносильной системе уравнений:
Ответ: 0.
1.8. Уравнение вида
.
Пример.
Решите уравнение:
Решение:
В нашем случае
.
Уравнение будет равносильно неравенству:
Ответ:
1.9. Уравнение вида .
Пример.
Решите уравнение:
Решение:
Уравнение равносильно неравенству:
Разделим обе части неравенства на 6
Ответ:
1.10. Уравнение вида .
Уравнение равносильно объединению уравнений:
Примеры.
Решите уравнения:
а)
б)
Решение:
а)
б)
Решим каждое уравнение совокупности:
Первое уравнение имеет корни .
Для второго уравнения найдем дискриминант D=
Его корни
Ответ: а) 0; 1
б) 1; 6