Исследовательская работа по математике на тему Геометрия и религия

Директор школы: Шадрина Елена Анатольевна

Адрес школы: 399824 с.Спешнево - Ивановское,

ул. Куйбышева, д. 6, телефон 8(47465)55247

Данковский муниципальный район

Липецкая область

Автор работы: Пустынникова Светлана Викторовна

399839 Липецкая область,

Данковский муниципальный район,

д. Наталино, д.1.

Руководитель работы: Кротов Александр Валериевич,

учитель математики

МБОУ СОШ с. Спешнево - Ивановское

Аннотация

Данная работа относится к исследовательскому типу. Предметом ее исследования стали геометрические соотношения, применяемые при строительстве церквей и храмов. Были охарактеризованы виды церковных куполов с указанием на их историческое происхождение. Практическое исследование применения законов геометрии в религии было рассмотрено по трем направлениям: геометрическое построение церковного купола, использование соотношения «золотого сечения» при строительстве храма, изучение купола церкви иконы Божией Матери "Знамение" с. Спешнево - Ивановское.

Руководитель работы /Кротов А.В./

Содержание

Введение 5

1. Теоретические и исторические основы геометрии в религии 7

1. 1. Возникновение и развитие формы куполов храма 7

   2. Геометрия в древнерусских постройках 14

2. Исследование практического применения законов геометрии в религии 17

   1. Геометрическое построение церковного купола 17

   2. Использование соотношения «золотого сечения» при строительстве

храма 21

2.3 Исследование купола церкви иконы Божией Матери "Знамение" с. Спешнево - Ивановское. 28

Заключение 31

Список литературы 32

Введение

Геометрия - одна из древнейших частей математики, изучающая пространственные отношения и формы тел. Из геометрии зародилась математика как наука. Люди с незапамятных времен использовали геометрические знания в быту. Геометрической формы были не только бытовые предметы, но и культовые. Геометрия - наука, давшая людям возможность находить площади и объемы, правильно чертить проекты зданий и машин.

На протяжении огромной истории храмового строительства наблюдается большое разнообразие. В наши дни по всей России разбросано множество храмов, возрождаемых из руин или из используемых под другие нужды зданий. Липецкая область является неотрывной частью великой России. Одно из доказательств этого - большое количество монастырей и других православных святынь. Язык пропорций - язык архитекторов. Пропорциональность является наиболее ярким, зримым, объективным и математически закономерным выражением архитектурной гармонии. Пропорция - это математическая закономерность, прошедшая через душу зодчего. Это поэзия числа и геометрии на архитектурном языке.

Архитектура триедина: она извечно сочетает в себе логику учёного, ремесло мастера и вдохновение художника. «Прочность - польза - красота» - такова знаменитая формула единого архитектурного целого, выведенная древнеримским теоретиком зодчества Марко Витрувием. Люди всегда стремились достичь гармонии в архитектуре. Благодаря этому стремлению на свет появлялись всё новые изобретения, конструкции и стили.

Для достижения гармонии в произведениях искусства должен выполняться принцип Гераклита: «из всего - единое, из единого - всё». Гармония в архитектурном сооружении зависит не столько от его размеров, сколько от соотношений между размерами составляющих его частей. Гармония в природе и гармония в архитектуре обретают одинаковое математическое выражение в законе «золотого сечения».

«Золотым сечением» (делением), «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение приближенно равно 0,618 или 5/8.

Цель работы: на основе изучения теоретических и исторических основ исследовать геометрическое содержание религии.

Задачи работы:

1. Изучить теоретические и исторические основы геометрии в религии;

2. Исследовать практическое применение законов геометрии в религии;

3. Определить результаты исследования.

Объект исследования: храмы русской православной церкви.

Предмет исследования: геометрия построения архитектурных памятников («золотое сечение»), храмов русской православной церкви (эскизы, чертежи, описание построения храмов и куполов).

Гипотеза: Если в основе построения храма и купола лежат квадраты и треугольники, стороны которых составляют числа, выражающие золотую пропорцию, то храм построен по закону «золотого сечения».

Актуальность работы. Идея о гармоничности мира (и систем), связанная с отношениями противоположностей внутри объекта, восходит от философов Древней Греции. Пифагор первым поверил в рациональное устройство мироздания и возможность описания этого устройства с помощью чисел и их отношений. Математика, таким образом, впервые становится орудием познания мира: обоснование мировой гармонии, образуемой движущимися планетами, исчисление гармоничных пропорций, аналогии между гармонией микро- и макрокосмоса, представленное в трудах ученых многих столетий. В наши дни идея гармонии систем приобретает всё большее признание. Разработкой этой темы занимается многие учёные.

Методы работы. В качестве методов исследования были использованы: теоретический анализ литературы по золотому сечению; изучение построения эскиза «луковичного» купола; изучение информации касающейся куполов церкви иконы Божией Матери "Знамение" с. Спешнево - Ивановское; анализ и сопоставление результатов изучения теории с планами куполов храма.

.

1. Теоретические и исторические основы геометрии в религии

1. 1. Возникновение и развитие формы куполов храма

Слова Ф.М. Достоевского «красота спасёт мир» особенно актуальны сегодня, когда, разделённое прагматизмом, равнодушием, противоречием, общество пытается найти спасительные идеалы. В народе всегда была жива идея о целящей силе красоты. Может быть, поэтому не устаем мы любоваться прекрасными и высокодуховными созданиями русского религиозного искусства. Разделенности и враждебности мира они противопоставляли милосердие, веру и всеобщее единение.

Слово «храм» вошло в употребление не ранее IV в., так называли капища своих идолов язычники. Храмы иначе назывались церквами, так как верующие, собирающиеся здесь на молитву, составляли Церковь. Церковь («экклесиа» - греч, - «собрание», «общество»), то есть общество христиан, рассеянных по всему земному кругу, объемлющее в своем составе живых и мертвых, церковь («кириокон» - греч, - «дом Господень») - здание, куда верующие собираются для совместной молитвы.

Храм - «выделенная из всей реальности та её часть, где встречается…дольнее и горнее, здешнее и тамошнее, временное и вечное, условное и безусловное, тленное и нетленное». Именно красота и великолепие храмов оказались решающим доводом для крещения Руси. В храме можно научиться быть человеком разумным, осмысленным, прямоходящим: устремлённым ввысь.

Православный храм завершает купол, напоминая о небе, куда верующий устремляет свои мысли. «Луковичная» форма купола - горящая, как свеча, молитва, обращенная к Богу, символизирует молитвенный подъем и стремление к совершенству.

История куполов началась в доисторические времена. Из материалов раскопок, проводимых на острове Кипр, мы можем выяснить, что настоящему своду предшествовал так называемый ложный, который был изобретен гораздо раньше арки, где-то в 5 тысячелетии до нашей эры. Технологически сложные и большие купола стали строить в древнем Риме. Купола стали использовать при строительстве храмов и больших общественных сооружений примерно в 128 году нашей эры. Позже традиция куполостроения была перенята византийской религиозной и культовой архитектурой. Кульминацией этого периода стало применение революционной парусной технологии при возведении Софийского собора в Константинополе. После завоевания мусульманами империи Сасанидов и Византийского Ближнего Востока купол стал также частью мусульманской архитектуры.

В Западной Европе купола снова приобрели популярность в эпоху Ренессанса и достигли расцвета в начале XVIII века в архитектуре барокко. В строительстве домов купола использовались редко, будучи в период барокко атрибутом лишь самых больших построек и дворцов.

Купола занимают важное место в христианской и мусульманской архитектуре. Большинство православных церквей и мусульманских мечетей, а также многие католические соборы венчаются куполами. Для многих вероучений купол имеет символическое значение. Так, в православии купол является образом небес, он украшается образами Небесного Царства Бога и ангелов. Цвет купола также важен в символике храма. Золото - символ небесной славы, синие со звездами венчают храмы, посвященные Богородице, потому что звезда напоминает о рождении Христа от Девы Марии, зеленые купола посвящены Святому Духу. Храмы, посвященные святым, увенчаны серебряными куполами.

Сразу после крещения киевлян в 988 году в Киеве была построена Десятинная церковь (989-996 гг.), разрушенная при взятии Киева Батыем. При Ярославе Мудром построили главный храм Киева - Софийский собор. За время правления Ярослава были сооружены ещё два Софийских собора: в Новгороде ( в 1045-1050 годах) и Полоцке (в 1060-е годы). Хорошо сохранился Спасо-Преображенский собор Чернигова, заложенный в 1030-м году. Образцом для строительства соборов в русских городах стал Успенский собор Киево-Печерского монастыря, построенный греками в 1073-89 гг. Успенский собор был взорван в 1941 году, в настоящее время восстановлен в формах украинского барокко, так, как выглядел на момент разрушения. К ним близок Успенский собор Владимира-Волынского (1160 год). Древнейший из сохранившихся храмов Смоленска - собор Петра и Павла (1140-50 гг).

Ряд храмов Великого Новгорода были возведены в первой трети XII века. В их числе - княжеский Николо-Дворищенский собор, построенный на другом берегу Волхова, напротив Софии, Георгиевский собор Юрьева монастыря, собор Рождества Богородицы Антониева монастыря. На протяжении XII века были построены храмы Старой Ладоги, из которых сохранились Успенская и Георгиевская церкви (1165 год), близ Новгорода - церковь Спаса на Нередице (1198 год), Собор Иоанна Предтечи. Преображенский собор в Переславле Залесском был построен в 1152 году. Постройки Владимира, Суздаля и других городов Северо-Восточной Руси отличаются от храмов Киева, Чернигова, Новгорода, Смоленска иной строительной техникой - после 1152 года они строились из белого камня. Строительство в Северо-Восточной Руси вел отец Юрия Долгорукого Владимир Мономах, построивший в начале XII века в Суздале первый собор по образцу Успенского собора Киево-Печерского монастыря. При Андрее Боголюбском были построены Успенский собор во Владимире (1158-1160 гг.), позднее ставший главным храмом России (до постройки московского Успенского собора ), дворец с храмом Рождества Богоматери в Боголюбове (1158-1165 гг.) и церковь Покрова на Нерли (1158 год). При князе Всеволоде был построен придворный Дмитриевский собор (1191 год). При ошибочной реставрации XIX века этот храм потерял первоначальные галереи и лестничные башни.

В монгольский период на Руси строительство храмов продолжалось, например, были возведены: церковь Иоанна Лествичника (1329), храм Спаса на Бору (1330), Архангельский собор (1333) и храм Богоявленского монастыря на посаде (1340), Успенский собор на Городке в Звенигороде (1396-99 гг.), Собор Рождества Богородицы в Савво-Сторожевском монастыре (1405 г.), Троицкий собор Троице-Сергиевой Лавры (1422 г.), Спасский собор Андроникова монастыря в Москве (1425-27 гг.). Самыми ранними сохранившимися постройками являются небольшие храмы: Никольский в селе Каменское и Рождества Богоматери в Городне на Волге. Заграевский датировал их началом XIV века. Перестройка Московского Кремля была сделана при Иване III (Успенский собор Московского Кремля в 1475-79 гг.; Архангельский собор Московского Кремля в 1505-1508 гг.; купол и своды Архангельского собора Московского Кремля в 1505-1508 гг.).

Известно, что купола, а точнее, главы над храмами бывают шлемовидными, луковичными, грушевидными и конусовидными. Иногда главками называют главы, устроенные не на световых (дающих свет в храм), а на декоративных барабанах (=башенках). Шлемовидными покрытиями чаще всего называют специфическую форму купольных покрытий с килевидным верхом, близкую к форме древнерусского шлема. Такие завершения мы сегодня видим на реконструкциях как домонгольских храмов Владимиро-Суздальской земли, так и на подавляющем большинстве церквей и соборов XV - XVI веков. Таким образом, шлемовидная глава (купол) - это купольное покрытие кровельным материалом непосредственно по своду башни или башенки. «Византийские» посводные купольные покрытия имели место в большинстве княжеств домонгольской Руси (Киев, Чернигов, Смоленск и пр.), а шлемовидные главы преобладали в домонгольском Владимиро-Суздальском княжестве. Затем такая форма глав была воспринята в Тверском и Московском великих княжествах, а затем и в централизованном Русском государстве. Соответственно, подавляющее большинство русских храмов XIV - XVI веков обычно реконструируется со шлемовидными завершениями.

Купол-луковица имеет выпуклую форму, плавно заостряющуюся на вершине, похожую на луковицу. Чаще всего такие купола применяются в России, Турции, Индии и на Среднем Востоке. Купола такой формы чаще всего используются в строительстве храмов русской православной церкви. Они имеют больший диаметр, чем основание, на котором они установлены, а их высота обычно превышает ширину. Обычно для наиболее распространённой луковичной главы соотношение диаметра барабана (башни) к диаметру широкой части (пучины) главы составляет 1 : 1,382, а к высоте главы - 1 : 1,618.

Овальные купола являются частью архитектуры барокко. Первый овальный купол барокко был построен Джакомо да Виньола для церкви Сант'Андреа-ин-Виа-Фламина в 1553 г. Самый большой овальный купол был построен в Викофорте архитектором Франческо Галло.

Горизонтальные сечения полигональных куполов представляют собой многоугольники. Одним из самых известных примеров таких куполов является восьмиугольный купол собора Санта-Мария-дель-Фьоре во Флоренции, возведённый Филиппо Брунеллески.

Купол-блюдце ниже, чем другие виды куполов. Многие из самых больших существующих в наше время куполов имеют именно такую форму. Купола-блюдца приобрели популярность в XVIII веке, но популярны и по сей день. Они используются как элемент внутреннего дизайна помещения, располагаясь в пространстве чердачных помещений. В этом случае купол оказывается снаружи не виден, а внутри создает ощущение увеличенного пространства. Часто такие купола украшают орнаментами или фресками. Такие купола использовались при возведении византийских церквей и османских мечетей. Большинство мечетей Индии, Пакистана, Ирана и Афганистана покрыты куполом-блюдцем.

Купола-зонтики разделены на сегменты ребрами, расходящимися от центра к основанию купола. Они передают вертикальную нагрузку на рёбра. По такой схеме построен центральный купол Софийского собора и главный купол собора Святого Петра.

Луковичные главы появились во второй половине XVI века, а в XVII веке стали на Руси массовым явлением. Таким образом напрашивается вроде бы следующий вывод: из Византии было заимствовано посводное покрытие, затем оно все больше и больше «вытягивалось» вверх и превратилось в шлемовидное. Затем в XVI веке «высотность» шлемовидных глав оказалась недостаточной, и над куполом стали надстраивать конструкции луковичной формы.

Впервые с этими положениями не согласился Б.А. Рыбаков. Он полагал, что многие миниатюры Радзивилловской летописи XV века являются копиями изображений XII - XIII веков, а на этих миниатюрах изображены луковичные главы. Следовательно луковичные главы появились уже в конце XIII веке. Эту позицию Б.А. Рыбакова поддержал и Н.Н.Воронин.

Луковичные главы могли появиться и в конце XIII века в начале в деревянном зодчестве, а в конце XVI века их могли начать использовать и при возведении каменных храмов. Н.Н. Воронин отмечал что луковичная форма глав была использована и в раннемосковских Сионах и кадилах, и в миниатюрах, и в резных иконках, начиная с XIII века: эта форма имела сакральное значение и должна была воплощаться в зодчестве. Вслед за С.В. Заграевским (2008) я считаю, что проблема времени появления луковичных глав на храмах Руси и России остается до конца нерешенной. По всей вероятности, образцом для художников миниатюр в летописях служила сама находящаяся перед их глазами архитектура, то есть луковичные главы на реальных храмах Древней Руси.

Большинство изображений храмов на иконах и миниатюрах (иконы и фрески московской, новгородской и псковской школ) изображают главы больших каменных храмов: художники равнялись не на второстепенные церкви, а на крупные соборы своего времени. Впервые луковичные главы встречаются в галицко-волынских миниатюрах 1164 года. Но никакими другими известными нам изображениями наличие луковичных глав в домонгольское время не подтверждено. Огромное большинство купольных покрытий имеют луковичную форму, начиная со второй половины XIII века. Планы Москвы рубежа XVI и XVII веков свидетельствуют о том, что в это время главы храмов уже были исключительно луковичными. Это подтверждается и изображениями других русских городов. Важно обратить внимание на изображения храма из рукописи Амартола (1294 года) с луковичной главой, так он показал некий обобщенный «образ церковный». Луковичные главы в начале XIV века изображали не только художники Москвы, Твери и Новгорода. Такую главу мы видим и на иконе киевской школы. Это лишний раз подтверждает повсеместное распространение купольных покрытий луковичной формы в конце XIII - начале XIV веков. Луковичными были и все главы, возведенные в XVI веке над шатрами русских храмов. Шлемовидных глав ни в домонгольское, ни в раннее послемонгольское время не было (С.В. Заграевский, 2008). Первые изображения купольных покрытий близкой к шлемовидной формы появляются на рубеже XV и XVI веков. В это время на храмах уже были шлемовидные главы.

Мусульманские храмы часто тоже увенчаны куполами. В XIV в., в ту эпоху, когда каирский султан Хассан послал своих архитекторов в Иран учиться строительному искусству, система куполов получает широкое применение. Иранский купол имеет очень повышенный профиль. Часто купол, сферический в своей нижней части, в вершине принимает форму конуса, устраняющую ту трудность конструкции, на которую мы указывали, говоря о византийской архитектуре, - трудность сохранять в верхней части купола перпендикулярное положение рядов кладки по отношению к внутренней поверхности свода. Другие формы являются лишь вариациями иранского свода: купол принимает то форму конуса, то ячеистую поверхность, то форму луковицы.

Конический купол - это армянский купол, выложенный из кирпича. Конический купол появляется в Армении около X в.; в XI в. его заимствуют сельджуки и переносят его в области своего расселения, от Каппадокии до Босфора. Используя те преимущества, которые дает употребление кирпича, они придают куполу ребристое очертание и применяют складчатую облицовку, увеличивающую прочность свода и усиливающую декоративный эффект. Ячеистый купол строился в виде ячеистого конуса. Ряды кладки здесь совершенно горизонтальны, а купол составляется из маленьких ниш, поднимающихся выступами одна над другой. Один из древнейших примеров такого купола мы находим в так называемой гробнице Зобеиды в Багдаде; мы встречаем его также в гробнице Даниила близ Суз и т. д. Луковичный купол, едва намечающийся в деревянном своде Эль-Сахра, приобретает существенное значение только в Иране около XVI в., в то время, когда исламизм завоевывал Индию; вероятно, он связан с влиянием Индии, где мы находим его в гораздо более раннюю эпоху. Расширенная часть купола выкладывается горизонтальными рядами вперевязку. Купол, в собственном смысле слова, начинается только там, где кончается выпуклость. Хронология мусульманских куполов следующая: 1) первоначальный период - купол с сильно повышенным яйцевидным профилем, покоящийся на парусах в виде тромпов (памятники Древнего Ирана); 2) XII и XIII вв. - конические купола, гладкие и ячеистые, сельджукской архитектуры; 3) XIV в. - купола на парусах в виде тромпов (мечеть Хассана); к этой же эпохе относятся и купола с двойной оболочкой, скрепленной связями, образец которых мы видели в Султаниэ; 4) XVI в. - луковичный купол, вывезенный из Индии.

Грушевидные и луковицевидные купола ростово-суздальского (русского) типа.

Храм Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Луковицевидные купола. Основание купола уже его середины, верхушка оттянута, поверхность куполов неровная: ребристая или ячеистая

Храм в Харьковской обл. в с. Сенькино. Купол на колокольне имеет коническую форму, а над самой церковью купол сложный: сферический купол внизу, увенчаный типично грушевидным куполом сверху. Кресты четырехконечные. Какая-то странная эклектика. Случай в церковном строительстве редкий.

На этом фото мы видим Кафедральный собор святого праведного воина Феодора Ушакова с так называемыми шлемовидными куполами. От луковицевидных куполов эти отличаются тем, что наибольший диаметр имеют в основании. На куполах установлены четырехконечные кресты с полумесяцем в основании. Сочетание креста с полумесяцем не вполне понятно. Скорее всего, это символ солнца (крест) и луны (серп).

Харьковская область. Храм Преображения Господня был построен в 1813 году на средства прихожан. Сферические позолоченные купола с шестиконечными православными крестами, полумесяцем и шаром в основании. На храме установлено пять куполов и один на колокольне.

Процитируем здесь слова кн. Е.Н.Трубецкого из работы "Два мира в древнерусской иконописи": "Мы чувствуем, что в этом луковичном стиле в Древней Руси строились не одни храмы, но и все, что жило духовной жизнью, - вся церковь и все мирские слои, в ней близкие, от царя до пахаря. В древнерусском храме не одни церковные главы - самые своды и сводики над наружными стенами, а также стремящиеся кверху наружные орнаменты зачастую принимают форму луковицы. Иногда эти формы образуют как бы суживающуюся кверху пирамиду луковицы. В этом всеобщем стремлении ко кресту все ищет пламени, все подражает его форме, все заостряется в постепенном восхождении. Но, только достигнув точки действительного соприкосновения двух миров, у подножия креста, это огненное искание вспыхивает ярким пламенем и приобщается к золоту небес. В этом приобщении - вся тайна того золота иконописных откровений, о котором мы уже достаточно говорили: ибо один и тот же дух выразился в древней церковной архитектуре и живописи. В этой огненной вспышке весь смысл существования "святой Руси". В горении церковных глав она находит яркое изображение собственного своего духовного облика; это как бы предвосхищение того образа Божия, который должен изобразиться в России."

Таким образом, объясняя происхождение формы куполов и глав, возводимых над православными христианскими храмами, мусульманскими мечатями мы стремились обратить внимание прежде всего на проблему их происхождения, на неслучайность распространения глав в форме луковиц в России. Наша дохристианская история гораздо богаче и интересней, чем принято считать, и нам не следует об этом забывать.

1. 2. Геометрия в древнерусских постройках

900 лет тому назад в Киево-Печерском монастыре была заложена знаменитая Успенская церковь. Повествование «о создании церкви Печерская»- уникальный документ, позволяющий за иносказательной, религиозной формой проследить реальную картину начального этапа строительства на Руси в 11-ом веке.

Вычерчивание геометрических очертаний будущего здания, установление конструктивных размеров, определение толщины стен, возможных пролетов требовали знаний и опыта. Именно в процессе расчерчивания плана здания в натуральную величину на строительной площадке окончательно созревал и конкретизировался архитектурный замысел, уточнялись его детали и определялись размеры будущего сооружения. Черновые, рабочие изображения делались зодчим для себя, для уточнения своей мысли. Такие уточняющие изображения скорее всего могли выполняться на бересте, палочкой на земле (графические), лепиться из глины или вырезаться из дерева.

Рисунок 1

Мастер продумывал всю систему «размерения», находил определенный метод геометрического или числового согласования величин. У него складывался план геометрического построения. Для особо важных построек на Руси выполняли модели, которые являлись образцами будущих храмов и фиксировали созревший замысел архитектора.

Следующим этапом был переход к реальным очертаниям здания на строительной площадке, т.е. к чертежу в натуральную величину

Рисунок 2

Разбивка контура здания - обязательный процесс, который выполняли и строители пирамид, и мастера Древней Руси. Выполняют его и современные производители работ. Все те же колышки с натянутыми веревками, как и несколько тысяч лет назад. Если в глубокой древности зодчий при разбивке плана на участке продолжал творческий процесс формообразования, конкретизировал замысел и гармонизировал соотношения частей здания, то строитель наших дней переносит с максимальной точностью уже окончательный результат творческой работы, ее итог, зафиксированный в форме чертежа. Формообразование шло параллельно со строительством.

Графическая схема основных этапов, иллюстрирующая творческий процесс, наглядно показывает принципиальные различия графических средств в архитектурном формообразовании.

Рисунок 3

а) Древняя Русь;

б) - современность

Рассчитав пропорциональные части здания, мастер давал команду каменщикам, которая сводилась к указанию, сколько мер мерить, и какую меру для этого использовать.

2. Исследование практического применения законов геометрии в религии

1. 1. Геометрическое построение церковного купола

Рассмотрим построение эскиза «луковичного» купола, определяя какие закономерности положены в его основу.

Существуют разные виды куполов. Рассмотрим некоторые из них: Самый простой эскиз купола строится таким образом: В квадрате ABCD отмечаются середины Е, F, К его сторон AD, DC и СВ соответственно.

Рисунок 4

Из точек А, В, С, D как из центров проводят дуги радиусом, ко­торый составляет половину стороны квадрата. Продолжение стороны АВ квадрата пересекают двое из дуг в точках М и N(рис. 4).

Для построения более сложных эскизов вспомним о золотой про­порции, которую мы ранее обозначали через Ф, установив, что ф =( √5+1)/ 2 = 1,6. Допустим: АВ: 0₁С ≈ 1,6. Как построить отрезки АВ и 0₁С?

Прежде всего выберем единицу измерения - отрезок е на рис.5.

Рисунок 5

Затем выполним преобразования АВ: О₁С = 1,6 = 16 : 10 = 8 : 5. Это значит, что АВ = 8 е, а О₁С = 5е. Представим себе, что нам следует пост­роить равнобедренный треугольник ABC, у которого основание АВ и высота О₁С составляют золотую пропорцию. Тогда мы строим отрезок АВ = 8е, делим его пополам точкой О₁, и проводим перпендикуляр к АВ через точку О₁, на которой откладываем отрезок О₁С = 5е. Треугольник АСВ (рис. 5) послужит основой для нового эскиза купола православ­ной церкви.

План построения.

Проведем перпендикуляр О₁К к стороне ВС (рис. 5).

На высоте СО₁, отметим точку М так, чтобы СМ = О₁В, и через точку М проведем прямую, перпендикулярную прямой СО₁, которая пересекает отрезок О₁К в точке О₂.

Проведем окружность с центром в точке О₂ и радиусом О₂К.

Разделим отрезок О₁В точкой S и через нее проведем прямую SP, перпендикулярную АВ. Она пересекает построенную окружность в точке L, через которую проведем прямую, параллельную АВ. В пересе­чении с осью СО получится точка Е.

На прямой СЕ от точки С отложим отрезок CG = 2е. Из точки О, как из центра проведем окружность, радиусом O₁G которая пересечет предыдущую окружность в точке N, и окружность радиусом О₁К, пере­секающую высоту СО₁ в точке F (рис. 6)

Рисунок 6

Через точки E и N проведем прямую. Из точки С как из центра проведем окружность радиусом EF, которая пересечет прямую EN в точке О₃.

Затем из О₃ проведем дугу радиусом О₃N до ее пересечения с точкой С.

Линия, составленная из двух построенных дуг LKN и NC, образует половину эскиза купола. Вторая половина получается при выполне­нии симметрии относительно оси СО₁ (рис. 7)

Рисунок 7

Самый простой эскиз купола строится таким образом. В квадрате АВСД отмечаются середины E, F, К его сторон AD, DC и CB соответственно. Из точек А, В, С, Д проводятся дуги, равные четвертой части окружности радиуса, равного половине стороны данного квадрата. Продолжение стороны АВ квадрата пересекают две из дуг в точках М и N.

Следующее построение эскиза купола использует золотое сечение и его «производную». Напомним, что золотым сечением называют такое деление отрезка на две части, при котором отношение большей части отрезка к меньшей равно отношению всего отрезка к большей его части.

Строится равнобедренный треугольник АСВ (АВ - основание), в котором АВ/СО1=ф (ф~1,618);

Проводится перпендикуляр ОТК к боковой стороне ВС;

На высоте СО1 отмечается точка М так, что СМ=О1В; через точку М проводится прямая, перпендикулярная СО1, которая пересекает отрезок О1К в точке О2;

Из точки О2 чертится окружность радиуса О2К;

Отрезок О1В делится пополам и через полученную середину проводится прямая, перпендикулярная АВ, она пересекает построенную окружность в точке L; через неё далее проводится прямая, параллельная АВ, а в пересечении с осью симметрии купола получается точка Е;

Из точки О1 строится окружность радиуса О1К, которая пересекает СО1 в т. F, из точки О2 проводится окружность радиуса МF так, чтобы она пересекала сторону ВС в точке R;

Затем из точки С проводится окружность радиуса ЕF и строится прямая ЕR; эти две фигуры пересекаются в точке ОЗ, из которой проводится окружность радиуса ЕF; три перечисленные окружности, пересекаясь, образуют из своих частей линию, определяющую половину контура купола; вторая половина купола получается при выполнении симметрии относительно оси СО1.

Основной строительной единицей длины Древней Руси была сажень («досягать», определялась досяганием рук человека.) На её основе строится квадрат АВСД. В нем проводится диагональ АС, которая тогда соответствует великой косой сажени, диагональ АЕ прямоугольника АДЕF будет сажень без чети, диагональ АМ прямоугольника ALMF (с точками K и L сторона данного квадрата делится на три равные части) - прямая сажень, диагональ АР прямоугольника АLPB - косая сажень и диагональ АN прямоугольника ALNB - трубная сажень. Из построенного «Вавилона» вытекают и другие меры длины.

Сопряженность русских мер была основой создания гармонических пропорций архитектурных сооружений. Она и сохранила всю совокупность этих мер длины как единую метрологическую систему Древней Руси, в основу которой были положены пропорции человеческого тела. Эти пропорции пришли из Древней Греции, где они играли важную роль в геометрической гармонизации зданий. Создав систему саженей, то есть систему мер и пропорций, русские зодчие получили богатейший инструмент для тонкого архитектурного варьирования, передачи в пропорциях сооружений целой гаммы всевозможных оттенков, тонких нюансов, что и обеспечило создание архитектурных произведений высокого эстетического уровня. К ним принадлежат и крестово-купольные храмы.

Основа такого храма - квадрат, расчлененный четырьмя столбами, причем примыкающие к подкупольному пространству прямоугольные ячейки образуют архитектурный крест. Создание типа крестово-купольного храма было событием в истории мировой архитектуры. Его конструкция и композиция представляли завершенную в себе структуру, не восприимчивую к изменениям. Эта завершенность структуры, конструктивная стабильность структуры, сохранение полной гармоничности постройки при всех изменениях архитектурной формы предполагают, по мнению архитектора Е. Ф. Желоховцевой, существование какой-то общей системы построения этой формы, позволявшей зодчему охватить основные закономерности строя пропорций храма и варьировать его параметры, не нарушая их общей гармонии и не выходя за пределы, гарантирующие прочность постройки.

Геометрическое описание чертежа плана крестово-купольного храма отражает общую систему построения архитектурной формы. Эта система состоит из следующей последовательности геометрических построений:

Строится квадрат АВСД, из середин его сторон проводятся окружности радиусом, равным половине стороны квадрата. Эти окружности в пересечении образуют четырёхлепестковую розетку. Из центра О квадрата проводится такая же окружность, которая пересечет части розетки в восьми точках.

Через полученные точки проводятся четыре прямые, получается квадрат А₁В₁С₁Д₁, моделирующий внутренние границы трехнефного ядра плана (непродольная часть храма); внешние границы дает диаметр окружности, проведённой из центра квадрата. Ширина каймы, образовавшейся по сторонам главного квадрата, составляет 1/15 ширины постройки. Через точки Q, R, S, T, F, E, L, P проводятся прямые, которые, пересекаясь, образуют центральный квадрат А2В3С2Д2, моделирующий центральное звено плана. Здесь же намечаются границы продольных и поперечных нефов. Сторона центрального квадрата равна половине стороны главного. Такое отношение встречается у всех видов крестово-купольных храмов, за исключением посадских новгородских церквей, где наблюдается это же отношение, но уже между шириной постройки и диаметром подкупольной окружности.

Далее определяется выступ центральной апсидии (то место в восточной части храма, где находится алтарь). Для этого проводятся окружности из точек А₁ и В₁, радиусы которых равны диагоналям внутреннего квадрата. С целью нахождения западной границы плана проводятся симметричные дуги и продолжаются стороны АД и ВС квадрата АВСД. Для построения центральной апсиды списывается полуокружность (ее центрО₁ - середина стороны внутреннего квадрата) в выступ от пересечения дуг. Можно варьировать это построение, помещая вершину О₁ равнобедренного треугольника МО₁N как на внутренних, так и на внешних границах плана.

Таким образом, построение плана купола расчленяется на несколько определённых этапов, каждый из которых охватывает особое архитектурное звено. Эти геометрические построения с помощью четырехлепестковой розетки дает возможность варьировать соотношения длины и ширины плана, не выходя за жесткие границы рамки.

1. 2. Использование соотношения «золотого сечения» при строительстве храма

Математики и историки, архитекторы и философы с разных позиций то возносили, то низвергали закономерности согласования архитектурной формы. Особое внимание привлекали модульная система и «золотое сечение». Примером может служить Успенская Елецкая церковь в Чернигове. Расчет размеров этой церкви позволил выявить, что композиционный замысел целиком связан с золотым сечением. На рисунке приведен композиционный замысел Елецкой церкви.

Длина храма 26,57м относится к ширине 16,24м в отношении золотого сечения(26,57/16,24=1,636≈d). Ширина храма относится к длине ядра 10,06м как16,24/10,06=1,614≈d. В пропорции золотого сечения находятся и многие другие конструктивные размеры элементов и частей церкви:

Размеры многих храмов Новгорода также определены в частях и в целом как соразмерности золотого сечения.

Рисунок 8

Интересна история реконструкции Великой Печорской церкви. Построенная в 1073 году, эта церковь была разрушена фашистами в годы войны. Однако, используя сохранившееся свидетельство и сопоставляя основные размеры Печерской церкви с Елецкой церковью в Чернигове, все древние части которой сохранились, удалось осуществить реконструкцию объёмов Печерской церкви. Установлено, что основой пропорционального строя Печерской церкви является отношение 2/√5 , которое хорошо видно на фасаде и разрезе реконструкции размерной структуры церкви:

Рисунок 9

Отношение 2/√5 также можно выразить через золотую пропорцию:

что свидетельствует о её связи с основными размерами церкви.

Храм Василия Блаженного в Москве - это еще один пример, показывающий, насколько органично золотое сечение входит в архитектурные пропорции (рис.7) За «целое» а=1 принята высота храма. Пропорции храма определяются восемью членами ряда золотого сечения:1, ф, ф2 ,ф3 ,ф4 ,ф5 ,ф6,ф7.

Рисунок 10

Многие из членов ряда неоднократно повторяются в пропорциях этого затейливого архитектурного сооружения, но всегда благодаря свойству золотого сечения, части сойдутся в целое, т.е. ф +ф2=1,ф2+ф3=ф и т.д. Таким образом, свойство золотого сечения делает эту геометрическую пропорцию единственной и неповторимой.

Серьезное изучение методов формообразования в древнерусском зодчестве было начато К. Н. Афанасьевым. В результате обобщения аналитических данных он пришел к выводу, что в русских церковных постройках XI-XIII вв. «размер центрального купола или подкупольного квадрата неизменно является начальным звеном цепи построения соразмерностей.

Подкупольный квадрат, определявший самый ответственный конструктивный и композиционный элемент церкви - центральную главу, мог являться и часто являлся основой для геометрических построений. Летопись, о начале строительства Успенской церкви, приводит числовые данные: «размерив поясом тем златым, 20 в ширину и 30 в дълину, а 30 в высоту, стены с верхом 50». Если бы основой был размер центрального купола, то, надо полагать, летописец не забыл бы на него указать, поскольку церковная глава являлась идейно-художественным центром композиции. Достоверность сведений подтверждается фактическим соотношением ширины и длины прославленного храма, равным двум третям.
Известно, что Успенский храм Киево-Печерского монастыря, служил образцом для многих культовых построек. Не случайно во многих храмах, возведённых в различных княжествах, отношения ширины к длине по наружному или внутреннему контуру стен которых равно 2/3. Вероятно, мастера прежде всего выдерживали именно это определяющее для сооружения соотношение.

Вычерчивание плана здания на строительной площадке было связано с рядом известных операций построения геометрических форм и установления абсолютных размеров. Методы установления стабильных соотношений между величинами постройки были связаны и с системой измерения.

Широкое использование квадрата и его производных имело в древнерусском зодчестве глубокие корни. Древние изображения вписанных друг в друга квадратов с четырьмя линиями, соединяющими их стороны в средней части называют вавилонами (рис.11)

Рисунок 11

Вавилоны - символические схемы «зодческой мудрости», связанные с приемами разбивки планов зданий.

Геометрические свойства квадратного и прямоугольного вавилонов позволяли, не прибегая к вычислениям, получать пропорционально связанные ряды величин, строить правильные треугольники и шестиугольники, равновеликие по площади квадрату.

Древнерусские мастера - использовали в своей работе взаимосвязанные меры длины. В основе взаимосвязанных мер длины лежали соотносимые величины системы двух квадратов. Геометрические построения на базе двух квадратов позволяют получить почти все распространенные в строительстве

пропорциональные отношения, в том числе и характерные для древнерусской метрологии (простая сажень к косой - 1:√2 или мерная сажень к «сажени без чети» - 2 :√5) (рис.12)

Рисунок 12

Для древнего мастера система пропорционирования была не каноном, не догмой, а методом работы, способом достижения гармонического единства произведения.

Рисунок 13

На рисунке 13 видно, что гармония храма Покрова Богородицы на Нерли (построена в 1165г.) подчинена строгим математическим законам пропорциональности. Церковь построена на пропорциях функции золотого сечения, что дает в плане три вписанных друг в друга «живых квадрата», отношение сторон которых √5:2 определяет пропорциональный строй храма.

В 1532г. в царской усадьбе-селе Коломенском под Москвой было завершено строительство церкви Вознесения (рис.13). Этот храм называют архитектурным гимном геометрии. Соразмерность храма с предельной ясностью определены двумя парными мерами: горизонтальные - малой саженью Ст и косой саженью Кн (Ст:Кн=1:√2), вертикальные - малой саженью Ст и мерной саженью См(Ст:См=1:(√5-1) и их комбинацией дающей золотое сечение.

Основной объем храма составляет 20 -гранная призма. Её высота равна стороне исходного квадрата а. Таким образом, ядром основного объема является куб-четверик а*а*а(а=10Ст). Вместе с подклетом высота 20-гранной призмы равна диагонали исходного квадрата а√2=10√2Ст=10Кн. Итак, сторона и диагональ исходного квадрата полностью определяют вертикальные размеры основного объема. 20-гранная призма переходит в 8-гранную призму-восьмерик, который вписан в куб d*d*d(d=9Cт) и который переходит в 8-гранный шатер, высота которого h=d√2=9√2Cт=9Кн т.е. шатер вписан в прямоугольный параллелепипед 9Ст*9Ст*9Кн. Общая высота церкви равна 4а=40Ст т.е. также выражается через исходный размер а. Пропорции храма Вознесения определены двумя математическими закономерностями. Пропорцией Ст:Кн=1:√2 определяющей основание, а также пропорцией золотого сечения: См :2Ст=ф. При этом соблюден принцип встречного движения пропорций. В этом столкновении двух противоборствующих начал - горизонтального и вертикального - и заключается архитектурный образ церкви Вознесения.

Рисунок 14

Таким образом, закономерности «золотого сечения» широко применяются при строительстве церквей и храмов.

2. 3. Исследование купола церкви Вознесения Господня с. Большая Елховка

Первым владельцем села Ивановское был Михаил Иванович Спешнев, от фамилии которого и образовалось второе название села. Первая деревянная церковь Знаменской иконы Божией Матери была построена в начале XVIII века. Позднее было начато строительство каменной церкви в честь Знамения Пресвятыя Богородицы с приделами Казанским и Предтеченским. В 1749 году дозволено было освятить на новом антиминске придел Казанский. А в октябре 1764 года подпоручик Василий Семёнович Плохов просил дозволение на освящение каменной Знаменской новопостроенной церкви.
После Спешневых селом владела княгиня Феодосия Федоровна Барятинская, жена бригадира князя Гаврилы Федоровича Барятинского. Именно она, уже будучи вдовой, в 1791 году получила храмозданную грамоту на строительство в своей усадьбе Ивановское каменной церкви Знамения Пресвятой Богородицы на месте двух ветхих храмов - деревянного Знаменского и каменного Казанского.

В 1870 году церковь была перекрыта, а в 1875 году - оштукатурена внутри и снаружи и исправлена была находящаяся вокруг церкви ограда.

По штату 1873 года в причте положены 1 священник и 2 псаломщика.

Из священно-служителей церкви известны:

Лукиллиан Диомидов, род. в 1709 г. апр. 3.

Василий Лукьянов род. в 1740 г. авг.10.

Марк Игнатиев родил. в 1795 г.

Андрей Зотиков родил. в 1814 г.

Иоанн Филипов Кратков уп. с 1 марта 1834-55 г.

Николай Иоаннов Жданов уп. с 28 февр. 1855 г. по 25 апр. 1866 г.

Иоанн Александрович Кратков сост. с 27 сент. 1867 г. Награждён благословением Св. Синода без грамоты. (14-28 марта 1889 ЦВ №15-16 1889). Награждён (13.04.1901) камилавкой (ЦВ №18 1901). Награждён наперсным крестом, выдаваемым от Св. Синода. (29 марта 1908 ЦВ №18-19 1908).

Круглянский Иоанн Иоаннович (АК 1912 - ПК 1914).

Троицкий И. С. диакон церкви (АК 1898).

Последними священниками были Зенин Андрей Семенович и Лисунов Иван Дмитриевич.

Зенин Андрей Семенович, 1891 г.р., уроженец с. Борисовка б. Рязанской губернии. Постановлением Коллегии ОГПУ от 25.12.1929 по ст. 58-10 приговорен к 10 годам лишения свободы. Реабилитирован определением Липецкой областной прокуратуры от I7.08.1992. Известно, что позже до августа 1937 года служил священником Сергиевской церкви села Ново-Сергиево, Новодеревенского района Рязанской области. 27 августа 1937 года был арестован, а 10 сентября того же года тройкой при УНКВД СССР по Московской области по статье ст.58-10 УК РСФСР был приговорён к расстрелу. 14 сентября 1937 года приговор был приведён в исполнении на печально знаменитом «Бутовском полигоне», погребён там же.

Лисунов Иван Дмитриевич, 1887 г.р., уроженец г. Калач Воронежской области. Постановлением тройки УНКВД но Воронежской области от 05.09.1937 по ст. 58-10-1 приговорен к 10 годам лишения свободы. Реабилитирован определением Липецкой областной прокуратуры от 28.04.1989.

В настоящее время настоятелем церкви является протоиерей Петр.

Официальное описание церкви: Храм построен в стиле позднего барокко с элементами классицизма. Оригинальна объемно-пространственная характеристика храма. К квадратному с закругленными в плане двусветному основному объему храма с квадратной в плане алтарной апсидой примыкает с запада прямоугольная с закругленными углами трапезная и двухъярусная колокольня. Основной объем храма перекрыт сомкнутым восьмигранным сводом с малым глухим барабанов главки. Северный и южный фасады основного объема обработаны сдвоенными пилястрами и завершены треугольными фронтонами. Горизонтальное членение фасадов подчеркнуты профилированными межэтажным и венчающим карнизами церкви, а также карнизом трапезной. Раскреповка карнизов придает особую выразительность объемно-пространственной композиции храма. Закругленные угловые участки фасадов основного объема и трапезной обработаны сплошным рустом по всей высоте. Прямоугольные оконные проемы восьмерика церкви на уровне второго светового яруса размещены в прямоугольных плоских нишах. Прямоугольные оконные проемы трапезной и алтарной апсиды обработаны ленточными наличниками с венчающими сандриками полочками. Объем второго яруса колокольни, обработанный тройными пилястрами по углам, по сторонам света прорезан арочными проемами звона. Колокольню венчает вытянутый по вертикали узкий цилиндрический световой барабан, прорезанный по сторонам света арочными проемами. Колокольню венчает шпиль.

Крестово-купольная схема лежит и в основе нашей церкви. Для него характерно спокойное равновесие, основанное на симметрии, и в тоже время удивительная легкость и устремленность ввысь.

В основе архитектурного плана церкви лежит прямоугольник со сторонами 1, и диагональю и его «производная» - золотая пропорция.

Крестово - купольные храмы, столь типичные для русского зодчества середины 12 века, выделяются четкостью архитектурного замысла, могучей прекрасной слаженностью и мужественной пропорциональностью. Они являются воплощением красоты и высокой духовности русского религиозного искусства. К пониманию этого нас приводит не только простое созерцание творений зодчества, но и геометрические построения. Математика открывает еще одно слагаемое красоты.

Для изучения иконы Божией Матери "Знамение" с. Спешнево - Ивановское мы обратились к настоятелю храма отцу Петру, который дал согласие на разрешение изучения купола церкви.

Основание треугольника АВС.

АВ= 8 см ( по рисунку 15)

Рисунок 15

Высота СО₁= 5 см. Найдем отношение АВ к СО₁ :

АВ:СО₁ = 8 : 5 =1,6.

Мы видим, что отношение основания треугольника к высоте, проведенной к этому основанию составляет золотую пропорцию.

Следовательно, исходя из полученных результатов нашего исследования, можно сделать вывод, что купол церкви иконы Божией Матери "Знамение" с. Спешнево - Ивановское, имеющий «луковичную» форму, построен по принципу золотого сечения с соблюдением канонов архитектуры крестово-купольных храмов.

Заключение

В ходе работы были изучены архитектурные памятники, построенные по золотому сечению. В России к памятникам архитектуры, построенным по золотой пропорции относятся Смольный собор в Санкт-Петербурге, храм Рождества Христова в Ярославле, Успенский собор во Владимире, храм Покрова на Нерли и многие другие.

Далее в работе рассмотрены закономерности построения эскиза «луковичного» купола, приведен план построения купола по «золотой пропорции».

Большую помощь в работе оказали настоятель церкви иконы Божией Матери "Знамение" с. Спешнево - Ивановское отец Петр, который дал согласие на изучение плана церкви.

Сравнив поэтапно построение купола «луковичной» формы церкви иконы Божией Матери "Знамение" с. Спешнево - Ивановское с планом построения, приведенного в работе, видно, что построение полностью совпадает с геометрическими раскладками золотого сечения.

Таким образом, купол церкви иконы Божией Матери "Знамение" с. Спешнево - Ивановское, имеющий «луковичную» форму, построен по принципу золотого сечения, с соблюдением канонов архитектуры крестово-купольных храмов. Выдвинутая гипотеза нашла свое подтверждение в ходе проведенного исследования.

Список использованной литературы

1. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кардомцев и др.-5-е изд.- М.: Просвещение, 1997.

2. Волошинов А. В. «Математика и искусство» 2000 г. «Просвещение»

3. Жалсараев А.Д. Поселения, православные храмы, "Дельта", 2009

4. Коробко В.И., Коробко Г.Н.; М., АСВ Издательство, 2002 г. «Золотая пропорция и человек»

5. Лаптев Б.Л.. Н.И.Лобачевский и его геометрия. М.: «Просвещение» ,1976.

6. Популярная краеведческая энциклопедия. Наследие земли Кабанской, "Дельта", 2009

7. Тростникова Е.И. Первые шаги в православный храм, М.: "Эскмо", 2009

8. Учительская газета № 36, 1992

9. Фридман Л.М., Изучаем математику, Москва, «Просвещение», 1995г

10. Хинн О.Г. под общ. Ред. ООО «Издательство АСТ-ЛТД» 1998 г. «Я познаю мир: математика»

11. Якушева Г. «Справочник школьника: математика» Филологическое общество: «Слово» 1995 г.

Интернет-ресурсы

12. ru.wikipedia.org

13. krugosvet.ru

14. schools.techno.ru

15. russian-church.ru/viewcat.php?cat=moscow

16. kcmb.ru/index.php/option/content/task/view/id/513

17. nsportal.ru/milaeva-nadezhda-vasilevna