Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Анновская основная общеобразовательная школа

Реферат

по математике

на тему «Великий Пифагор»

Составитель: Гура Екатерина Александровна

Учитель математики

2014

1. Введение

Тема моего исследования - Великий Пифагор.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о "пифагоровых штанах" - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

О жизни и творчестве Пифагора сложено много легенд. Существуют пифагоровы тройки. Но все это мы узнали кратко.

В результате я поставила перед собой цель - найти подробную информацию о жизни и творчестве Пифагора.

Мне захотелось установить факты биографии великого ученого и философа. Я решила изучить различные способы доказательства знаменитой теоремы. Но неужели мы можем встречать эту теорему только в геометрии?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо было выявить факты практического применения теоремы Пифагора.

Следующей задачей моего исследования явилось нахождение информации о пифагоровых тройках.

Так как Пифагор является философом, значит, передо мной появилась задача изучить философские труды Пифагора.

Результаты моей работы я оформила в виде презентации и данного реферата для учащихся 8-11классов школы.

2. Биография Пифагора

Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом»[1].

Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самос, одном из самых цветущих островов Ионии. Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос. Мнесарх был камнерезом (Диоген Лаэртский); по словам же Порфирия он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Первая версия предпочтительнее, так как Павсаний приводит генеалогию Пифагора по мужской линии от Гиппаса из пелопоннесского Флиунта, бежавшего на Самос и ставшего прадедом Пифагора.[2] Партенида, позднее переименованная мужем в Пифаиду, происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе.

С юных лет Пифагор стремился проникнуть в тайны Вечной Природы, постичь смысл Бытия. Знания, полученные им в храмах Греции, не давали ответов на все волнующие его вопросы, и он отправился в поисках мудрости в Египет. В течение 22 лет он проходил обучение в храмах Мемфиса и получил посвящение высшей степени. Здесь же он глубоко изучил математику, "науку чисел или всемирных принципов", из которой впоследствии сделал центр своей системы.

Из Мемфиса, по приказу вторгшегося в Египет Камбиза, Пифагор вместе с египетскими жрецами попадает в Вавилон, где проводит еще 12 лет. Здесь он имеет возможность изучить многие религии и культы, проникнуть в мистерии древней магии наследников Зороастра.

Приблизительно в 530 году Пифагор, наконец, возвратился в Грецию и вскоре переселился в Южную Италию, в г. Кротон. В Кротоне он основал пифагорейский союз, который был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Здесь были соединены философия с жизненной практикой, указывающей человеку достойный путь к судьбе, ожидающей его после смерти. Школа жила общинами со строгой дисциплиной нравов, от учеников требовалось целомудрие и воздержание. Однако, аскетизм не был идеалом пифагорейцев; брак являлся для них священным понятием. В школу, наряду с юношами, принимались и девушки. Обучение было многоступенчатым и далеко не каждому давалось сокровенное знание. Лишь те, кто успешно прошёл все испытания, допускался во внутренний двор дома Учителя. Здесь Пифагор наставлял своих ближайших учеников. Отсюда и берут свое начало названия эзотерическое (т.е., то что внутри) и экзотерическое (т.е., то что вне) учение. Строгий образ жизни пифагорейцев, их созерцательная философия, благожелательность к человеку и стремление делать добро, оказать помощь, привлекали к ним многих людей. Союз вскоре стал центром политической и духовной жизни всего Кротона.

Школа Пифагора дала Греции целую плеяду талантливых философов, физиков и математиков. С их именем связаны в математике систематическое введение доказательств в геометрию, рассмотрение ее как абстрактной науки, создание учения о подобии, доказательство теоремы, носящей имя Пифагора, построение некоторых правильных многоугольников и многогранников, а также учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах, арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.

У Пифагора была жена по имени Феано, сын Телавг и дочь Мня (по другой версии сын Аримнест и дочь Аригнота).[3]

...Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

3. Теорема Пифагора в переводе с разных языков

Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах. И в египетском папирусе времен фараона Аменемхета первого (ок. 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII -V вв. до н.э. "Сульва сутра» ("Правила веревки"). В древнейшем китайском трактате "Чжоу-би суань цзинь", время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э. - и общий вид теоремы. Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется.

Приведу различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". [9]

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит [2] :

"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол". [9]

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: Also, wird das vierecke Feld, gemessen an der langen Wand, so also gross ist als bei beide Vierecke, bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel. В переводе это означает:

"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". [9]

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол". [9]

4. Доказательства теоремы Пифагора

Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса как теорема с наибольшим количеством доказательств. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота - красота - значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко - математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.

Я рассмотрю некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьных учебниках дается алгебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым. Итак, Теорема Пифагора. Существуют несколько способов доказательств теоремы.

1. Способ доказательства, основанный на свойстве равновеликих фигур

2. Аддитивное доказательство

3. Метод построения

4. Алгебраический способ

5. Доказательство с помощью косинуса угла

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путем

К результату мы придём.

1. Доказательство теоремы Пифагора, которое основано на равновеликости фигур, из которых они состоят. Это доказательство считается одним из самых простых из-за своей наглядности.

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов катетов, построенных на его катетах.

Рис. 1

2. Аддитивные доказательства - это доказательства, которые основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе. Рис 2

Доказательство Эпштейна

Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; С∈EF; PO||EF; MN||EF; CD⊥EF.

Доказать: квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах

Рис 2

Доказательство:

1. Треугольники 1 совпадают при повороте друг друга на 90° ⇒ они равны.

2. Треугольники 2 совпадают при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе, т.е. они тоже равны.

3. При параллельных переносах и поворотах совпадают и все остальные треугольники, т.е. они тоже равны между собой.

4. Из всего этого следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах.

Теорема доказана.

3. Доказательства методом построения

Доказательство Гофмана

Дано: прямоугольный треугольник АВС.

Доказать: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Рис 3

Доказательство

Построим треугольник ABC с прямым углом С; рис 3

Построим BF=CB, BF^CB; построим BE=AB, BE^AB;

Построим AD=AC, AD^AC; точки F, C, D принадлежат одной прямой.

Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF= ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики.

Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим: 1/2а²+1/2b ²=1/2 с ²
Соответственно: 1/2 (а²+b ²)=1/2 с ²; а²+ b ² = с ².

Теорема доказана.

1. Занимательные задачи по теореме Пифагора

   1. Древнеиндийская задача

Над озером тихим

С полфута размером

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко,

И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его

Ранней весною

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

"Как озера вода здесь глубока?"

Какова глубина в современных единицах
длины (1 фут приближённо равен 0,3 м)?

Решение.

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB² - AC² = BC²,

(Х + 0,5)² - Х² = 2² ,

Х² + Х + 0,25 - Х² = 4,

Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера

составляет 3,75 фута.

3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

2. Пифагоровы тройки

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) - проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение а²+b²=c².

Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения - тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (а²+b²=c²)- называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами а, b и целочисленной гипотенузой c.

Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые я перечислю без доказательств:

• Один из «катетов» должен быть кратным трём.

• Один из «катетов» должен быть кратным четырём.

• Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (а²+b²=c²) в натуральных числах был поставлен и решён только пифагорейцами. Общая постановка, какой бы то ни было математической задачи, была чужда как древним египтянам, так и древним вавилонянам. Только с Пифагора начинается становление математики как дедуктивной науки, и одним из первых шагов на этом пути было решение задачи о пифагоровых тройках. Первые решения уравнения (а²+b²=c²) античная традиция связывает с именами Пифагора и Платона. Древневавилонский клинописный текст (Приложеие 1), содержащий 15 наборов пифагоровых троек, среди которых (четвёртая строка) есть тройка

12709, 13500, 18541: 12709² + 13500² = 18541².

3. Заключение

Тема моего исследования - Великий Пифагор.

В ходе исследования я нашла подтверждения этому.

Имя Пифагора связано не только со знаменитой теоремой. Пифагор был не только математик, но и философ, литератор. О жизни и творчестве Пифагора сложено много легенд. Сам

Я узнала, что способов доказательств теоремы Пифагора огромное количество. Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса как теорема с наибольшим количеством доказательств. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота - красота - значимость. Существуют несколько способов доказательств теоремы.

1. Способ доказательства, основанный на свойстве равновеликих фигур

2. Аддитивное доказательство

3. Метод построения

4. Алгебраический способ

Существуют числа, называемые «пифагоровы тройки».Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел): решить в натуральных числах неопределенное уравнение а²+b²=c².

Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения - тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (а²+b²=c²)- называются пифагоровыми тройками. Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей:

• Один из «катетов» должен быть кратным трём.

• Один из «катетов» должен быть кратным четырём.

• Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

Теорему Пифагора мы применяем не только на уроках геометрии, но и в строительстве, архитектуре, мобильной связи. Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Например: в физике, астрономии и в других.

Менее чем через 100 лет после смерти Пифагора) произошло невиданное событие: в Абдерах были выпущены монеты с изображением Пифагора и подписью. Это первое на греческих монетах подписанное изображение человека. И таким человеком оказался не царь, не тиран, не полководец, а мудрец! В честь Пифагора назван кратер на Луне.

Все эти выводы подтверждают, что Пифагор - великий во всех смыслах этого слова.

Ссылки

1. Геродот, 4.95

2. Павсаний, «Описание Эллады», 2.13

3. Порфирий, «Жизнь Пифагора»

4. Ф. Шлоссер, «Всемирная история», т.1

5. Диоген Лаэртский, VIII.6

6. Диоген Лаэртский; Порфирий; Афиней (418f); Плутарх (сборник

«Moralia», 1094b)

7. Ямвлих, «Об общей математической науке», 76.19 ff

8. Плутарх, «О счастье или доблести Александра»; Иосиф Флавий, « Против

Апиона», I.163; Гален, «О взглядах Гиппократа и Платона»

9. В.Литцман. «Теорема Пифагора», §1.

Библиографический список

Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа. - М.: Наука, 1990. - ISBN 5-02-027292-2

Жмудь Л. Я. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. - СПб., 1994. - 376 с. - ISBN 5-86050-066-1

Фрагменты ранних греческих философов. Часть 1: От эпических космогоний до возникновения атомистики, Изд. А. В. Лебедев. - М.: Наука, 1989. - с. 138-149.

Леонтьев А. В. Традиция о Пифагоре у Аристоксена и Дикеарха // Человек. Природа. Общество. Актуальные проблемы. Материалы 11-й международной конференции молодых ученых 27-30 декабря 2000 г. - Издательство Санкт-Петербургского университета. 2000. - С. 298-301.

Леонтьев А. В. К вопросу об образе Пифагора в античной традиции VI-Vвеков до н. э. // Мнемон. Исследования и публикации по истории античного мира. Под редакцией профессора Э. Д. Фролова. - Выпуск 3. - Санкт-Петербург, 2004.

Панченко Д. В. Парадокс Пифагора // Индоевропейское языкознание и классическая филология - XII: Материалы чтений, посвященных памяти проф. И. М. Тронского 23-25 июня 2008 г. С. 355-363.

Сигачёв А. А. Пифагор (научно-популярный очерк) // Электронный журнал «Знание. Понимание. Умение». - 2010. - № 6 - История.

В.Литцман. Теорема Пифагора - государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1960, с.7-16