Урок по математике Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств (10 класс)

МОУ «Соловьихинская средняя общеобразовательная школа»

Алгебра 10 класс

Учитель математики:

Шлыкова Л.А.

Цель урока: рассмотреть общий вид решений простейших тригонометрических уравнений.

Ход урока:

1. Орг. момент

Тема и цель урока

2. Повторение и закрепление пройденного материала.

1. Разбор дом. задания и решение нерешенных заданий

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа)

____________________________________________________________________

Вариант 1.

1. Дать определение и перечислить свойства арксинуса.

2. Вычислить:

а) arcsin( - 1) + arcsin; б) arccos + arcsin;

в) arctg( - 1) - arccos; г) cos(arccos + arccos).

________________________________________________________________________

Вариант - 2.

1. Дать определение и перечислить свойства арккосинуса.

2. Вычислить:

а) arcsin - arcsin 1; б) arcos ( - 1) + arctg;

в) arcsin + arcsin( - ); г) sin(arccos + arcsin)

3. Изучение нового материала (лекция с применением м/м)

Для решения любого тригонометрического уравнения его надо свести к одному из четырех простейших. Простейшими тригонометрическими уравнениями являются cos x = a, sin x = a, tg x = a,ctg x = a. Рассмотрим их решения.

cos x = a

x = ± arccos a + 2n, где nZ.

Функция соs х принимает значения из промежутка . Количество решений уравнения соs х =а зависит от значения числа а. Если а, то уравнение не имеет решений.

Если а, на промежутке функция соs х убывает и принимает все значения от - 1 до 1. Поэтому по теореме о корне на этом промежутке уравнение соs х = а имеет единственное решение х₁ = arccos a. Так как функция соs х четная, то на отрезке данное уравнение также имеет единственное решение х₂ = - х₁ = - arccos a. Итак, уравнение

cos x = a на промежутке имеет два решения

x = ± arccos a. Учитывая, что период косинуса равен 2π, то получаем формулу для записи всех решений данного уравнения:

x = ± arccos a + 2n, где nZ.

в частных случаях а = ± 1; а = 0 проще и удобнее использовать не общую формулу, а записывать решения на основании единичной окружности: cos x = 1, x = 2πk;

cos x = - 1, x = π + 2πk;

cos x = 0, x = + πk, kZ

Например: решим уравнение cos х = - .

Используя приведенную формулу, запишем

x = ± arccos ( - ) + 2n, где nZ.

x = ± + 2n, где nZ.

sin x = a

x = ( - 1)^karcsin a + k, где kZ.

очевидно, что при а >1 такое уравнение решений не имеет, так как функция синус ограничена и ≤ 1. На отрезке функция sin x возрастает и принимает все значения от - 1 до 1. Тогда по теореме о корне на этом промежутке при ≤1 уравнение sin x = а имеет единственное решение х₁ = arcsin a. На отрезке функция sin x убывает и также принимает все значения от - 1 до 1. Поэтому и на этом промежутке при ≤1 уравнение sin x = а тоже имеет единственное решение х₂ =  - х₁ =  - arcsin a. Действительно, sin x₂ = sin( - x₁) = sin x₁ = a. Кроме того, поскольку , то есть х₂ принадлежит отрезку .

Учитывая, что период синуса равен 2, получаем две формулы для записи всех решений данного уравнения х = arcsin a + 2n и

x =  - arcsin a + 2n, где nєZ. Такие решения удобно описывать не двумя, а одной формулой :

x = ( - 1)^karcsin a + k, где kZ.

действительно, при четных k = 2n из этой формулы получаем все решения, описываемые первой формулой; при нечетных k = 2n + 1 - решения, записываемые второй формулой.

Заметим, что в частных случаях а=0; ± 1 проще и удобнее использовать не общую формулу, а записывать решения на основании единичной окружности:

Для уравнения sin x = 1 решения x =

Для уравнения sin x = 0 решения

Для уравнения sin x = - 1 решения x = , kєZ

Пример 2:

Решим уравнение sin x = .

По приведенной формуле запишем решения уравнения

x = ( - 1)^karcsin () + k, kєZ

x = ( - 1)^k+ k, kєZ

x = ( - 1)^k+1+ k, kєZ

tg x = a

x = arctg a + k, kєZ

на отрезке функция tg x возрастает и принимает все значения от - ∞ до ∞. Тогда по теореме о корне при любом значении а на этом промежутке уравнение tg x = а имеет единственное решение, равное х = arctg a. Так как функция тангенс имеет период , то получаем формулу для всех решений данного уравнения:

x = arctg a + k, kєZ

Пример 3. Решим уравнение 3 tg x =

Запишем уравнение в виде tg x = или tg x = . Используя приведенную формулу, выпишем решения уравнения

х = arctg + k, kєZ

x = + k, kєZ

4. Закрепление

№№ 136(а,г) 137(в) 139(б) 140(а) 145 (а,б)

5. Контрольные вопросы:

Выпишите решения простейших тригонометрических уравнений.

6. Домашнее задание:

№№ 136(в) 137(г) 139(в) 141(г) 146(а)

7. Творческое задание

sin (2x + ) = ; cos (3x - ) = .

____________________________________________________________________

Вариант 1.

1. Дать определение и перечислить свойства арксинуса.

2. Вычислить:

а) arcsin( - 1) + arcsin; б) arccos + arcsin;

в) arctg( - 1) - arccos; г) cos(arccos + arccos).

________________________________________________________________________

Вариант - 2.

1. Дать определение и перечислить свойства арккосинуса.

2. Вычислить:

а) arcsin - arcsin 1; б) arcos ( - 1) + arctg;

в) arcsin + arcsin( - ); г) sin(arccos + arcsin)

________________________________________________________________________