ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА

УРОК В 11 КЛАССЕ

ТЕМА: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА

ЦЕЛЬ: формировать умения исследования функции с помощью производной и строить ее график, развивать навыки самоконтроля знаний с компьютерной поддержкой, воспитывать умение работать в коллективе, познавательный интерес.

ТИП УРОКА: УСВОЕНИЕ НОВЫХ ЗНАНИЙ

ВИД УРОКА: урок с использованием информационных технологий.

ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И ОБОРУДОВАНИЕ: задания для самостоятельной работы, технологические карточки, электронные тесты, бланки самооценивания, компьютер, мультимедийное устройство.

ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ: УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ТЕСТОВЫЙ КОМПЛЕКС, ПОГРАММА «GRAN2D»

ХОД УРОКА

1. Организационный этап

Учитель: Начинаем наш урок. Сегодня я хочу дать вам возможность оценить свои знания самостоятельно. У каждого на рабочем месте бланк самооценивания, который вы должны заполнять на протяжении всего урока.

Бланк самооценивания

Фамилия, имя ученика___________________________________________________________

тест

Устные ответы

Самостоятельная работа

Работа в группе

Наибольшее число баллов

5 балла

2 балла

4 балла

3 балла

1 балл

Количество баллов

2. Проверка домашнего задания.

Проверка домашнего задания проводится с помощью мультимедийного устройства. На экране - правильный вариант решения задания, которое учащиеся решали дома.

слайд 1

1. Найдите промежутки возрастания и точки экстремумов функции

f(x) = 3x⁴ - 8x³+ 6x² - 9.

Решение :

Имеем: f'(x)=12x³ - 24x²+12x=12x(x - 1)²

Методом интервалов исследуем знак производной в окрестностях критических точек х₁ = 0, х₂=1.

Выясняем, что при х<0, f'(x)<0, т.е. на заданном промежутке функция убывает; при х≥0 f'(x)≥0, то есть на этом промежутке функция возрастает. х=0 - точка минимума.

2. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f(x) = x³ - 3x² - 45 x +2 на промежутке [ - 2;6]

Решение:

Найдем критические точки функции

f'(x) = 3x² - 6x - 45, 3x² - 6x - 45=0; x² - 2x - 15 = 0; x₁=5; x₂= - 3.

Итак, функция имеет две критические точки, промежутку [ - 2; 6] принадлежит точка х=5.

Имеем: f(-2)=72, f(5)= - 173, f(6)= - 160. Итак, max_{[ - 2$ 6]}f(-2)=72;

min_{[ - 2;6]} f(x)=f(5)= - 173

3. Актуализация опорных знаний. Подготовка к восприятию новой темы.

Учащиеся предварительно объеденены в две группы. Ученики первой группы садятся за компьютер и работают с электронными тестами. Учащиеся второй группы работают с учителем. Через 5 минут группы меняются местами. После окончания каждого этапа работы, ученики оценивают свою деятельность в бланке самооценивания.

Тестовые задания

вариант 1

1. Найдите область определения функции у=.

А) R; Б) [2;∞); В) (2; ∞); Г) ( - ∞; 2).

2. Какая из приведенных функций четная?

А) у=х²+х+3; Б)у=соs2х; В) у= х⁴+х²+5; Г) у=х³ + х.

3. Какая из приведенных функций нечетная?

А) у= х²+х+3; Б) у= cos 2x; B) y=x⁴+x²+5; Г) у= х³+х.

4. Найти критические точки функции у= 2х² - 4х.

А) 0; Б) 1; В) - 2; Г) 3.

5. Найдите промежутки возрастания функции у= х³ - 3х.

А) ( - ∞; - 1)U(1; +∞); Б) (-1;1); В) ( - ∞; - 1) Г) ( - ∞; - 1) и (1; +∞).

6. Найти точки экстремума функции f(x) = 2x² - x⁴.

A) x_min = -1; x_max=0; x_min=1; Б) x_min = 0; x_max=-1`; x_max=1; B) x_min = 0; x_max=1; Г) x_min = 1; x_max=0;

вариант 2

1. Найдите область определения функции у=

А) R; Б) ( - ∞; 2)U(2; ∞); В) ( - ∞; 2) ; Г) (2; ∞).

2. Какая из приведенных функций четная?

А) у=х³ + 2.; Б) у=х²+х³; В) у=sinх; Г) у= х⁴+х².

3. Какая из приведенных функций нечетная?

А) у=х³ + 2.; Б) у=х²+х³; В) у=sinх; Г) у= х⁴+х².

4. Найти критические точки функции у= 4х² - 16х.

А) 0; Б) 1; В) - 2; Г) 2.

5. Найдите промежутки возрастания функции у= х³ - 3х.

А) ( - ∞; - 1)U(1; +∞); Б) (-1;1); В) ( - ∞; - 1) Г) (1; +∞).

6. Найти точки экстремума функции f(x) = - x⁴+ 8x² - 5

A) x_min = 0; x_max=11; Б) x_min = 11; x_max=-1`; x_max=0; B) x_min = 0; x_max=-2; x_max=2; Г) x_min = 2; x_max=0; x_min = 2

Вопросы для устного опроса первой группы.

1. Что такое область определения функции?

2. Как найти координаты точек пересечения графика функции с координатными осями?

3. Какую функцию называют четной? Приведите пример.

4. Какую функцию называют нечетной? Приведите пример.

5. Какую функцию называют периодической? Приведите пример.

6. Как найти критические точки функции?

7. Что такое промежутки монотонности функции?

8. Какую точку называют точкой максимума?

9. Какую точку называют точкой минимума?

Вопросы для устного опроса второй группы.

1. Как найти область определения функции?

2. Как найти нули функции?

3. Как можно определить четность функции? Что можно сказать о графике четной функции?

4. Как найти промежутки монотонности, используя производную?

5. Какую точку называют критической?

6. Как найти точки экстремума?

7. Каждая ли критическая точка является точкой экстремума?

8. Приведите пример периодической функции. Почему эта функция периодическая?

9. Приведите пример четной функции. Почему эта функция четная?

4. Сообщение темы урока. Целевая установка. Мотивация учебной деятельности.

Учитель. Мы вспомнили свойства функции и то как их определять. Все это нам нужно для того, чтобы научиться исследовать функцию, используя производную и строить ее график. На уроке мы будем учиться использовать свойства функций для их исследования и построения графиков.

(Ученики записывают тему урока).

5. Изучение нового материала

1. Работа в группах

Изучение нового материала происходит в группах. Каждая группа выбирает лидера и с помощью технологических карт составляет схему исследования функции.

слайд 2

Технологическая карта

1. Вспомните основные свойства функции. Какие точки являются «помощниками» построения графика функции?

2. Расположите основные свойства функции в виде алгоритма так, чтобы наиболее удобно можно было бы исследовать свойства любой функции.

Когда время, отведенное на выполнение задания , исчерпано, лидер каждой группы называет наработанную схему. Оптимальный вариант проектируем на доску.

слайд 3

Схема исследования функции

1. Найти область определения функции.

2. Определить четность и периодичность функции.

3. Найти координаты точек пересечения графика функции с координатными осями.

4. Найти критические точки функции. Найти асимптоты, если они существуют.

5. Найти промежутки монотонности функции.

6. Найти точки экстремума функции.

7. Если необходимо, найти координаты дополнительных точек.

8. Результаты данных занести в таблицу и построить график функции.

2.Коллективное решение упражнений.

Каждый этап решения учитель проектирует в виде слайдов и поясняет. Учащиеся записывают решение в тетради. Исследовать функцию f(x) = 3x² - x³ и постройте ее график.

слайд 4

1. Область определения D(f)=R, так как 3x² - x³ многочлен.

слайд 5

2. Определяем четность функции

f(x) = 3(-x)² - ( - x)³ = 3x² +x³ Функция не является ни четной, ни нечетной.

слайд 6

3. Координаты точек пересечения с координатными осями:

1. с осью Ох: у=0, 3x² - x³ =0, х=0 или х=3. А(0;0), В (3;0)

2. с осью Оу: х=0, у=0

слайд 7

4. Критические точки:

(3х² - х³)' = 6x - 3x² ,

6x - 3x²=0, 3x(2 - x) = 0,

x=0 или х = 2.

слайд 8

5. Промежутки монотонности

( - ∞; 0), ( 2; +∞) - функция убывает; (0;2) - функция возрастает

слайд 9

6. Результаты данных занести в таблицу.

х

( - ∞;0)

0

(0;2)

2

(2; +∞)

f'(x)

-

0

+

0

-

f(x)

0

4

min

max

слайд 10

7. График функции

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

ФИО_______________________________________________

Вариант 1

Исследовать функцию

f(x) = 3x² - x³ - 2 (3 б)

или

f(x) = - 4x² (4б)

1. Область определения____________________________________

2. Четность функции:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Координаты точек пересечения с осями:

Ох:_________________________________________________________

Оу:_________________________________________________________

4. Критические точки:__________________________________________

____________________________________________________________

5. Заполните таблицу:

   Х

   
   

   f^'(x)

   
   

   f(x)

   
   

   
   

   
   

6. Постройте график

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

ФИО_______________________________________________

Вариант 2

Исследовать функцию

f(x) = 2x³ - 3х² + 5 (3 б)

или

f(x) = - 7 - (4б)

7. Область определения____________________________________

8. Четность функции:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. Координаты точек пересечения с осями:

Ох:_________________________________________________________

Оу:_________________________________________________________

10. Критические точки:__________________________________________

____________________________________________________________

11. Заполните таблицу:

    Х

    
    

    f^'(x)

    
    

    f(x)

    
    

    
    

    
    

12. Постройте график

После выполнения самостоятельной работы учащиеся заносят результаты своей работы на уроке в оценочный лист и сдает учителю, учитель после проверки самостоятельной работы оценивает каждого учащегося.

После выполнения самостоятельной работы учитель дает домашнее задание

1. Исследуйте функцию и постройте ее график:

1)

2)

2. Исследуйте функцию на монотонность:

1)

2)

Фамилия, имя ученика___________________________________________________________

тест

Устные ответы

Самостоятельная работа

Работа в группе

Наибольшее число баллов

5 балла

2 балла

4 балла

3 балла

1 балл

Количество баллов

Фамилия, имя ученика___________________________________________________________

тест

Устные ответы

Самостоятельная работа

Работа в группе

Наибольшее число баллов

5 балла

2 балла

4 балла

3 балла

1 балл

Количество баллов

Фамилия, имя ученика___________________________________________________________

тест

Устные ответы

Самостоятельная работа

Работа в группе

Наибольшее число баллов

5 балла

2 балла

4 балла

3 балла

1 балл

Количество баллов

Фамилия, имя ученика___________________________________________________________

тест

Устные ответы

Самостоятельная работа

Работа в группе

Наибольшее число баллов

5 балла

2 балла

4 балла

3 балла

1 балл

Количество баллов