Параметр в квадратном уравнении

Решение квадратных уравнений с параметрами

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение - параметрическим.

Научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы, нельзя. Надо использовать соображения, рассматривать их как задачи исследовательские.

Уравнение вида ах² + bх + с = 0, а ≠ 0, где коэффициенты а, b, с - любые действительные числа, назы­вается квадратным.

Выражение b² - 4ас называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действитель­ных корней.

Если D= 0, то квадратное уравнение имеет единственный действительный корень (или говорят, что это уравнение имеет два кратных корня ).

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня .

Теорема Виета. Если х₁, х₂ - корни квадратного уравнения ах + bх + с = 0,

а ≠ 0, то сумма корней равна , а их произведение равно .

Обратное утверждение: Если числа х₁, х₂ таковы, что

, , то эти числа - корни уравнения ах² + bх + с = 0, а ≠ 0.

Значения параметра, при которых или при переходе через которые происходит качест­венное изменение уравнения, можно назвать контрольными или особыми. Очень важно уметь нахо­дить их.

При решении квадратного уравнения с параметрами кон­трольными будут те значения параметра, при которых коэффи­циент при х² обращается в нуль.

Если этот коэффи­циент равен нулю, то уравнение превращается в линейное;

если же этот коэффи­циент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение (в этом и состоит качественное изменение уравнения).

Понятие квадратного трехчлена и его свойства.

Квадратным трехчленом называется выражение вида ax²+bx+c, где a≠0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола.

При a<0 ветви параболы направлены вниз; при a>0 ветви направлены вверх.

Выражение x²+px+q называется приведенным квадратным трехчленом.

В зависимости от величины дискриминанта D=b²- 4ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:

при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);

при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);

при D<0 точек пересечения с осью Ох нет (и корней трехчлена нет).

В последнем случае при а>0 парабола лежит целиком выше оси Ох,

при а<0- целиком ниже оси Ох

«Белое пятнышко» в теме «Квадратный трёхчлен и квадратичная функция» может привести к появлению «мёртвых зон» и провалов в наших знаниях элементарной математики. Кстати, преподаватели мехмата МГУ О. Черкасова и А. Якушева утверждают: « Во многих так называемых задачах повышенной сложности «торчат уши квадратного трехчлена».

. Расположение параболы по отношению к оси абсцисс

в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.

a > 0

a < 0

D > 0

D = 0

D < 0

Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений:

D=b²-4ac>0; x1•x2=c/a>0. При этом оба корня будут положительны, если выполняется условие : x1+x2= -b/a>0 ,

а оба корня будут отрицательны, если x1+x2= -b/a<0.

Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения x1•x2=c/a<0.

В данном случае нет необходимости проверять знак дискриминанта, поскольку при выполнении условия c/a<0 будет выполняться и условие c•a<0, а это значит, что дискриминант D=b²-4ac>0.

Расположение корней квадратного трехчлена

Рассмотрим теперь особенности расположения корней квадратного трехчлена с заданными свойствами на координатной плоскости.

Решение задач, для которых характерны следующие формулировки : при каких значениях параметра корни ( только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа р; корни расположены между числами p и q и т.д.; опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции.

При решении многих задач требуется знание следующих теорем и следствий.

Пусть f(х) = ах² + bx + с имеет действительные корни х₁, х₂ (которые могут быть кратными), а М, N - какие-нибудь действи­тельные числа, причем М < N. Тогда:

Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М (то есть лежали на числовой оси ле­вее, чем точка М), необходимо и достаточно выполнение сле­дующих условий:

или

Теорема 2. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, а другой больше, чем М (то есть точка М лежала бы между корнями), необходимо и дос­таточно выполнение следующих условий:

или

Эти две системы можно заменить формулой .

Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М (то есть лежали на числовой оси правее, чем точка М), необходимо и дос­таточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 1. Для того , чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М, но меньше, чем число N (то есть лежали в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 2. Для того чтобы больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 3. Для того чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Следствие 4. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, но меньше, а другой больше, чем число N (то есть отрезок МN лежал внутри интервала между корнями), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

Акцентировать внимание надо на то, что здесь контрольными являются: направление ветвей параболы, знаки значений f(M), f(N), расположение вершины параболы..

Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение х²+2∙(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?

Решение. Так как по условию корни различны, то D>0. Воспользуемся теоремой 1(о знаках корней квадратного трехчлена). Составим систему :

D= (a+1)²- 9 >0, (a-2)∙(a+4)>0,

x₁∙x₂=9>0, <=> a< -1.

-2∙(a+1)>0.

Решив последнюю систему, получим , что -∞<a< -4 . Ответ:- ∞<a< -4 .

Задача 2. При каких значениях параметра а уравнение х²-4х + (4-а²)=0

имеет два корня разных знаков?

Решение. Воспользуемся теоремой 2 ( о знаках корней квадратного трехчлена). Запишем условие:

4-а² <0 а² > 4 │а│> 2 => а< -2 и а> 2. Ответ: а<-2 и а>2 .

Задача 3. При каких значениях параметра а уравнение х² - 2ах + а² - а- 6 =0 имеет два разных отрицательных корня?

Решение. Воспользуемся теоремой 1 (о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем систему :

D>0 , а+6>0,

x₀<0 , a<0,

f(0)>0 ; a²-a-6>0.

Решив последнюю систему, получим -6<a<-2 . Ответ : -6<a<-2.

Задача 4. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения х² + (4а+5)∙х + 3-2а =0.

Решение. Пусть х₁ и х₂ корни квадратного трехчлена, причем х₁<2<х₂. Воспользуемся теоремой 2 (о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем систему :

D= 16a² +48a +13 >0,

F(2)= 2² + (4a+5)∙2 +3- 2a<0. Решив систему, получим

17+6а<0 или а < -17/6 . Ответ: а< -17/ 6.

Задача 5. При каких значениях параметра а корни уравнения

4х² - 2х + а =0 находятся между числами -1 и 1?

Решение. Так как корни находятся между числами -1 и 1,

То -1<х₁<1 и -1<х₂<1. Воспользуемся

Следствием 1 и составим систему :

-1< х₀= 2/4< 1, 6 + а >0 ,

4∙(4+2+а)>0, => 2 + а >0 ,

4∙(4 -2+а)>0, 4 - 16а>0;

D=(-2)² - 4∙4а >0;

Решив систему, получим -2< а < ¼. Ответ: -2< а < ¼.

Теорема Виета и задачи с параметрами.

Задача 6 . При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения равна ?

Решение. Найдем дискриминант . Уравнение имеет два корня при любом a. Используя теорему Виета, найдем

+ =(+)²-2=(3a)²-2a²

Поскольку , то , a=0,5; -0,5. Ответ: a=0,5; -0,5.

Задача7 . При каком значении m сумма квадратов корней уравнения

х² + (2 - m)x - m - 3 = 0 минимальна?

Решение: Найдём х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² - 2х₁х₂ = (m - 2)² - 2(-m - 3) = m² - 4m + 4 + 2m + 6 = m² - 2m +10 = m² - 2m + 1 + 9. Наименьшее значение трёхчлена m² - 2m +10 достигается при m =1. Ответ: 1

Задача 8. Найти все значения параметра а, при которых модуль разности корней уравнения x² -6x+12+a² -4a =0принимает наибольшее значение.

Решение: Пусть

,-корни уравнения, тогда |-|

-расстояние между корнями, и оно, по условию, должно быть наибольшим.

Уравнение запишем в виде: -6x+12=-a²+4a

и решим его графически.

у=x²-6x+12

,

D=36-48=-12<0

=3, y_в =3

-прямая, параллельная оси ОХ.

Чем выше она пройдет, тем больше расстояние между корнями ,т.е. надо узнать, при каком значении а функция у=y(a)=a²+4a

принимает наибольшее значение .

Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.

Функция достигает наибольшего значения при =2.

.

.

Ответ: 2.

Графический способ определения числа корней уравнения с параметром.

Рациональность любого верного решения опирается на условия задачи и напрямую зависит от них. Иногда графический метод помогает быстрее и удобнее решить задачу.

Остановимся на нахождении числа решений уравнений с параметрами, в которых под знаком модуля находится квадратный трёхчлен.

Задача 9. Найдите число решений уравнения

.

Решение: Построим график функции - 2x - 3 | .

Выделим полный квадрат:

(1; -4) -координаты вершины параболы

Уравнение = a имеет столько решений, сколько

раз прямая у = а пересекает график функции

если , то графики не имеют общих точек, т.е. нет решения;

если , то графики имеют две общие точки , т.е. два решения;

если , то графики имеют четыре общие точки - четыре решения;

если , то графики имеют три общие точки , т.е. три решения;

если , то графики имеют две общие точки , т.е. два решения.

у

y = a (

4 y = a (

y = a (

х

y = a (

y = a (

Задача 10. Для каждого значения параметра а определите число решений

уравнения .

Решение: Здесь в отличие от предыдущего уравнения параметр а входит в выражение, как стоящее под знаком модуля, так и находящееся вне его. Преобразуем левую часть данного уравнения:

.

Строим схематически график левой части данного уравнения с учётом того, что дискриминант квадратного трёхчлена всегда положителен: .

Проводим горизонтальные прямые - графики функции у = а + 3

При различных значениях параметра а.

Если , т.е. , то графики и

не пересекаются, и значит, нет решений.

Если а + 3 = 0, т.е. а = -3, то графики пересекаются в двух точках

-уравнение имеет два решения.

Если , то графики имеют четыре общие точки ,

а уравнение - четыре решения.

Найдём, при каких значениях а уравнение будет иметь четыре решения. Для этого решим двойное неравенство

, или

Значит, при и уравнение имеет четыре решения. Если = -1 и а = 2, то графики имеют три

Общие точки . Значит, уравнение имеет три решения.

Если же то графики пересекаются в двух точках , т.е. уравнение имеет два решения.

у

y = a+3

y = a+3 (

y = a + 3 (

х

Графический метод не дает в большинстве случаев точного решения уравнения, однако, часто оказывается более эффективным, чем аналитический, т.к. он может быть полезен для наглядной иллюстрации

рассуждений. Но не стоит забывать о его «подводных рифах», так как иногда не все решения можно увидеть . В силу ограниченности наших графических возможностей абсолютно точный график в принципе построить нельзя, поэтому слепо доверять рисунку может быть просто опасно. Более того, часто случается, что при решении задач подобным способом не обойтись без аналитических формул и вычислений.

Список литературы

1. Амелькин В.В.

Задачи с параметрами - М.: Асар, 1996.

2. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С.

Задачи с параметрами. - М.: Илекса, 2005.

3. Дорофеев Г.В.

Решение задач, содержащих параметр

4 .Локоть В.В.

«Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства и системы» Учебное пособие М. АРКТИ, 2005(Абитуриент);

5. Цыганов Ш.

Десять правил расположения корней квад­ратного трехчлена

Математика. - 2002. №18.-с. 19-23.

6. Цыганов Ш.

Квадратные трехчлены и параметры

Математика. - 1999. №5. -с. 4-9.

7. С.В. Кравцев, Ю.Н. Макаров

Методы решения задач по алгебре от простых до самых сложных.