Урок по математике на тему: Комплексные числа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГУБЕРНСКИЙ КОЛЛЕДЖ »

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«МАТЕМАТИКА»

ТЕМА: «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА - РАСШИРЕННОЕ ПОНЯТИЕ ЧИСЛА».

Для специальностей:

«Экономика и бухгалтерский учет» (по отраслям), «Программирование в компьютерных системах» среднего профессионального образования

( на базе основной общеобразовательной школы)

Нижний Новгород

2014

Одобрена МК математических и Составлена в соответствии с

естественнонаучных дисциплин рабочей программой

Председатель:_______________ дисциплины «Математика»

Н.Н. Борышнева

Составитель: ______________Н.П. Боброва

преродаватель ГБПОУ «НГКа»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение_______________________________________________ 4

Понятие о комплексных числах____________________________6

Действия с комплексными числами_________________________ 9

Решение квадратных уравнений____________________________ 12

Решение уравнений в комплексной форме____________________13

Геометрическая интерпретация комплексного числа___________ 14

Работа по группам________________________________________16

Заключение______________________________________________17

Презентация_____________________________________________ 19

ВВЕДЕНИЕ

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 - 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Цель методической разработки - знакомство с историей появления комплексных чисел, с действиями с комплексными числами, решением уравнений с комплексным переменным.

Методическая разработка «Комплексные числа - расширенное понятие числа» соответствует государственным требованиям к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальностям гуманитарного и технического профиля, изучающих математику в объеме 290 часов на базе общеобразовательной школы.

Тема метод. разработки соответствует рабочей программе по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса и состоит из теоретического материала и упражнений, выполняемых студентами с помощью преподавателя и самостоятельно, закрепляющих изученный материал.

В работе раскрываются основные теоретические вопросы, которые студент должен изучить и понять за два занятия (4 часа), правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, их геометрическую интерпретацию; практические задания, которые студенты выполняют как с помощью преподавателя, так и самостоятельно индивидуально и в группах.

В результате изучения данной темы студент должен:

знать:

определение комплексного числа, заданного в алгебраической форме, его геометрический смысл;

правила действий над комплексными числами, заданными в алгебраической форме;

уметь:

производить действия над комплексными числами и изображать их в геометрической форме;

решать квадратные уравнения с мнимыми корнями и уравнения в комплексной форме.

ПОНЯТИЕ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение х+а = в имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль

Древнегреческие математики считали, что а = с и в = а только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за 2 века до нашей эры. Отрицательные числа применял в 3 веке нашей эры древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в 7 веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в 8 веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы В 16 веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения , а если оно имело 3 действительных корня (например, ),то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда х = 5 , у = 5 , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что = -а. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в котором были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777г. один из крупнейших математиков VIII века Х. Эйлер предложил использовать первую букву французского числа i = (мнимой единицы), этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831г).

В течениe 17 века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже 17-18 веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце 18 века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течение 18 века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце 18- начале 19 веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г.Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z = a+bi точкой М(а,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат ( радиус-вектором). При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

• Комплексными числами называют выражения вида: a + bi, где а и b - действительные числа, а i - мнимая единица, такая, что , а - действительная часть к. ч., b - мнимая часть к. ч.

Решение квадратного уравнения, например, х - 8х + 25 = 0, можно записать следующим образом: х = 4 +3i ; х = 4 -3i ().

Заметим, что для строгого определения к.ч. надо для этих чисел ввести понятие равенства и операций сложения и умножения.

Два к.ч. a + bi и c + di называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т.е. а = с и b = d.

Например,

Устно: Назвать действительную и мнимую часть к.ч.

1) 6 + 5i; 2) 0,5 + 0,3i; 3) √2 - √3i; 4) 1/5 - 1/7i; 5) -1/4 + √5i; 6) -П - 6i.

Задания студенты выполняют самостоятельно, решения записываются ими на доске:

I. Записать к.ч., у которого действительная и мнимая части равны

соответственно:

1. 3 и 4; 2) -0,5 и 3; 3)

II. Указать, какие из данных к. ч. равны:

1)

III. Найти знач. х, при котором действ. часть к. ч. равна 0:

1) (x+3)+4i; 2) (x-5)+2i; 3) (2x+4)+i; 4) (3x-9)+5i

IV. Найти знач. х, при котором мнимая часть к. ч. равна 0:

1. 2+(x-2)i; 2) -4+(x+3)I; 3) -1+(2x-1)i; 4)1+(3x+1)i.

V. Найти действительные числа х и у, если:

1) 6x+3yi=4+2i; 2) x-3yi=-5-√2i; 3) x-(4-y)i=-1/2+3/2i; 4) x-(x+y)i=3+2i;

Над к.ч. производятся такие же действия, как и над действительными числами.

Действия сложения и умножения над к.ч. производятся так же, как и над многочленами:

• Суммой двух комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексное число(a+c)+(b+d)i, т.е. (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (1)

I. Найти сумму к.ч.:

1) (3+i )+ (2+3i); Решение: (3+i)+(2+3i)=(3+2)+(i+3i)=5+4i;

2) (3-5i)+(2+i); 3) (1+3i)+(-3+i); 4) (-4+3i)+(4-3i);

5) (1+i)+(-1-i); 6) (1/2-1/3i)+(1/2-2/3i); 7) (-1,2-1/5i)+(-2,8-3/5i).

Решения на доске выполняют студенты.

• Произведением двух комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексное число (ас-bd)+(ad+bc)i, т.е.

( a+bi) ( c+di)= (ас-bd)+(ad+bc)i. (2)

II. Найти произведение к.ч.:

1) (3+i)(2+3i); Решение: (3+i)(2+3i)=6+9i+2i+=6+11i-3=3+11i;

2) (3-5i)(2+i); 3) (1+3i)(-3+i); 4) (-4+3i)(4-3i);

5) (1+i)(-1-i); 6) (1/2-1/3i)(1/2-2/3i); 7) (-1,2-1/5i)(-2.8-3/5i.).

Задания 1 и 2 на доске выполняет с объяснениями преподаватель, студенты записывают решение в тетрадях.

Рассматривая вычитание и деление к.ч. как действия, обратные соответственно сложению и умножению, получаем правила вычитания и деления к.ч.:

• Вычитание и деление комплексных чисел:

Числа z = a+bi и = a-bi называются сопряженными.

III. Найти разность к.ч.:

1) (2+3i) - (3+i); Решение: (2+3i) - (3+i)=(2-3)+(3i-i)=-1+2i ;

2) (3-5i) - (2+i); 3) (1+3i) - (-3+i); 4) (4+3i) - (4-3i);

5) (4+i) - (-5+i); 6) (7+2i) - (3+3i); 7) (√3+√2i) - (2√3 - 3√2i).

Самостоятельно, преподаватель - консультант.

IV. Найти частное двух к.ч.:

Задания 1 и 2 выполняет с объяснениями преподаватель на доске, студенты записывают решение в тетрадях.

1) Решение: умножаем числитель и знаменатель на число сопряженное знаменателю

V. Вычислите:

1)

1) Решение:

Задания выполняет преподаватель, студенты комментируют решение..

Решение квадратных уравнений:

Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z = a, если:

1) а = -1; 2) а = -25; 3) а = -3.

1) z= -1. Так как i = -1, то это уравнение можно записать в виде z = i , или z - i = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем: (z-i) (z+i) = 0, z = i, z = -i. Ответ: z = i.

2) z = -25. Учитывая, что i = -1, преобразуем это уравнение: z = (-1)25,

z =52 i, z- 52i = 0, (z-5i) (z+5i) = 0, откуда: z = 5i, z = -5i. Ответ: z = 5 i.

3) z = -3, z = 3 i, z -3 i= 0, (z - i) (z + i) = 0, z = i, z = - i. Ответ: z = i.

Вообще уравнение z = a, где а < 0 имеет два комплексных корня: z = i.

Задача 2. Решить квадратное уравнение: х - 8х + 25 = 0, , х = 4 +3i ; х = 4 -3i

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: х = 4 +3i и х = 4 -3i .

Найдем сумму и произведение этих корней: х+ х=8, х х=16 -9 i=16+9=25

Число 8 - это 2-й коэффициент уравнения, взятый с противоположным знаком, а число 25 - свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета.

Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корни z=-1-2i, z - является числом, сопряженным с первым корнем, то есть z= -1+2i. По теореме Виета находим

Р = -( z + z) = 2, q = zz= 5. Ответ: z-2z+5=0

Решение уравнений в комплексной форме:

1) z(2+i) = 3- i ; 2) z(1-2i) = 2+5i ; 3) z(1+i) - i = 4; 4) z(1-i) +3 =i.

1) Решение: z(2+i) = 3- i,

Уравнения решают студенты на доске и в тетрадях, преподаватель консультирует.

• Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой.

К.ч. a+bi можно рассматривать как пару действительных чисел

(а;b) . Поэтому естественно к.ч. изображать точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат.

К.ч. z = a+bi изображается точками плоскости с координатами (а;b),

и эта точка обозначается той же буквой z.

а

У

z=a+bi

.

0

Х

Такое соответствие между к.ч. и точками плоскости взаимно однозначно: каждому к.ч. a+bi соответствует одна точка плоскости с координатами (а;b) и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами (а;b) соответствует одно к.ч. a+bi .

Поэтому слова «к.ч.» и «точка плоскости» часто употребляются как синонимы.

При такой интерпретации действительные числа а, т.е. к.ч. a+0i изображаются точками с координатами (а; 0), т.е. точками оси абсцисс.

Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Чисто мнимые числа bi = 0+bi изображаются точками с координатами (0;b), т.е. точками оси ординат, которая называется мнимой осью.

При этом точка с координатами (0;b) обозначается bi. Например, точка (0;1) обозначается i , точка (0;-1) это точка -i.

Плоскость, на которой изображаются к.ч., называют комплексной плоскостью.

Отметим, что точки z и - z симметричны относительно точки О (начала координат), а точки симметричны относительно действительной оси.

Можно так же говорить о векторе , которому соответствует к.ч.

(а;b)= a+bi

Постройте прямоугольную систему координат с точками А, В, С, М, Т с доски. Найти координаты радиус-векторов и соответствующие им к.ч.

У

Х

О

1

2

3

4

11111

3

4

1

2

3

1

2

3

А

С

М

Т

В

2

Точка А соответствует радиус-вектору ОА (2; 3), к.ч. z =2 + 3i

Точка В соответствует радиус-вектору ОВ (2; -3), к.ч. z = 2 - 3i

Точка С соответствует радиус-вектору ОС (-2; -2), к.ч. z =-2-2i

Точка М соответствует радиус-вектору ОМ (1; -1), к.ч. z = 1 - i

Точка Т соответствует радиус-вектору ОТ (4; -3), к.ч. z = 4 - 3i

студенты выходят по одному.

Работа в группах по 6 человек, задания на 25 минут из учебника Ю. М.Колягина, стр.109

Гр.1: №259(1), 260(1), 261(5) Гр.3: №259(3), 260(3), 261(7)

Гр.2: №259(2), 260(2), 261(6) Гр.4: №259(4), 260(4), 261(8)

Всем группам составить по 3 к.ч. и им противоположные к.ч., изобразить их на комплексной плоскости.

Критерии оценивания работ как обычно:

а) верное решение; б) скорость; в) оформление общей работы и ее представление; г) дисциплина.

На дом может быть предложено: составить и изобразить 2 к.ч., им противоположные и обратные к.ч. Ю.М. Колягин с. 109, №260 (1-4); 264 (1-4).

Заключение.

Современный специалист, независимо от профессиональной области чтобы быть конкурентоспособным должен владеть достаточно большим объемом знаний и навыков, в том числе и математических.

Целью учебно-методической разработки «Комплексные числа - расширенное понятие числа» является получение более полного представления о числовом множестве.

В разработке предложен теоретический и практический материал. В теоретической части даны достаточно подробные сведения, необходимые для получения основных сведений об изучаемой теме и так же исторический материал. В практической части - задания, в которых приведены подробные инструкции по их выполнению, различные виды и формы самостоятельной и творческой работы как аудиторной, так и внеаудиторной.

Методическая разработка может быть рекомендована для обучения студентов специальностей: «Программное обеспечение в компьютерных сетях», «Экономика и бухгалтерский учёт» (повышенный уровень) при подготовке к экзаменам, разработке курсовых проектов, для самостоятельной работы студентов. Также рекомендуется преподавателям, ведущим дисциплину «Физика», а также дисциплину «Численные методы».

Литература

1. Н.В. Богомолов «Практические занятия по математике». - М., «Высшая школа», 2006г.

2. Ю.М. Колягин «Алгебра и начала анализа» учебник 11 кл. - М., «Мнемозина» 2009г.

3. Н.М. Матвеев «Курс математики для техникумов», ч. 1. - М., «Наука»

4. Рабочая программа, 2011

5. Энциклопедия «Математика». - М., «Энциклопедия», 2003г.

ПРЕЗЕНТАЦИЯ