Урок обобщения и систематизации знаний в 11 классе по теме: «Производная и ее применение»

Урок обобщения и систематизации знаний в 11 классе по теме: «Производная и ее применение».

Цели урока:

Образования:

• проверить умение дифференцировать функцию и исследовать ее с помощью производной;

• установить, могут ли учащиеся раскрыть структуру и содержание понятия геометрического смысла производной;

• установить, могут ли учащиеся данный аппарат применять в различных ситуациях

Развития:

• формировать и развивать умение планировать свою работу в парах;

• формировать мыслительные навыки: сравнение, анализ, аналогия, прогнозирование.

• развивать графическую культуру учащихся.

Воспитания:

• прививать культуру общения и сотрудничества.

• формировать умения излагать свои мысли устно и письменно;

Оборудование: презентация, карточки, оценочные листы, листы для самопроверки.

Оценочный лист учащегося

Фамилия______________________________________________

Имя_________________________________________________

Этап урока

Задания

Количество баллов

1

Проверка домашнего задания

2

«Мозговой штурм»

3

Тест 1: «Заполни пропуски»

4

Тест 2: «Задачи - картинки»

5

Конкурс: «Верно - неверно»

6

Конкурс: «Выбери сам»

Итоговое

количество баллов

Оценка

Критерии оценок:

«5» - 21-25 баллов

«4» - 18- 20 баллов

«3» - 12- 17 баллов

«2» - менее 12 баллов

Ход урока:

1этап. Проверка домашнего задания (5 минут). Ученики отвечают по готовым записям. На интерактивной доске заранее заготовлено домашнее задание. Работа ведется фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку (слайд с домашней работой маркером на интерактивной доске).Слайд №1 -тема урока; № 2 - задачи урока.

2 этап. Мозговой штурм (слайд, №3, №4, № 5).

№ 1. Найдите производные функций:

1. У (х)=3+7-2+

2. У (х)=

3. У (х)=+2х

4. У (х)=+1

5. У (х)=

№ 2. Из скольких непрерывных «кусков» состоят графики функций:

1. У (х) = 2. У (х) =

№ 3. На рисунке изображен график функции у = f(х), заданный на отрезке

Найдите: а) точки максимума и минимума

aghf

0ghf

x₁

x₂

x₃

x₄

x

y

y=f(x)

б) точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения на отрезке .

Ученикам, активно отвечающим, на вопросы устного счета учитель называет количество баллов, которые они могут поставить в оценочный лист.

3 этап. Тест №1 « Заполни пропуски».

(Заполните пропуски (многоточия), чтобы получилось верное утверждение или правильная формулировка определения или правила). Ученики работают самостоятельно, по вариантам, затем пары обмениваются вариантами и проводят взаимопроверку, сравнивая ответы с ответами на экране. За каждый правильный ответ ставится один балл.

Вариант 1. Фамилия, Имя____________________________

1. График четной функции симметричен относительно…

2. Функция возрастает на некотором промежутке, если f… во всех внутренних точках промежутка.

3. Точка х₀ называется точкой максимума функции f(х), если для всех х х₀ из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f…

4. Условие =0 является … условием экстремума дифференцируемой функции f(х).

5. Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке равно… к графику функции в данной точке.

Вариант 2. Фамилия, Имя____________________________

1. График нечетной функции симметричен относительно…

2. Функция убывает на некотором промежутке, если f… во всех внутренних точках промежутка.

3. Точка х₀ называется точкой минимума функции f(х), если для всех х х₀ из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f…

4. Для того чтобы точка х₀ была точкой экстремума функции f(х), необходимо, чтобы эта точка была… для данной функции.

5. Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности х₀ и дифференцируема в этой точке. Если х₀ - точка экстремума функции f(х), то …

Тест №1 « Заполни пропуски» (слайд №6, №7)

Вариант 1

1. График четной функции симметричен относительно оси ординат.

2. Функция возрастает на некотором промежутке, если fво всех внутренних точках промежутка.

3. Точка х₀ называется точкой максимума функции f(х), если для всех х х₀ из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f f(х₀)

4. Условие =0 является необходимым условием экстремума дифференцируемой функции f(х).

5. Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке.

Вариант 2

1.График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Функция убывает на некотором промежутке, если fво всех внутренних точках промежутка.

3. Точка х₀ называется точкой минимума функции f(х), если для всех х х₀ из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f f(х₀)

4. Для того чтобы точка х₀ была точкой экстремума функции f(х), необходимо, чтобы эта точка была критической для данной функции.

5. Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности х₀ и дифференцируема в этой точке. Если х₀ - точка экстремума функции f(х), то f

4 этап. Тест № 2. «Задачи - картинки». (Слайд №8-№11)

Задачи и ответы к двум из них заготовлены на карточках и на интерактивной доске. За каждый верный ответ учащиеся получают по одному баллу. Ответы пишутся на карточке, и сдаются учителю. После проведения теста сами учащиеся обсуждают ответы. Учитель ведет комментарий на интерактивной доске маркером.

Тест № 2. «Задачи - картинки». Фамилия, Имя _________________

Вариант II

Вариант I

№ 1. Какое значение принимает производная функции у = f(х) в точке А?№ 1. Какое значение принимает производная функции у = f(х) в точке А?

y=f(x)

1

х

у

0

A

1

х

у

0

A

y=f(x)

Ответ: 1. f'(x)=0;

2. f'(x)<0;

3. f'(x)>0.

Ответ: 1. f'(x)=0;

2. f'(x)<0;

3. f'(x)>0.

№2. Назовите промежутки возрастания функции

1

2

y=f(x)

х

у

0

3

4

-1

Ответ: 1. 0;

2. 0;

3. x<0; x>2.

№2. Назовите промежутки убывания функции

1

2

y=f(x)

х

у

0

3

4

-1

Ответ: 1. 0;

2. 0;

3. x<0; x>2.

№3 Функция y=f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображен ее график и касательная к этому графику в точке с абсциссой х₀=-2.

Вычислите значение производной в точке х₀=-2.

Ответ:___________________

№3 Функция y=f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображен ее график и касательная к этому графику в точке с абсциссой х₀=1.

Вычислите значение производной в точке х₀=1.

Ответ:_________________

№4 Функция y=f(x) определена на промежутке (-5;5). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку х₀, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее значение.

Ответ:____________________

№4 Функция y=f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку х₀, в которой функция y=f(x) принимает наименьшее значение.

Ответ:____________________

5 этап. Конкурс «Верно - неверно»

Каждому учащемуся выдается карточка, в которой рядом с номером ставится слово «да» или «нет». Каждый правильный ответ оценивается в один балл. После проведения конкурса фронтально обсуждаются ответы. При этом пары обмениваются вариантами и проводят взаимопроверку, сравнивая ответы с ответами на экране. Учитель комментирует ответы на экране. Слайды №12-№ 17

Вариант № 1. Фамилия, Имя _________________

№ 1. Верно ли, что производная суммы равна сумме производных?

№ 2. Верно ли, что если функция возрастает на интервалах (а;b) и (b;с), то она возрастает и на интервале (а; с)?

№ 3.Верно ли, что график убывающей функции пересекает прямую у = х в нескольких точках?

№ 4. Может ли функция, определенная на интервале (а;b) иметь и наибольшее, и наименьшее значение?

№ 5. Верно ли, что из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат?

Вариант № 2 . Фамилия, Имя _________________

№ 1. Верно ли, что производная разности равна разности производных?

№ 2. Верно ли, что если непрерывная функция возрастает на интервалах (а;b) и (b;с), то она возрастает и на интервале (а; с)?

№ 3.Верно ли, что график возрастающей функции всегда пересекает прямую у = х только в одной точке?

№ 4. Может ли функция, определенная на интервале (а;b) иметь наименьшее значение, но не иметь наибольшего значения?

№ 5. Верно ли, что наибольшую площадь прямоугольник заданного периметра имеет, когда этот прямоугольник квадрат?

Вариант № 1

№1. Да

(f( х)+g(х))^/= f^/( х) + g^/(х)

х

у

0

№2. Нет

а с

У=-

№3. Нет

уe

х

0

y=f(x)

y=x

Вариант № 2

№1. Да

(f( х)-g(х))^/= f^/( х) - g^/(х)

0

х

у

а

c

№2. Да

y=f(x)

у

х

0

y=f(x)

y=x

№3. Нет

№4. Да

у

х

а

Y max

Y min

y=f(x)

0

0

а

y

x

в

y=f(x)

Y min

№4. Да

С

В

D

А

х

№ 5. Да

0 <Х<

Пусть АD = х, тогда АВ = ,

АС =f(х)=

f(х) > 0 на (0; ), g(х)=

g(х) = -рх+2х²

g^/ (х)=-р+4х

0

-р+4х=0

х=

х= - точка минимума,

D

А

х

С

В

Ответ: ABCD - квадрат№ 5. Да

0 <Х<

Пусть АD = х, тогда АВ = ,

f(х)=AD*AB

f(х)= x-x²

f^/ (х) = -2х

-2x=0

0

х=

х= - точка максимума

Ответ: ABCD - квадрат

6 этап Конкурс «Выбери сам»

Учащиеся сами выбирают карточки по своему уровню и желанию: уровень «А»(1 балл за задание), «В» (2 балла за задание), «С» (3 балла за задание).

Вариант 1

«А»

№1. Найти производную функции:y=sin(2x+);

№2. Написать уравнение касательной к графику функции

y=3x²-x в точке x₀=1.

«В»

№1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=4x-x⁴ на промежутке [-1;2];

№2. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x)=4x-3x в его точке с абсциссой х₀=3.

«С»

№1. Найти наибольшее значение функции

№ 2.Найдите абсциссы всех точек графика функции f(х)=, касательные в которых параллельны прямой у = -35х или совпадают с ней.

Вариант 2

«А»

№1. Найти производную функции:y=cos(3x-);

№2. Написать уравнение касательной к графику функции

y=2x²+3 в точке x₀=-1.

«В»

№1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x²+2x на промежутке [-3;2];

№2. К графику функции y= в точке с абсциссой х=1 проведена касательная. Найти ординату точки касательной, абсцисса которой равна 31.

«С»

№1. Найти наименьшее значение функции

№ 2.Найдите абсциссы всех точек графика функции

f(х)=, касательные в которых параллельны прямой у=26х или совпадают с ней.

Итог урока: что мы должны знать (слайд № 18 )

• Определение производной

• Основные правила дифференцирования

• Формулы производных элементарных функций

• Геометрический смысл производной

• Уравнение касательной

• Применение производной к исследованию функций.

Домашнее задание. Тест по теме: «Производная и ее применение».(слайд №19)

Ф. И., класс, школа_____________________________________________________

Вариант №____

Часть А.

Инструкция для учащихся. При выполнении заданий уровня А выберите номер правильного ответа.

А 1. Найдите-5

1)3 2)2 3)-1 4)1

А 2. Укажите производную функции g(x)=+
1)2x+ 2)2х- 3)+ 4) -

А 3. Уравнение касательной к графику функции y= в точке с абсциссой х_{0 =} -3 имеет вид:
1)y=7x+13 2)y=7x+15 3)y= -7x+15 4)y = -7x+13

А 4. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у=6х - в его точке с абсциссой (-1).
1)-4 2)-6 3)6 4)8

А 5. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику y= в его точке с абсциссой 0.

1)2 2)1 3)0 4)-1

Часть Б.

Инструкция для учащихся. Дайте краткий ответ. Для каждого из заданий ответом может быть целое число или число, записанное в виде десятичной дроби.

В6. Найдите значение производной функции f(x)=2+ в точке х_{0 =}4.

В7. Укажите число целых решений неравенства f '(x)0, если f(x)= f(x)= -

В8. Найдите минимум функции g(x)=3- 5

В9.Укажите число точек экстремума функции g(x)=х³(х+1)⁴

Часть С.

Инструкция для учащихся. Запишите обоснованное решение.

С10. При каких значениях а прямая у=ах является касательной к параболе F(х)=-2х+4?

C11. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен 32 см³, а одна из боковых граней является квадратом. Найдите среди них параллелепипед с наименьшим периметром основания. В ответе укажите этот периметр.

Ф.И., класс, школа____________________________________________________________

Вариант №__________'

Часть А.

Инструкция для учащихся. При выполнении заданий уровня А выберите номер правильного ответа

А1..Найдите y'(16), если y(x )= 8 -3

1)3 2)2 3)-1 4)1

А2.Укажите производную функции f(x)= -

1)2x+ 2)2x - 3) + 4) -

А3. Уравнение касательной к графику функции y = в точке с абсциссой х₀ = -3 имеет вид

1)у=-5х+23 2)у=-5х+21 3)у=5х+23 4)у=5х+21

А 4. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у= -его точке с абсциссой (-2).

1)1 2) 2 3) 0 4) -1

А 5. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику y=3х-2 в его точке с абсциссой 0.

1)2 2)1 3)0 4)3

Часть Б.

Инструкция для учащихся. Дайте краткий ответ. Для каждого из заданий ответом может быть целое число или число, записанное в виде десятичной дроби.

В6. Найдите значение производной функции f(x)=в точке х_{0 =}0.

В7. Укажите число целых решений неравенства f '(x)0, если f(x)=-

В8. Найдите максимум функции g(x)=-7х+3

В9.Укажите число точек экстремума функции g(x)= (х-1)⁴

Часть С.

Инструкция для учащихся. Запишите обоснованное решение.

С10. При каких значениях а прямая у=-10х+а является касательной к параболе F(х)=-4х-2?

C11. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен 4 см³, а одна из боковых граней является квадратом. Найдите среди них параллелепипед с наименьшим периметром основания. В ответе укажите этот периметр.