• Преподавателю
  • Математика
  • Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной

Основная цель урока - обобщение, систематизация и углубление знаний о производной. Задача учителя - помочь учащимся овладеть умениями и навыками нахождения промежутков возрастания и убывания, экстремумов функции.Как известно, прочные знания учащиеся получают, если "отыскивают" их сами. Поэтому всё объяснение строится с опорой на поиск решения самими учащимися.
Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Тема урока Применение производной при исследовании функций..

Тип урока: урок сообщения новых знаний.

Форма урока: урок - практикум.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, интерактивная доска.

Цели и задачи урока:

Учебная цель.

Обобщение, систематизация и углубление знаний о производной. Формирование навыков прикладного использования аппарата производной. Овладение умениями и навыками нахождения промежутков возрастания и убывания, экстремумов функции.

Развивающая цель.

Развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации; самостоятельной деятельности учащихся.

Развитие мыслительных способностей, обеспечивающих анализ ситуации и разработку адекватных способов действия (анализ, синтез, сравнение).

Воспитательная цель.

Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели. Побуждать учащихся ко взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Задачи.

  • организовать деятельность учащихся по применению достаточных условий возрастания и убывания функции к нахождению промежутков монотонности функции;

  • организовать частично-поисковую деятельность учащихся при формулировании необходимого и достаточного признака экстремума функции;

  • научить применять производную для реализации схемы исследования функции.


План

  1. Организационный этап (вступительное слово преподавателя)….3 мин

  2. Устные упражнения. Актуализация ранее изученного……..….. 15 мин

  3. Сообщение темы урока…………………………….……….……….5 мин

  4. Объяснение нового материала……………………………………..20 мин

  5. Первичное закрепление…….……………………………………….15 мин

  6. Самостоятельное решение задач..…………………………………..15 мин

  7. Подведение итогов……………………………………………………5 мин

  8. Этап рефлексии…………………………………………………..….. 2 мин


  1. Организационный момент

Цель деятельности педагога: проверить готовность к занятию, настроить на выполнение учебных задач.

Цель деятельности учащегося: настроиться на учебный процесс, проверить свою готовность к занятию.

Вступительное слово преподавателя: Сегодня мы продолжаем изучать приложение производной и рассмотрим вопрос о её применении к исследованию функций.

Производная применяется при описании различных, в частности экономических процессов. Чтобы изучить любой процесс необходимо пройти следующие этапы:

  1. Этап построения математической модели. Одну изучаемую величину (прибыль, расходы на производство и т.п.) обозначают у; другую величину (цену товара, величину спроса, объём производства и т.п.) считают независимой переменной и обозначают х. Исходя из конкретных условий задачи, выражаю у через х.

  2. Этап исследования модели. Для полученной функции находят максимум (минимум) на промежутке реального изменения х.

  3. Этап интерпретации результата.


  1. Актуализация ранее изученного.

Цель деятельности педагога: актуализировать знания, необходимые для изучения темы, развивать позитивный интерес к предмету.

Цель деятельности учащегося: поверить в свои силы, оказавшись в ситуации успеха при решении известных задач.

Слово преподавателя: Сегодня на уроке мы рассмотрим элемент работы второго этапа изучения процесса, исследование одного из свойств функции - определение промежутков монотонности и экстремумов функции.

Для решения поставленной задачи, нам необходимо вспомнить некоторые вопросы, рассмотренные ранее.

Проводится фронтальный опрос (рисунки на слайдах).

  1. Что называется функцией?

  2. Какая функция называется возрастающей на промежутке?Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

  3. Какая функция называется убывающей на промежутке?

  4. Укажите на рисунке промежутки возрастания (убывания) функции.

  5. В чём заключается геометрический смысл производной?

  6. На рисунке изображены график функции Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. и касательная к нему в точке с абсциссой Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. . Найдите значение производной функции Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. в точке Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. .

  7. Укажите, из каких отмеченных точек Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. , Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. и Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.



  1. Сообщение темы урока.

Цель деятельности педагога: поставить конкретную учебную цель перед учащимися; поместить учащихся в ситуацию успеха, показав, что они сами «открыли» то, с чем должны познакомиться на уроке.

Цель деятельности учащегося: поверить в свои силы, оказавшись в ситуации успеха при решении известных задач.

Слово преподавателя: Попробуем теперь применить имеющиеся у нас знания для определения промежутков возрастания и убывания функции.

  1. Объяснение нового материала.

у

х

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

- На рисунке изображён график функции Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. . В произвольных точках интервала Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. проведём касательные к графику этой функции. Обратите внимание на угол, который образуют касательные с положительным направлением оси ОХ. Какой вывод можно сделать о знаке углового коэффициента касательной, а значит и производной?

Примерные ответы учеников: Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

-Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

х

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

у

Рассмотрим теперь график убывающей функции.

Какой вывод можно сделать о знаке углового коэффициента касательной, а значит и производной?

Примерные ответы учеников: Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

- Какая связь между знаком производной и поведением функции выявлена на примере этих заданий?

Примерные ответы учеников: Если на промежутке Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. производная функции Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. , то функция возрастает, если Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. , то функция убывает.

- Можно ли сформулировать вывод «наоборот» - если функция возрастает на промежутке Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. , то Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. для всех точек интервала и, если функция убывает на промежутке Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. , то Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. для всех точек интервала.

Ответы учеников могут быть различны.

х0

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

х

у

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Учитель: обратное - неверно. Посмотрите на график функции на рисунке. На всём интервале Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. функция возрастает, но в точке х0 производная Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. (касательная в этой точке параллельна оси ОХ), а значит нельзя сказать, что на всём интервале производная положительна. Поэтому признак, который мы сформулировали - достаточный.

Запишем в тетрадь:

Достаточный признак возрастания (убывания) функции:

Если Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. в каждой точке интервала I, то функция Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. возрастает на I.

Если Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. в каждой точке интервала I, то функция Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. убывает на I.

Мы рассмотрели поведение функции на промежутках, где Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. и Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. . А что же будет в точках, где производная равна нулю или не существует?

Примерные ответы учеников: в этих точках будут экстремумы, т.к. в экстремумах касательная параллельна оси Ох.

Слово преподавателя: Эти точки могут быть точками экстремума, поэтому их называют критическими или подозреваемыми на экстремум. Равенство нулю производной - необходимое условие экстремума.

Запись в тетради:

Необходимое условие экстремума. Если точка х0 является точкой экстремума функции Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. и в этой точке существует производная, то она равна нулю, Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. .

Учащиеся получают раздаточный материал - незаполненные таблицы с графиками функций. Работая в парах, заполняют пустые клетки.



Знак Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. на Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

в Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Знак Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. на Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Вывод

о точкеИспользование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

1

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

х0

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

у

х

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. -

точка

максимума

2

х0

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

х

у

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

не существует

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. -

точка

максимума

3

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

х

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

х0

у

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. -

точка

минимума

4

х0

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

х

у

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

не существует

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. -

точка

минимума

5

х0

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

х

у

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

нет

экстремума

6

х0

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

х

у

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

не существует

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

нет

экстремума

Слово преподавателя: Проанализируем поведение функции в точке х0. Какое же условие должно выполняться, чтобы точка была точкой экстремума?

Примерные ответы учеников: нужно, чтобы производная меняла свой знак при переходе через х0.

Признак максимума функции: Если функция f непрерывна в точке х0 и производная при переходе через эту точку меняет знак с «+» на «-», то точка х0 является точкой максимума функции.

Признак минимума функции: Если функция f непрерывна в точке х0 и производная при переходе через эту точку меняет знак с «-» на «+», то точка х0 является точкой минимума функции.


Алгоритм нахождения промежутков монотонности и экстремумов.

  1. Найти производную функции Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. .

2. Найти критические точки функции Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. (Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.или не существует).

3. Отметить критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4. Сделать выводы о промежутках возрастания и убывания функции.

5. Сделать вывод о точках экстремума.

  1. Первичное закрепление.

Пример 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. .

Решение: Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

-

-

+

- 1

2

min

max






Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

Пример 2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. .


  1. Самостоятельное решение задач.

Учащиеся работают в парах, решение записывают в тетрадях. Двое работают у доски.

а) Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. ;

б) Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной. ;

а) Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

б) Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

  1. Подведение итогов.

Цель деятельности педагога: анализ реализации поставленной цели и задач.

Цель деятельности учащегося: провести анализ своего вклада в работу группы по решению поставленных задач; оценить свою работу и работу товарищей.

Слово преподавателя: Ребята, сегодня мы научились строить сечения. Как? Покажут результаты самостоятельной работы. Вы сами сможете оценить себя. Полученные умения помогут в дальнейшем решать различные геометрические задачи.

Проверка самостоятельной работы учащимися (правильные решения на слайдах). Студенты подсчитывают количество ошибок и выставляют себе оценку за работу на уроке согласно представленным критериям:

«5» - нет ошибок;

«4» - одна-две ошибки;

«3» - более двух ошибок.


  1. Рефлексия урока.

Цель деятельности педагога: создание условий для саморазвития, самопознания школьника.

Цель деятельности учащегося: воспроизведение полученных в ходе занятия знаний; осознание собственной деятельности.

Слово преподавателя:

  1. Какими навыками, умениями вы овладели на сегодняшнем уроке?

  2. Что было непонятно?

  3. Решение каких задач показалось вам сложным?

  4. Какие задания вам понравились?

  5. Что удивило вас?

14


© 2010-2022