Мир тригонометрии-основные тригонометрические тождества

Алматинская область

Балхашский район

с.Бакбакты.

КГУ средняя школа №1

имени Жамбыла

учитель математики

I категории

Фазылова Татьяна Михайловна

Урок по алгебре и началам анализа

в 10 классе по теме

« Мир тригонометрии: основные тригонометрические тождества»

2015-2016 учебный год

Тема урока: Мир тригонометрии: основные тригонометрические тождества.

Школа : ГКУ "СШ №1 Имени Жамбыла"

Дата: 31.10.2015

ФИО учителя : Фазылова Т.М.

Количество присутствующих

Количество отсутствующих

Цели обучения, которые необходимо достичь на данном уроке

систематизация уже имеющихся знаний по тригонометрии, отработка навыков преобразования тригонометрических выражений.

Ожидаемый результат

Все учащиеся смогут:

• Выполнять вычисления по основным тригонометрическим тождествам.

Большинство учащихся будут уметь:

• Переводить радианную меру в градусную и наоборот, градусную в радианную.

Некоторые учащиеся смогут: использование ИКТ, а также вычисление более сложных заданий.

Предыдущее обучение: "Тригонометрические тождества"

План

Планируемые сроки

Планируемые действия

Ресурсы

Начало урока

I.Организационный момент.

Дорогие друзья!

Беритесь за решение трудных математических задач! И тех, которые только что поставлены, и тех, которые уже многие десятилетия или столетия не поддаются решению.

Вас будут ожидать страдания, вы будете разочарованы, когда вам будет казаться, что вы напрасно потратили годы на поиски ускользающего призрака. Все может быть.

Но вы будете сторицей вознаграждены, когда в один прекрасный день окажетесь перед той заветной целью, к которой так долго и так трудно шли.

Не будьте безучастными и равнодушными, в противном случае это будет духовная смерть»

Я начала наш открытый урок словами Данте о беспредельной жажде познания, с которой должен жить человек.

II. Актуализация знаний.

" Домино"./ Приложение 1/

III. Устная работа.

«Кто больше???»

Нелегкий вопрос-то, но верь одному:

Все сложно и просто, считай по уму!

ВОПРОСЫ 1 КОМАНДЕ:

Треугольник, у которого все

1. стороны равны. (Равносторонний)

2. Раздел геометрии, занимающийся

3. изучением фигур на плоскости. (Планиметрия)

4. Параллелограмм, у которого

5. все углы прямые. (Прямоугольник)

6. В прямоугольном треугольнике квадрат

7. гипотенузы равен…(сумме квадратов катетов)

8. На какой угол поворачивается солдат

9. по команде «кругом» ? (180)

10. Что больше: гипотенуза или катет? (Гипотенуза)

11. Может ли в треугольнике быть 2 тупых угла? (Нет)

12. Когда сутки короче: зимой или летом? (Одинаковы)

13. Сколько углов у треугольника? (Три)

14. Инструмент для построения окружности. (Циркуль)

15. Двое играли в шахматы 4 года. Сколько времени

16. играл каждый? (4)

17. Самое маленькое натуральное число. (1)

18. Как называется отношение противолежащего

19. катета к гипотенузе? (Синус)

20. Отрезок, образующий с прямой угол в

21. 90 градусов. (Перпендикуляр)

22. У родителей 6 сыновей. Каждый имеет сестру.

23. Сколько детей в семье? (7)

24. Как называется угол со сторонами 3, 4, 5?

25. (египетский)

26. Из-под забора видны 6 пар лошадиных ног.

27. Сколько этих животных во дворе?(3)

28. Угол меньше прямого. (острый)

29. Утверждение, требующее доказательства. (Теорема)

ВОПРОСЫ 2 КОМАНДЕ

1. Отношение противолежащего катета к

2. прилежащему-это…(тангенс)

3. Прямые, которые никогда не пересекаются, хотя и

4. лежат в одной плоскости. (Параллельные)

5. Наука об измерении земли. (геометрия)

6. Треугольник, у которого 2 стороны

7. равны. (Равнобедренный)

8. Как называется отрезок, соединяющий точку

9. окружности с центром этой окружности? (Радиус)

10. Инструмент для измерения углов на

11. плоскости. (транспортир).

12. Геометрическая фигура, состоящая из двух

13. лучей, имеющих общее начало. (Угол).

14. Что больше: наклонная или перпендикуляр? (Наклонная)

15. Четырехугольник, у которого только 2

16. противолежащие стороны параллельны. (Трапеция)

17. Сколько рогов у трех коров? (6)

18. Сумма длин сторон фигуры. (периметр)

19. Как называется сотая часть числа? (Процент)

20. Тройка лошадей пробежала 30 км.

21. Сколько пробежала каждая лошадь? (30)

22. Сколько единиц в дюжине? (12)

23. Сколько градусов содержит прямой угол? (90)

24. Петух, стоя на одной ноге весит 5 кг.

25. Сколько он будет весить, стоя на двух ногах? (5)

26. Сумма углов треугольника равна… (180 градусов)

27. Отношение прилежащего катета к гипотенузе. (Косинус)

28. Луч, делящий угол пополам. (Биссектриса)

.

Карточки с вопросами.

презентация Power Point ,компьютер, проектор, экран, тематическая наглядность (тригонометрический круг), раздаточный материал

(карточки), разноцветные

карточки.

Середина урока

IV. Работа в паре. Учитель: Однажды великого греческого философа Сократа спросили о том, что, по его мнению, легче всего в жизни. Он ответил, что легче всего поучать других, а труднее - познать самого себя. Мы познаем окружающий нас мир. Но сегодня давайте заглянем в себя. Как мы воспринимаем окружающий мир? Как художники или как мыслители?

Психологический тест.1). Переплетите пальцы рук. Большой палец правой или левой руки оказался у Вас сверху? Запишите результат буквами «Л» или «П».

2). Скрестите руки на груди (поза «Наполеона»). Кисть, какой руки оказалась сверху? Запишите результат.

3). Изобразите «бурные аплодисменты». Ладонь, какой руки у Вас сверху? Запишите.

Подведем итоги, учитывая, что результат «ЛЛЛ» соответствует художественному типу личности, а «ППП» - типу мыслителя.

(Эти различия связаны с функциональной асимметрией мозга человека: у «художников» более развитое правое полушарие и преобладает образное мышление, у «мыслителей» - соответственно - левое полушарие и логическое мышление).

Какой же тип мышления преобладает у Вас?

Несколько «мыслителей», несколько «художников», большинство - личности, которым свойственно и логическое и образное мышление.

Вот и познакомились ближе: вы - с собой, я - с вами. Можно переходить к познанию темы урока. Я думаю, мы достаточно подготовились к мини самостоятельной работе, которую проведём в 3-х уровнях. А определиться, кто какой уровень будет писать, помогли нам итоги психологического теста. 1 вариант пишут художники, второй вариант пишут ребята со смешенным мышлением, а третий вариант пишут мыслители.

Вопрос группам : Что такое 1 радиан? Как перевести радианы в градусы? Как перевести градусы в радианы.

Вариант №1

• Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: 45, 60.

• Переведите данные числа из радианной меры в градусную: п/6.

Вариант №2

• Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: 30,135.

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: п/5.

Вариант №3

• 1. Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: 300, 240.

• 2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: 3п/4, -5п/6.

Взаимопроверка.

30. VI. РАЗМИНКА

• Вытянуть правую руку перед собой, параллельно поверхности стола и выполнить круговой поворот на 720 градусов.

• Вытянуть левую руку перед собой, параллельно поверхности стола и выполнить круговой поворот на (-1080) градусов.

Положите кисти рук на плечи и сделайте по 4 круговых движения вперед и назад. Какова сумма углов поворота?

V. Групповая работа. Слайд № 9.

1. Какое название носит кофункция тангенса?
2. То от чего может зависеть значение функции.
3. Назовите меру измерения угла.
4. Перед вами функции: sin x, cos x, ctg x... Какой функции в этом перечне нехватает?
5. Назовите обозначение, через которое повторяется значение тригонометрических функций.
6. Чем является cos x?
7. Как называется график функции sin x?
8. (0; p) - дайте название этому обозначению.
9. Он бывает и в земле, и в математике.
10. Какое название носит предложение, которое требует доказательства?
11. Как называется число из отрезка [0; p], у которого косинус равен a?
12. Как называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
13. Если sin x является нечетной функцией, то cos x является …. функцией

2. Практическая. А сейчас, используя свои конечности, вы должны изобразить и показать нам углы: 90,60,45,30 градусов.

• Слайд 10

Дополнительный материал.

Раздаточный материал

(карточки), разноцветные

карточки, светофор

Работа с ручкой. (Использование ИКТ)

Конец урока

VI. У вас на столах лежат цветные карточки (светофор) не забудьте использовать их в своей работе.

Тестовые индивидуальные задания.

«Применение основных тригонометрических

формул к упрощению выражений»

Вариант Часть

1. Упростите выражение: tg ² х + sin ² х +cos ² х

А. - В. - C. D.

2. Упростите выражение: Зsin ² х + 10 + З cos ² х

А.7; В.10; C.1З; D.1б

З. Упростите выражение: 16 - 6sin ² х - 6соs ² х

А. -6; В. 4; С. 10; D.16

Часть 2 Вычисли: а)=-1/2

б) -tg x · ctg (-x) - cos (-x)=-1+ cos х

Вариант 2 Часть 1

1. Упростите выражение: 2 - (sin ² х + cos ² х) + ctg ² А. - В. - C. D

2. Упростите выражение: 4sin ² х + 5 + 4 cos ² х

А. 10; В. 9; С. 1З; D. 11

З. Упростите выражение: 12 - Зsin ² х - Зсоs ² х

А. 9 В. 10; С. -9; D. -12

Часть 2 Вычисли а)

б) -tg x · ctg (-x) - cos (-x)

VII. Принцип «Микрофон». (Ученики по очереди дают аргументированный ответ на один из вопросов).

• На уроке я работал активно / пассивно

• Своей работой на уроке ядоволен / не доволен

• Урок для меня показался коротким / длинным

• За урок я не устал / устал

• Мое настроение стало лучше / стало хуже

• Материал урока мне был полезен / бесполезен интересен / скучен

• Домашнее задание мне кажется

легким / трудным, интересно / не интересно

VIII. Домашнее задание я вам приготовила в виде интересных старинных и современных задач.

Прошу вас после урока перекинуть его к себе на флешки, а также составить кроссворд используя знания по тригонометрии.

Раздаточный материал

(карточки),разноцветные

карточки, светофор

Дополнительная информация

Дифференциация.

Как вы планируете поддерживать учащихся? Как вы планируете стимулировать способных учащихся?

Оценивание.

Как вы планируете увидеть приобретенные знания учащихся?

Межпредметные связи

ИКТ компетентность

1.Дифференцированные задания.

2.Групповая работа

3. Работа в паре

• Индивидуальная работа.

• Тестовые задания.

Геометрия.

• Литература.

• Психология.

• Использование интерактивной доски.

Рефлексия

Были ли цели обучения реалистичными? Что учащиеся сегодня изучили? На что было направлено обучение? Хорошо ли сработала запланированная дифференциация? Выдерживалось ли время обучения? Какие изменения из данного плана я реализовал и почему?

Используйте пространство ниже, чтобы подвести итоги урока. Ответьте на самые актуальные вопросы об уроке из блока слева.

Главной целью урока: систематизация уже имеющихся знаний по тригонометрии, отработка навыков преобразования тригонометрических выражений. Подводя итог урока, судя по результатам индивидуальных заданий и рефлексии, можно сказать, что цели были достигнуты, время было использовано согласно плану. Немного были неожиданными результаты психологического теста, но учащиеся справились с заданием в запланированное время.

Итоговая оценка

Какие два аспекта в обучении прошли очень хорошо (с учетом преподавания и учения)?

1: Актуализация полученных знаний. Метод "Домино"

2:Групповая работа.

Какие два обстоятельства могли бы улучшить урок (с учетом преподавания и учения)?

1: Точность в ответах учащихся, правильная формулировка правил.

Что узнал об учениках в целом или отдельных лицах?

Учащимся нравилась разнообразная форма работы. Интересно было работать группой. Некоторых учащиеся, затрудняли индивидуальные задания. Имело место самооценивание, учащиеся пользовались сигнальными карточками (светофор) и оценочными листами Хорошо было организовано взаимооценивание, при работе в паре. Некоторые учащиеся раскрылись и проявили свои творческие способности

Ответ: отношение противолежащего катета к гипотенузе)

Вопрос: tg a = sin a /cos a

Вопрос

Синусом называется отношение AB/OBПриложение №1

Ответ: (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

Вопрос sin² a + cos² a = 1

Ответ: Формула говорит о то что если знаете синус или косинус числа, то Вы можете найти его тангенс.

Вопрос :Косинусом называется отношение ОА/OB

Ответ: (отношение противолежащего катета к прилежащему)

Вопрос :1 + tg² a = 1/cos² a

Ответ: Эта формула позволяет найти синус числа, если известен его косинус, и найти косинус числа, если известен его синус. Т Вопрос :тангенсом называется отношение AB/OA

Ответ: (отношение прилежащего катета к противолежащему)

Вопрос :1 + сtg² a = 1/sin² a

Ответ: Найти тангенс когда известен косинус .

Вопрос: Котангенсом называется отношение ОА/AB

Ответ: Найти котангенс когда известен синус.

Вопрос :Мера измерения угла.

Ответ: Из за того что функция косинус опережает синус на 90 градусов возникло такое тождество. Вопрос :Как называется график функции sin x?

Ответ: График этой функции называется-синусоида.

Ответ: Градус и радиан.

Вопрос:sin(90^o- a ) = cos a

Проложение №2 .Самостоятельная работа

Вариант №1

1. Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: 45, 60

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: п/6

Вариант №2

1. Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: 30,135

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: п/5

Вариант №3

1. Переведите данные числа из градусной меры в радианную меру: 300,240

2. Переведите данные числа из радианной меры в градусную: 3п/4, -5п/6

Приложение №3 1 вариант Тестовые индивидуальные задания.

«Применение основных тригонометрических

формул к упрощению выражений»

Вариант Часть 1

1. Упростите выражение: tg ² х + sin ² х + cos ² х

А. - В. - C. D.

2. Упростите выражение: Зsin ² х + 10 + З cos ² х

А.7; В.10; C.1З; D.1б

З. Упростите выражение: 16 - 6sin ² х - 6соs ² х

А. -6; В. 4; С. 10; D.16

Часть 2 Вычисли: а)=-1/2 б) -tg x · ctg (-x) - cos (-x)=-1+ cos х

Вариант 2 Часть 1

1. Упростите выражение: 2 - (sin ² х + cos ² х) + ctg ² х

А. - В. - C. D.

2. Упростите выражение: 4sin ² х + 5 + 4 cos ² х

А. 10; В. 9; С. 1З; D. 11

З. Упростите выражение: 12 - Зsin ² х - Зсоs ² х

А. 9 В. 10; С. -9; D. -12

Часть 2 Вычисли а) б) -tg x · ctg (-x) - cos (-x)

Приложение №4

ЗАДАНИЯ ДЛЯ РАБОТЫ В ГРУППАХ

2. 1 ГРУППА. 1. Какое название носит кофункция тангенса?
   2. То от чего может зависеть значение функции.
   3. Назовите меру измерения угла.
   4. Перед вами функции: sin x, cos x, ctg x... Какой функции в этом перечне нехватает?
   5. Назовите обозначение, через которое повторяется значение тригонометрических функций.
   6. Чем является cos x?
   7. Как называется график функции sin x?
   8. (0; p) - дайте название этому обозначению.
   9. Он бывает и в земле, и в математике.
   10. Какое название носит предложение, которое требует доказательства?
   11. Как называется число из отрезка [0; p], у которого косинус равен a?
   12. Как называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
   13. Если sin x является нечетной функцией, то cos x является …. функцией

2. Практическая . А сейчас используя свои конечности вы должны изобразить и показать нам углы : 90,60,45,30 градусов.

Используемая литература:google.com/url?q

flotprom.ru/publications/hi story/slava/eiler/&sa

Н.И. Кованцов «Математика и романтика»

Мир тригонометрии.ppt

20151031_092520.mp4

Аннотация

Цели урока: систематизация уже имеющихся знаний по тригонометрии, отработка навыков преобразования тригонометрических выражений

Деятельностная цель: формирование у учащихся способностей к рефлексии коррекционно-контрольного типа при преобразовании тригонометрических тождеств и реализации коррекционной нормы (фиксирование собственных затруднений в применении основных тригонометрических формул, выявление их причин, поиск выхода из затруднения).

Образовательная цель: коррекция и тренинг изученных понятий.

Задачи урока: повторить определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса числа ; радианная мера угла.

Повторить основное тригонометрическое тождество и формулы, межпредметная связь.

Научить применять полученные знания при упрощении тригонометрических выражений, доказательстве тождеств.

Тип урока: урок рефлексии.

Оборудование: учебники, компьютер, мультимедийный проектор, сигнальные карточки, лист оценивания.
Тригонометрия - есть одно из основных понятий математики. Понятие тригонометрия неизбежно возникает при рассмотрении многих важных математических вопросов.
Это заключительный урок проводится после серии уроков « Основные тригонометрические тождества». Учащиеся на различных этапах урока , при помощи различных заданий, закрепляют понятия основных тригонометрических тождеств. Для успешного решения первых задач практически не требуется больших математических знаний. Задачи урока простые, конкретные, чёткие, с использованием известных школьных терминов. При выполнении заданий ученик может проявить способность к логическому мышлению, т. е. умению обобщать, проводить аналогии. Задачи урока разнообразны: это и тесты, и задачи, требующие односложных ответов, и задачи, требующие подробного обоснования, рассуждения.

На первом этапе урока учитель нацеливает учащихся на урок и создает позитивный настрой на урок. Применяя прием "Домино",учитель охватывает все пройденные формулировки и тем самым настраивает на следующее задание.

Игровой прием" Кто дальше?, развивает быстроту мышления учащихся при решении логических задач.

На втором этапе урока учитель напоминает ребятам способ перевода радианной меры в градусную и наоборот. Применяя при этом работу в паре и групповую работу.

В целях экономии времени на данном уроке материал проводится как демонстрация.
По ходу урока каждый ученик использует лист оценивания, чтобы оценить свои результаты, а также при решении текстовых заданий пользуется сигнальными карточками ( "светофор").

Разминка и практическая работа в группе оживляет учащихся, создавая позитивный настрой на индивидуальную работу.
Для учащихся урок с применением ИКТ - переход в иное психологическое состояние (разнообразие, интерес, некоторые дети становятся смелее, свободнее, зрительное восприятие материала легче), это другой стиль общения, положительные эмоции, ощущение себя в новом качестве, и, конечно, скорость работы.
Такой урок - возможность развивать свои творческие способности и личностные качества, оценить самому роль знаний и увидеть их применение на практике, это самостоятельность и совсем другое отношение к своему труду. Надо уметь наблюдать, понимать, успевать, систематически повторять и закреплять учебный материал, чтобы на уроке справляться с предложенным, довольно большим, объёмом учебного материала. Кроме того, в ходе решения задач важным является не только сам факт выполнения задания, но и выбранный учащимся способ решения. Существенным является умение ученика максимально точно и выразительно излагать свои мысли.

Аннотация

Сабақтың мақсаты: тригонометрия жайлы білімдерін жүйелеу,тригонометрияны өзгерту жайлы дағдыларым меңгерту.

Әрекет мақсаты: оқушыларда тригонометриялық тепе-теңікті жанғырту кезінде қабілеттілік қалыптастыру және түзету нормаларын жүзеге асыру.

Тәрбие мақсаты: Оқып-білген ұғымдарды түзету.

Сабақтың міндеттері: синус,косинус, тангенс, котангенс сандарынан өткенді қайталау, радиандық бұрыштың өлшемінен өткенді қайталау.

Негізгі тригонометриялық тепе-теңдікті және формуланы қайталау, пәнаралық байланыс. Алынған білімді тригонометриялық тепе-теңдікті оңайлату кезінде қолдануға үйрету, тепе- теңдікті дәделдеу.

Сабақтың түрі рефлексиялық сабақ.

Көрнеліктер: оқулық, компьютер, мультимедиялық проектор, таратпа материалдар, бағалау парағы.

Тригонометрия-бұл математиканың ең негізгі ұғымы.Тригонометриялық ұғым көптеген математикалық сұрақтарда қарастырғанда туындайды.

Бұл қорытынды сабақ " Негізгі тригонометриялық тепе-теңдік" тақырыбынан кейім өтеді. Оқушылар сабақтың түрлі кезеңдерінде, түрлі тапсырмалар бойынша негізгі тригонометриялық тепе-теңдік жайлы ұғымдарын бекітеді.

Алғашқы есептерді ойдағыдай шығару үшін үлкен математикалық білім талап етілмейді.Сабақтың міндеттері қарапайым, нақтылы, анық мектепте қолданылатын таныс терминдер. Есеп шығару кезінде оқушыда сын тұрғысынан ойлау қабілеті және талдап қорыту іскерлігі қалыптасады, ұқсастықтарын анықтайды.

Сабақтың есептері әр түрлі : бұл тестер, бірыңғай қиын жауаптарды талап ететін есептер, нақты дәлелдер мен пайымдауды қажет ететін есептер. Сабақтың 1 кезеңде мұғалім оқушыларды сабаққа жұмылдырады және оң көңіл күй тудырады. "Домино" әдісін колдану арқылы мұғалім барлық өтілген тұжырымдарды қамтиды және келесі есептерге дайындайды.

"Әрі қарай жалғастыр" әдісі логикалық есептер шығару барысында оқушылардың ойлау қабілетін тез жетілдіреді.

Сабақтың екінші кезеңінде мұғалім оқушыларға радиандық өлшемдердің градустық өлшемге немесе керісінше ауысатын әдістерін ескертеді. Бұл кезде жұптық және топтық жұмыс ұйымдастырылады.

Уақытты тиімді пайдалану үшін осы сабақтағы материалдар шеру түрінде көрсетіледі. Сабақ барысында оқушылар өздерінің жетістіктерін бағалау үшін бағалау парағын қолданады.

Сонымен қатар мысал есептерді шығару барысында сигналдық карточкалар қолданады / ("Бағдаршам".)

Практикалық жұмыстар мен сергіту кезінде топта оқушылар жанданады, жеке жұмыс кезінде оң көзқарас құрады.

Оқушыларға АКТ-на қолдану -психологиялық жағдайға көшу, бұл қарым-қатынастың басқа стилі, ойдағыдай көңіл-күй, өзін жақсы жағынан сезіну және жұмыс жылдамдығы.

Мұндай сабақ -өзінің шығармашылық қабілеттілігіңізді және жеке қасиеттеріңді дамытады, білімнің ролін бағалайды және оны тәжірибе жүзінде қолдануға үйретеді, бұл өз бетінше және өзінің еңбегіне басқа қырынан қарау.

Әр адам бақылай және түсіне білу керек, сонымен қатар жүйелі қайталауды және оқу материалдарын бекітуді үлгеру керек. Сонымен қатар сабақты өтілген тақырып бойынша ұсыныс қабылдай білу керек.

Есеп шығару барысында ең бастысы есептерді шығару, сонымен қатар оқушының таңдаған есеп шығару әдісі. Ең маңыздысы оқушының өзінің ойын нақты жеткізе білу шеберлігі болып табылады.