Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Раздел Математика
Класс 9 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:













Элективный курс по математике.

Функция: просто, сложно, интересно.




Составил Черных А.Н.


























Пояснительная записка


Начиная с 7 класса в центре внимания школьной математики находится понятие функции. Однако размеры школьного учебника, количество часов, выделяемых на изучение темы "Функция" в разных классах, не позволяют показать в сколько-нибудь полном объеме все многообразие задач, требующих для своего решения функционального подхода, научить учащихся глубоко понимать и использовать свойства функции; нет времени изложить историю возникновения этого интереснейшего раздела в школьном курсе математики.

С другой стороны, авторы контрольно-измерительных материалов ЕГЭ уделяют много внимания проверке умений читать по графику свойства функции, использовать их в решении уравнений и неравенств. Тесты итоговой аттестации по математике за курс основной школы предполагают наличие у школьников подобных знаний, поэтому формировать основы этих знаний необходимо начинать как можно раньше.

Курс "Функция: просто, сложно, интересно" позволит углубить знания учащихся по истории возникновения понятия, по способам задания функций, их свойствам, а также раскроет перед школьниками новые знания об обратных функциях и свойствах взаимно обратных функций, выходящие за рамки школьной программы.

Ц е л ь: создание условий для обоснованного выбора учащимися профиля обучения в старшей школе через оценку собственных возможностей в освоении математического материала на основе расширения представлений о свойствах функций.

З а д а ч и:

- закрепление основ знаний о функциях и их свойствах;

- расширение представлений о свойствах функций;

- формирование умений "читать" графики и называть свойства по формулам;

- вовлечение учащихся в игровую, коммуникативную, практическую деятельность как фактор личностного развития.

Курс предназначен для учащихся 9 классов средних общеобразовательных учреждений, реализующих предпрофильную подготовку. Рассчитан на 17 часов аудиторного времени.

Включенный в программу материал имеет познавательный интерес для учащихся и может применяться для разных групп школьников вследствие своей обобщенности и практической направленности. Развертывание учебного материала четко структурировано и соответствует задачам курса.

Формами итоговой аттестации являются представление "Портфеля достижений", а также дидактическая игра "Восхождение на вершину знаний".

"Портфель достижений", на наш взгляд, должен включать:

- конспекты занятий;

- схему исследования функции;

- самостоятельные исследования свойств функций (не менее четырех);

- "Применение функций в природе и технике" (информация в любой форме);

- тесты (не менее двух);

- анализ собственных успехов (в любой форме);

- описание своего участия в игре, баллы, набранные в ней.

Требования к усвоению курса.

Учащиеся должны знать:

- понятие функции как математической модели, описывающей разнообразие реальных зависимостей;

- определение основных свойств функции (область определения, область значений, четность, возрастание, экстремумы, обратимость и т. д.);

Учащиеся должны уметь:

- правильно употреблять функциональную терминологию;

- исследовать функцию и строить ее график;

- находить по графику функции ее свойства.


Тематическое планирование учебного материала


Тема

Кол-во часов

Технология
реализации

Подготовительный этап: постановка цели, проверка владения базовыми навыками

1

Беседа, тестирование

Историко-генетический подход к понятию "функция"

1

Лекция, демонстрация диафильма

Способы задания функций

1

Беседа, практикум

Четные и нечетные функции

2

Беседа, практикум

Монотонность функции

2

Лекция, практикум, тестирование

Ограниченные и неограниченные функции

2

Семинар, практикум

Исследование функции элементарными способами

2

Практикум, тестирование

Построение графиков функций

2

Практикум тестирования

Функционально-графический метод решения уравнений

2

Беседа, практикум

Функция: сложно, просто, интересно

1

Дидактическая игра "Восхождение на вершину знаний"

Функция: просто, сложно, интересно

1

Презентация "Портфеля достижений"







Занятие 1
Постановка цели.
Проверка владения базовыми умениями


Цели: проверка и актуализация базовых знаний.

Х о д з а н я т и я

На данном занятии надо рассказать о целях и задачах изучения курса, о важности получаемых знаний для итоговой аттестации как в основной так и в средней школе. Объяснить, как получить зачет, что такое "Портфель достижений". Проверка базовых знаний осуществляется за счет вводного тестирования.

I. Тест.

В а р и а н т I

1. Какая из функций, приведенных ниже, является линейной:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

2. Область определения функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно?

3. Найдите значение функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) 0; б) - 2; в) - 0,8.

4. На рис. 82 (а, б, в) найдите точку Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, симметричную точке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно относительно оси ординат.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно


5. На рис. 83 (а, б, в) найдите точку А', симметричную точке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно относительно начала координат.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно


6. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) возрастает; б) убывает; в) постоянна.

7. График функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

8. Какой из графиков параллелен прямой Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

9. Графику какой функции принадлежит точка Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно?

10. Найдите координаты точки пересечения графиков функций Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Ключ к тесту:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

б

а

а

б

в

а

б

б

б

в

В а р и а н т II

1. Какая из функций, приведенных ниже, линейная:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно?

2. Область определения функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

3. Найдите значение функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) 3; б) 12; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

4. На рис. 84 (а, б, в) найдите точку М', симметричную точке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно относительно начала координат.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно


5. На рис. 85 (а, б, в) найдите точку А', симметричную А (2, 1) относительно оси ординат.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

6. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) возрастает; б) убывает; в) постоянна.

7. График функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

8. Какой из графиков параллелен прямой Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

9. Какому из графиков принадлежит точка Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно?

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

10. Найдите координаты точки пересечения графиков функций Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Ключ к тесту:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

а

б

а

в

а

б

в

а

б

в

II. Актуализация базовых знаний.

О п р е д е л е н и е: Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись y = f(x).

Переменную х называют независимой переменной, или аргументом, а переменную у - зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.

Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Они обозначаются Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно соответственно.

Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Для закрепления учащимся предлагается ответить на вопросы.

1. Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; е) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; ж) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а) все числа, кроме 1; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) все числа; г) все числа, кроме 0 и 1; д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; е) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; ж) все отрицательные числа и 0.

Далее повторяются функции, уже известные из школьной программы.

1. Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - линейная функция, графиком которой является прямая.

2. Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - функция обратно пропорциональной зависимости, графиком которой является гипербола.

3. Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - квадратичная функция, графиком которой является парабола.

4. Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - степенная функция, графиком которой является кубическая парабола.

Для закрепления можно задать вопросы:

1. Формула y = -5x + 6 задает некоторую функцию. Найдите значение функции, соответствующее значениям аргумента: -1,2; 2,8. При каком значении аргумента значение функции равно 6; 8; 100?

О т в е т: 12; -8; 0; -0,4; -18,8.

2. Заполните таблицу:

х

2


1,6


Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно


Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно


Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

О т в е т: 4; -1; 5; -16.

3. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, если это возможно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; 16; 1,21; -25; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: 4; 1,1; не существует; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Занятие 2
Историко-генетический подход
к понятию "функция"

Цели: раскрыть сложный исторический путь понятия "функция"; вызвать чувство сопричастности к поиску гениальных ученых.

Х о д з а н я т и я

У ч и т е л ь. Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела.

С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Это позволило формулировать их словами: "больше на", "меньше на", "больше во столько-то раз". Если за одного быка давали 6 овец, то двух обменивали уже на 12; если из одного ведра глины можно было сделать 4 горшка, то из 3 - 12. Такие расчеты привели к представлениям о пропорциональности величин.

Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, вавилоняне составили таблицы обратных чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов. Говоря современным языком, это было табличное задание функций Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Разумеется, путь от составления таблиц до создания общего понятия функциональной зависимости был еще очень долог, но первые шаги по этому пути уже были сделаны.

Многое из того, что сделали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Они нашли много различных кривых, неизвестных в Египте и Вавилоне, изучили зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях.

Арабские ученые ввели новые тригонометрические таблицы и усовершенствовали таблицы хорд, составленные Птолемеем. В исследованиях аль-Бируни впервые встречаются мысли о "всех таблицах", то есть о всевозможных зависимостях между величинами.

Исследования общих зависимостей началось в XIV веке. Среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, свалившегося в воду, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь). Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсивности длинами отрезков. Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: равномерные (то есть с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (для которых скорость изменения интенсивности постоянна) и неравномерно-неравномерные (все остальные), а также указал характерные свойства этих графиков.

Идеи Оресма намного обогнали тогдашний уровень науки. Чтобы развивать их дальше, нужно было уметь выражать зависимости между величинами не только графически, но и с помощью формул, а буквенной алгебры в то время еще не существовало.

На протяжении XVI и XVII вв. в естествознании произошла революция, приведшая к глубочайшим изменениям не только в технике (астрономы узнали о спутниках Юпитера и пятнах на Солнце, инженеры придумали новые машины и усовершенствовали часы, мореплаватели открыли новые континенты и таинственные страны), но и в мировоззрении людей. Они стали смотреть на мир не как на поле приложения божесвенной воли, а как на механизм, управляемый своими законами. И основной задачей науки стало открытие этих законов, описание их в терминах математики.

Чтобы создать математический аппарат для изучения движений, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650 гг.). Декарту удалось уничтожить пропасть, существовавшую со времен древнегреческой математики, между геометрией и арифметикой. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений. Чтобы наглядно изображать уравнение, он заменял все величины длинами отрезков. По сути дела, здесь была заложена идея метода координат. Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришел другой французский математик - Пьер Ферма (1601-1665 гг.).

После того как в науку вошли переменные величины, были изучены траектории движущихся точек, достигла расцвета вычислительная математика и была создана буквенная алгебра, внимание ученых обратилось к изучению соответствий между величинами. В своей "Геометрии" Декарт писал: "Придавая линии у последовательно бесконечное количество различных значений, мы найдем также бесконечное количество значений х и, таким образом, получим бесконечное количество различных точек…; они опишут требуемую кривую линию". Здесь ясно выражена идея функциональной зависимости величин у и х, идея геометрического выражения этой зависимости.

Функция - основное понятие математического анализа. Но вначале оно было очень расплывчатым, не имело сколько-нибудь точного описания.

Термин "функция" ввел в математику Готфрид Лейбниц (1646-1716 гг.). Он употреблял его в очень узком смысле, связывая только с геометрическими образами.

Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: "Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом преобразования этой переменной величины и постоянных".

Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака Ньютона (1643-1727 гг.), который изучил колоссальное число самых различных функциональных зависимостей и их свойств. Вместо слова функция Ньютон применял термин "ордината". Он сводил изучение геометрических и физических зависимостей к изучению этих ординат, а сами ординаты описывал различными аналитическими выражениями.

Один из самых замечательных математиков XVIII в. - Леонард Эйлер (1707-1783 гг.), - вводя в своем учебнике понятие функции, говорил лишь, что "когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых".

В развитие понятия функции внесли свой вклад французский математик Ж. -Б.Фурье (1768-1830 гг.), русский ученый Н. И. Лобачевский (1792-1856 гг.), немецкий математик Дирихле (1805-1859 гг.) и другие ученые, и общепризнанным стало следующее определение: "Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное определенное значение величины у".

Однако некоторых математиков подобное определение не совсем удовлетворяло. Ведь в нем термин "функция" определяется через понятия, которые достаточно неопределенны и расплывчаты ("зависимость", "соотвествтие"). Некоторое успокоение пришло с созданием теории множеств, начала которой были заложены в конце XIX в. Георгом Кантором. Все вроде встало на свои места. Пусть Х и Y - два множества. Множество F пар Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, где Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно называется функцией, если для любого Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно существует единственное Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, такое, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Концепции теории множеств произвели огромное впечатление на многих математиков, бывших свидетелями зарождения новой теории. Давид Гильберт, известный немецкий математик, сказал о теории множеств: "Я считаю, что она представляет собой высочайшее проявление человеческого гения и одно из самых высоких достижений чисто духовной деятельности человека".

Подводя итоги, следует сказать, что в зависимости от природы множеств Х и Y термин "функция" в различных разделах математики имеет ряд полезных синонимов: отображение, соответствие, преобразование, оператор, функционал и т. д.

Рассмотрим их на простых примерах.

1. Отображение. Когда функцию Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно называют отображением, значение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, которое она принимает на элементе Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, обычно называют образом элемента х. Например, можно задать отображение множества Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно на множество Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно так, что образом элементов 2, 3, 5 будет 2, а 4  3. То есть каждому числу соответствует количество его делителей.

2. Соответствие. Пусть А - множество квадратов. Каждый квадрат Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно имеет сторону вполне определенной длины Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Соответствие Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно порождает функцию.

3. Преобразование. Если на прямой ввести две системы координат Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, имеющие одинаковый масштаб (единицу длины), то координаты х и х' одной и той же точки прямой в этих системах будут связаны соотношением Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, где с - координата начала отсчета в системе Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - называется преобразованием. Такой термин чаще встречается в геометрии и физике.

4. Оператор - это функция, преобразующая одни функции в другие. Например: любой радиоприемник - оператор, преобразующий электромагнитный сигнал, поступающий на вход приемника, в звуковой на его выходе. Среди числовых функций оператором можно назвать функции, задающие геометрические преобразования графиков. Например, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - оператор сдвига функции на величину с.

5. Функции, определенные на функциях и принимающие числовые значения, называют функционалом. Например, любой числовой функции, определенной на отрезке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, поставим в соответствие длину кривой графика этой функции на этом отрезке.

Таким образом, функция - одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т. д. - имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи этих объектов. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциями.

Мы будем изучать числовые функции и их свойства.

М е т о д и ч е с к о е з а м е ч а н и е. Ясно, что лекционный материал такого объема трудно воспринимать. Но, во-первых, слушатели - учащиеся 9 класса, выбравшие этот курс; во-вторых, в процессе рассказа о функциях демонстрируются фрагменты диафильма: "Функция" (математика, 6 кл.) (Ю. Н. Макарычев. Студия "Диафильм". - Москва, 1982 г.), где на конкретных ярких примерах показаны соответствия, отображения; в-третьих, в качестве разрядки ребятам можно предложить следующие вопросы:

1) Прочитайте фамилии известных математиков, внесших свой вклад в формирование понятия "функция", зашифрованные анаграммами:

а) НОТЮНЬ; г) НАКТОР;

б) ЛИДЕРИХ; д) РЕЙЛЭ.

в) ЛОЙБАСИКЧЕВ;

2) Впишите в оставшиеся клетки фамилии известных ученых, внесших свой вклад в развитие понятия "функция".

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

3) Можно также предложить придумать различные степени интенсивности качеств по Оресму, например, у костра жарче, чем у свечи.

И наконец в-четвертых, никто не запрещает учителю сократить данный здесь материал, предложить учащимся часть его найти самостоятельно и т. д.











Занятие 3
Способы задания функций


Цели: повторить и углубить знания о способах задания функций; осуществить эвристические пробы по переходу от одного способа к другому.

Х о д з а н я т и й

У ч и т е л ь. Задать функцию f - значит, указать ее область определения Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, множество значений Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и множество пар Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Поскольку во многих случаях Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно находятся из множества пар Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то достаточно каким-то способом задать эти пары.

Табличное задание функции - частный случай задания функции с помощью пар; таблица - это особая форма записи пар, первые компоненты которых записаны в одном столбце (одной строке), а вторые - в другом.

Например:

х

1

2

3

4

f(x)

12

6

4

3

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Ясно, что табличный способ находит свое применение в практике, те же таблицы Брадиса.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

Назовите Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Является ли заданная в таблице функция - числовой?

З а д а н и е 1. Результаты измерений сопротивления r (Ом) медного стержня при различных значениях температуры t (С) представлены в табл.

t

19,1

25,0

30,1

36,0

50,0

r

76,3

77,8

79,75

80,80

85,10

З а д а н и е 2. Дальность полета вертолетов S (км) задана таблицей:

Марка вертолета

Ми-4П

Ми-6

Ми-8

Ка-18

Ка-26

S

740

810

650

400

304

Задает ли таблица функцию? Числовую функцию? Что в таблице принято за значения аргумента?

Графическое задание функции. Графиком функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно называется изображение на координатной плоскости множества пар Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси Оу, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 3. На рис. 86 изображены графики тормозного пути автомобиля на сухом (I), мокром (II) асфальте и в гололед (III).

1) При каких условиях удлиняется тормозной путь?

2) Каков примерно тормозной путь при каждом состоянии асфальта при скорости 50 км/ч?

3) Какую скорость следует выбрать для безопасного движения:

а) на мокром асфальте;

б) в гололед?

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 86 Рис. 87

З а д а н и е 4. На рис. 87 показано графически влияние доли фосфорной кислоты в растворе при заданной температуре на электрическую проводимость раствора (кривая I при температуре 75 С, кривая II при 25 С). Укажите наибольшую электрическую проводимость в каждом из двух случаев. При какой концентрации раствора она наступает?

Аналитический способ задания функции.

Функция может быть задана в виде формулы Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, где переменная х - элемент множества значений аргумента, а переменная у - соответствующее значение функции.

Можно привести примеры элементарных функций, изученных ранее.

Большинство функций, заданных формулами, пришло из решения конкретных задач.

Например, в листе жести прямоугольной формы (длина сторон а = 600 мм, b = 400 мм) нужно вырезать прямоугольное отверстие, площадь которого S = 800 см2, а края должны быть на одинаковом расстоянии от краев листа. Вычислите это расстояние.

Р е ш е н и е:

Пусть искомое расстояние х мм, тогда Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, при данных а и b.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно задает формулу для решения всех задач такого типа.

Если подставить S, то найдем искомое х, решив уравнение:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

х1 = 100

х2 = 400.

Очевидно, что 400 мм не удовлетворяет условию.

О т в е т: 100 мм.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 5. Всякое оборудование в процессе эксплуатации изнашивается, его ценность при этом уменьшается. Пусть первоначальная стоимость оборудования А0 руб. уменьшается на k % в год. Составьте формулу стоимости оборудования в процессе его эксплуатации.

О т в е т: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, где t - количество лет.

З а д а н и е 6. Задайте формулой функции, заданные табличным способом:

а)

x

-2

-1

0

1

2

y

-4

-3

-2

-1

0

О т в е т: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

б)

х

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

0

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно


у

6,25

4

2,25

1

0,25

0

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

О т в е т: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 7. Задайте формулами функции, изображенные на рис. 88.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 88

О т в е т: а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 8. По таблице значений переменных х и у определите вид зависимости между ними:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Далее можно предложить ребятам самим загадать соседу функцию.





Занятие 4
Четные и нечетные функции

Цели: сформировать понятие четности и нечетности функций; научить определять и использовать эти свойства.

Х о д з а н я т и я

У ч и т е л ь. Рассмотрим функцию Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Эта функция определена на множестве R действительных чисел и обладает свойством Элективный курс Функция: просто, сложно, интересноЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то есть вообще Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно для любого Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Такие функции называются четными.

О п р е д е л е н и е: Функция f, заданная на множестве Х, называется четной, если для любого xX верно равенство f(-x) = f(x).

Выполнение равенства Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно означает, что для любого Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то есть область определения четной функции есть множество, симметричное относительно нуля. Значит, если функция задана на несимметричном относительно О множестве, она не является четной. Например, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - несимметрична относительно О, значит, функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно не является четной. Отсюда следует такое правило.

А л г о р и т м в ы я с н е н и я ч е т н о с т и ф у н к ц и и.

1. Найти Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

2. Выяснить, симметрична ли Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно относительно О.

3. Выяснить, выполняется ли равенство Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Например. Исследуйте на четность функцию

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

1. Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

2. Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно симметрична относительно О.

3. Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - функция h четная.

Докажем, что график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - произвольная точка графика G четной функции f с областью определения Х. Тогда Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, но и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то есть точка Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Но точки Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно симметричны относительно оси Оу. Значит, вместе с каждой своей точкой Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно график G четной функции содержит и симметричную относительно оси Оу ей точку, то есть график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Это свойство графика четной функции находит свое отражение в задачах.

Например.

1. Построить график функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, если известно, что f - четная функции и задана часть графика для Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно (см. рис. 89).

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 89


2. Среди функций на рис. 90 найдите четную (ЕГЭ - 2002).

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 90

Ответ: 1)

О п р е д е л е н и е. Функция g, заданная на множестве X, называется нечетной, если для любого xX верно равенство g(-x) = -g(x).

Алгоритм выяснения нечетности.

1. Найти Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

2. Выяснить, симметрична ли Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно относительно О.

3. Выяснить, выполняется ли равенство Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Ясно, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Учащимся вполне по силам доказать это самостоятельно.

П р и м е р. Доказать, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - нечетная.

1. Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

2. Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - симметрична относительно О.

3. Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Рассмотрим свойства четных и нечетных функций.

1. Пусть f - функция, заданная на множестве Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, где а - некоторое положительное число или знак , принимает положительные значения при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Тогда:

а) если f - четная функция, то при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно значения ее положительны;

б) если f - нечетная, то при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно значения функции отрицательны.

Это следует, например, из симметрии графиков.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 1. Докажите, что функция f - четная, а функция g - нечетная, если:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; е) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 2. Исследуйте на четность функцию:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; е) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а) ни четная, ни нечетная; б) нечетная; в) четная; г) четная; д) нечетная, е) четная.

З а д а н и е 3. Докажите, что если график функции f.

а) симметричен относительно оси У, то f - четная функция;

б) симметричен относительно начала координат, то f - нечетная функция.

Р е ш е н и е.

Докажем п. б).

Вместе с точкой Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно графику функции принадлежит точка Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то есть Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Что и требовалось доказать.

З а д а н и е 4. Даны функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Найдите:

а) область определения функции f;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

в) пересечение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

г) исследуйте Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно на четность.

Р е ш е н и е.

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то есть Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то есть Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно или Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - симметрична относительно нуля;

г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно,  - четная функция

З а д а н и е 5. Известно, что f - четная функция и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Найдите Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: 8; 12; 3.

З а д а н и е 6. Известно, что g - нечетная функция и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Найти Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: 5; -3; -7.

З а д а н и е 7. Значение выражения Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно равно 13,57728. Найдите значение этого выражения при х = 0,8.

У к а з а н и е: убедиться, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - четная.

З а д а н и е 8. Постройте график четной функции, если при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно ее значения могут быть найдены по формуле:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 9. Постройте график нечетной функции g, если известно, что ее значения при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно могут быть найдены по формуле:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 10. Почему график нечетной функции не может пересекать ось Оу в точке, отличной от начала координат?

О т в е т: одному значению х = 0 будет соответствовать 3 значения у.

З а д а н и е 11. При каком условии линейная функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно является:

а) нечетной; б) четной функцией?

О т в е т: а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 12. Может ли функция быть одновременно четной и нечетной?

О т в е т: нет.

З а д а н и е 13. Известно, что f и g - четные функции. Является ли четной функция:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а), б), в), г) - четная.

З а д а н и е 14. Известно, что f и g - нечетные функции. Исследуйте на четность функцию:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а), б) - нечетные; в), г) - четные.

З а д а н и е 15*. Исследуйте на четность функции:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а), в) - четные; б) - нечетная.

З а д а н и е 16*. Исследуйте на четность функцию:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а) - нечетная; б) - четная.






Занятие 5
Монотонность функции


Цели: осознать понятие "возрастание", "убывание" функции; научить находить промежутки монотонности по графику и формулам.

Х о д з а н я т и я

Рассмотрим график функции (рис. 91).

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 91

По графику функции видно, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

На множестве Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно с возрастанием аргумента, возрастают и значения функции.

На множестве Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно с возрастанием аргумента значения функции убывают.

О п р е д е л е н и е. Функция f называется возрастающей на множестве Х, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.

Функция f называется убывающей на множестве Х, если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции.

Иначе эти определения формулируются так: функция f называется возрастающей на множестве Х, если для любых двух значений аргумента х1 и х2 множества Х, таких, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, выполняется неравенство Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Очевидно, что для убывающей на Х функции из условия Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно следует Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Функция возрастающая на множестве Х или убывающая на этом множестве называется монотонной на множестве Х.

Свойства монотонности функций

С в о й с т в о 1. Монотонная функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Допустим, что это утверждение неверно, то есть существует Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, где f - монотонная (строго возрастающая или строго убывающая функция). Пусть для определенности Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Тогда из возрастания функции f следует, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. А если функция f убывает, то Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Таким образом, равенство невозможно.

С в о й с т в о 2. Если функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно монотонная на множестве Х и сохраняет на этом множестве знак (то есть все ее значения являются положительными или отрицательными), то функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно имеет на множестве Х противоположный характер монотонности.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастающая на множестве Х. Возьмем на множестве Х значения Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, такие, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и рассмотрим разность Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; рассмотрим Элективный курс Функция: просто, сложно, интересноЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересно, значит Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то есть функция g убывает на Х.

Случай убывания f учащиеся рассматривают самостоятельно.

С в о й с т в о 3. Пусть f - монотонная функция на множестве Х и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при всех Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Тогда:

1) Если функция f возрастает на множестве Х, то функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно также возрастает на множестве Х;

2) если функция f убывает на множестве Х, то функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно также убывает на множестве Х.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, где Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Из курса алгебры известно, что из условия Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно следует Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Тогда для возрастающей функции из условия Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно следует Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то есть функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастает.

Убывание рассматривается аналогично.

С в о й с т в о 4. Монотонная функция обратима.

О п р е д е л е н и е. Функции f и g называются взаимно обратными, если:

1) область определения функции f совпадает с множеством значений функции g;

2) множество значений функции f совпадает с областью определения функции g;

3) y0 = f(x0) тогда и только тогда, когда x0 = g(y0) (для любого х0 из области определения функции f и любого y0 из области определения функции g).

Свойство 4 следует из свойства 1, так как каждому значению функции f будет соответствовать единственное значение аргумента Х. То есть можно задать функцию g, отвечающую выше приведенным условиям.

З а м е ч а н и е. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х.

П р и м е р 1. Докажите, что функция y = 7x + 2 возрастает на R.

Р е ш е н и е:

Пусть Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Тогда Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Найдем разность Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Значит Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то есть функция у возрастает.

П р и м е р 2. Докажите, что функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно убывает на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и возрастает на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Р е ш е н и е:

Пусть Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно из области определения функции.

Тогда Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Оценим знак разности исходя из условий задачи.

а) Если Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, а так как знаменатель дроби тоже больше 0, то дробь больше нуля, то есть из условия Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно следует, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и функция возрастает при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Если Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то есть Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, значит, числитель дроби - отрицательное число, знаменатель дроби - положительное число и дробь отрицательна. Значит, на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно функция убывает.

П р и м е р 3. Вычислить характер монотонности функции

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

I способ.

Раскроем модуль по определению:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Ясно, что у = 4 - постоянная функция.

Остается выяснить поведение функций Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Это можно сделать по определению возрастания и убывания (см. пример 1) или можно вспомнить, что линейная функция при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастает, а при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно убывает.

О т в е т: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно убывает на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

II способ.

Построим график линейного сплайна (см. рис. 92).


Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 92


x

-3

-2

2

3

y

6

4

4

6

О т в е т: у возрастает при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; у убывает при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

П р и м е р 4. Найдите функцию, обратную функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, где Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Р е ш е н и е:

На промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно данная функция убывает.

Ребята легко проверяют это самостоятельно. Для получения формулы функции, обратной данной, заменим переменную х на у, у на х в аналогическом задании функции и из полученной формулы выразим у:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Решим квадратное уравнение относительно у.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Для того чтобы выбрать знак перед радикалом, обратим внимание на область определения данной в задании функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; по определению обратной функции, этот промежуток - множество значений искомой функции, значит Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Заметим, что нам легко найти множество значений первоначальной функции. Для этого найдем область определения Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Значит, таково множество значений данной функции.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 1. Существуют ли функции, имеющие симметричную относительно нуля область определения и являющиеся:

а) четными убывающими;

б) нечетными убывающими;

в) четными возрастающими;

г) нечетными возрастающими.

Приведите примеры.

З а д а н и е 2. На рис. 93 изображен график функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 93 Рис. 94

З а д а н и е 3. Функция f является возрастающей и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Может ли она быть:

а) всюду положительной;

б) всюду отрицательной.

Приведите графические примеры.

З а д а н и е 4. Постройте график функции, которая бы возрастала на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и убывала на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: два из возможных графиков изображены на рис. 94.

Необходимо обязательно разъяснить ребятам, что ответ не будет однозначным.

З а д а н и е 5. Приведите примеры физических и химических процессов, которые можно описать с помощью монотонных и немонотонных функций.

З а д а н и е 6. Функции f и g возрастают на промежутке Х. Верно ли, что функции:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастают на Х?

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно убывают на Х?

З а д а н и е 7. Используя определения возрастания и убывания функции на промежутке докажите, что функция:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 8. Используя определения возрастания и убывания функции на промежктке, докажите, что функция:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 9. Построив график функции, определите промежутки возрастания и убывания функции:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

З а д а н и е 10. Укажите, какие из функций, заданных графически на рис. 95, обратимы, какие - необратимы.

Постройте графики функций, обратных обратимым.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

З а д а н и е 11. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обратной функции. Постройте графики данной и обратной функции в одной системе координат.

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 12. Функция задана с помощью пар:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Является ли соответствие, обратное данному, функцией?

З а д а н и е 13. Покажите, что функции являются обратимыми и обратны каждая себе:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Каковы особенности графика функции, обратной самой себе?

Р е ш е н и е:

1. Докажем обратимость:

Пусть Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно из Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Тогда рассмотрим

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно,

так как знаменатель будет положительным для любых Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно из Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и любых Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно из промежутка Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

2. Переобозначим:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 14. Верно ли, что графики взаимно обратных функций могут пересекаться на прямой у = х?










Занятие 6
Ограниченные и неограниченные функции

Цели: ввести понятие "ограниченность функций", "наибольшее и наименьшее значения функций"; учить осуществлять эвристические пробы по нахождению множества значений функции.

Х о д з а н я т и я



У ч и т е л ь. Рассмотрим рис. 96.

На нем изображен график функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

График этой функции полностью заключен между прямыми y = -3 и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Для всех значений аргумента Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно выполняеся условие Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.(*)

Очевидно что неравенство (*) легко можно заменить -3  f(x)  3 или - 4  f(x)  4. Все они будут верными. Тогда легко понять определение.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 96

О п р е д е л е н и е. Функция f, называется ограниченной на множестве X, если существует таое число c > 0, что для любого значения аргумента xX выполняется равенство |f(x)|c.

Например, функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно ограниченная, для всех Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, так как Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно тоже ограниченная.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересноЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то есть Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, значит, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, в силу возрастания функции у.

Если функция не ограничена на множестве Х, то она называется неограниченной на этом множестве.

Например, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - неограниченная функция, это легко видно графически.

Можно рассматривать функции, ограниченные снизу или сверху. Например, функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно ограничена снизу. Очевидно, что для всех х, отличных от 0, значения этой функции положительны. А функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно ограничена только сверху и неограничена снизу.

С понятием ограниченности находится рядом понятие "наибольшее или наименьшее значение функции".

О п р е д е л е н и е. Если функция f на множестве X имеет наименьшее значении, то это означает, что на множестве X найдется такое х = а, что при всех xX выполняется неравенство f(а)f(x).

О п р е д е л е н и е. Если функция f на множестве X имеет наибольшее значении, то это означает, что найдется такое х = а, что при всех xX выполняется неравенство f(а)f(x).

Очевидно, что если функция имеет наибольшее или наименьшее значение, то она ограничена. Обратное утверждение неверно. Например, функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно ограничена снизу. Но наименьшего значения она не имеет.

Докажем это. Допустим противное, то есть что найдется такое Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно для всех Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Рассмотрим Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Тогда Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то есть нашлось х такое, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Что противоречит условию, так как Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - наименьшее значение функции. Значит, наименьшего значения эта функция не имеет.

П р и м е р 1. Доказать, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно ограниченная. Найдем множество значений этой функции.

I способ. Очевидно, что эта функция возрастающая, значит обратима. Найдем обратную функцию и область ее определения - множество значений данной функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Область ее определения Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, значит, значения функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно не превосходят по модулю 1, то есть функция f ограничена .

З а м е ч а н и е. Ясно, что f(0) = 0, то есть 0 тоже входит во множество значений функции f. Обратная функция на самом деле имеет вид:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Очевидно, что это решение довольно трудное. Возможно, легче будет другой способ.

II способ.

Пусть Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - произвольное значение f. Это число является значением функции f, если уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно имеет корни. Решим его. Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. При Элективный курс Функция: просто, сложно, интересноЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то есть уравнение имеет корень, равный 0. При Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно уравнение квадратное, D = 1 -
Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Значит, при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно уравнение имеет корни, то есть область значений функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - функция ограничена.

П р и м е р 2. Исследуйте на ограниченность Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Раскроем модуль по определению:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Ясно, что функция ограничена снизу.

Можно было построить график линейного сплайна и увидеть это.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 1. Исходя из графических представлений, выясните, ограничены ли функции:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

О т в е т: а), б) - неограничены; в), г), д) - ограничены снизу.

З а д а н и е 2. Найдите область значений функции, сделайте вывод о ее ограниченности.

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, ограничена снизу; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, ограничена снизу; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, ограничена; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, не ограничена.

З а д а н и е 3. Найдите множество значений функции:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; О т в е т: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; О т в е т:Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Р е ш е н и е. Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в ет: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Р е ш е н и е. Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; так как Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно принимает значения Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 4. Найдите множество значений функции:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Р е ш е н и е:

Найдем функцию, обратную Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Чтобы ее множество значений было Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, надо, чтобы был Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то есть множество значений первоначальной функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Найдем функцию, обратную Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, это Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Из первоначального условия Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно следует, что в обратной функции область определения Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, что является множеством значений данной.

Объединив полученные промежутки, имеем: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Р е ш е н и е:

Рассмотрим Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; выясним, является ли она монотонной на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Пусть Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, тогда Элективный курс Функция: просто, сложно, интересноЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересноЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Первая скобка меньше нуля из условия Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, а вторая меньше нуля из условия, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, значит Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Поэтому произведение положительно, и значит, что на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастает; значит, ее значения принадлежат Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Аналогично, на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно убывает; значит, ее значения принадлежат Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Объединив полученные промежутки, имеем: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Ответ: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Р е ш е н и е:

Построим график заданной функции (см. рис. 97).

О т в ет: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 97


З а м е ч а н и е. Очевидно, каждое из заданий этого номера можно решить всеми указанными способами. Надо побуждать ребят к применению различных способов решения одного и того же задания.

З а д а н и е 5. Найдите наибольшее значение функции и значение аргумента при котором оно достигается:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, если Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 6. Найдите наименьшее значение функции и значение аргумента, при котором оно достигается:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а) унаим. = Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) унаим. = Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 7. Приведите пример непрерывной монотонной функции f с областью определения Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, у которой Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - наименьшее значение функции; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - наибольшее значение функции.

З а д а н и е 8. Известно, что непрерывная функция f на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастает. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f и область ее значений.











Занятие 7
Исследование функций
элементарными способами


Цели: составить схему исследования функции, исследовать по схеме элементарные функции.

Х о д з а н я т и я

У ч и т е л ь. В младших классах мы легко читали информацию по графику функции. Сейчас добавился ряд свойств, которые также хорошо видны на графике, то есть он дает наиболее наглядное представление о функции. Но если функция задана таблицей или аналитически, то построить график труднее. Надо провести ее исследование.

В процессе эвристической беседы составляется схема исследования функции.

Схема исследования функции

1) Найти область определения функции. Если она явно не указана, то речь идет о допустимых значениях независимой переменной в данной формуле.

2) Выяснить четность (нечетность) функции. Достаточно исследовать ее при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно в случае положительного ответа.

3) Найти множество значений функции.

4) Найти нули функции и промежутки, в которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

5) Найти промежутки возрастания и убывания функции.

6) Можно выяснить поведение функции при стремлении х к Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Для этого надо знать, является ли функция непрерывной. По этому поводу есть несколько утверждений:

Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, где Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - многочлен, является непрерывной функцией на всей области ее определения, то есть на множестве R.

График функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, где Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - многочлены имеет разрывы в точках, в которых многочлен Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно обращается в нуль. Если многочлен Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно не имеет корней, то функция  непрерывна на множестве R.

П р и м е р. Исследовать функцию Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

1) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, так как Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно не обращается в нуль ни при каком х.

2) Так как область определения симметрична относительно нуля, проверим функцию на четность и нечетность.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - четная.

3) Найдем множество значений.

Так как Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, но Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, значит Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Значит, 1 - наибольшее значение функции.

Наименьшего значения у функции нет.

Функция ограничена.

4) Так как Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то нулей нет и функция положительна при любом значении х.

5) Ясно, что при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересноЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастает, тогда функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно убывает при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Значит, при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно наша функция убывает, а в силу четности при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно функция возрастает.

6) Если Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то знаменатель функции тоже стремится к Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, а значит, функция будет принимать очень маленькие значения, то есть стремиться к 0.

Проведенное исследование поможет легко построить и график функции. Но такая задача на этом занятии не стоит.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 1. Найдите область определения функции:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 2. Является ли четной или нечетной функция:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а) нечетная; б) четная; в) нечетная; г) ни четная, ни нечетная.

З а д а н и е 3. Найдите множество значений функции:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно или Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересноЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 4. Найдите нули функции и промежутки знакопостоянства:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: нули х = 2; х = 7; функция положительна при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно,Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; функция отрицательна, если xЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 5. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а) убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

З а д а н и е 6. Проведите исследование функции.

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, функция нечетная, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, функция четная, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, функция четная, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.









Занятие 8
Построение графиков функций


Цели: показать практическое применение предварительного исследования функций, заданных формулами для наглядного представления их с помощью графиков и более подробного исследования с его помощью.

Х о д з а н я т и я

Ясно, что исследование функции по схеме дает о ней некоторое представление, но часто кажется ребятам просто гимнастикой ума. Поэтому на этом занятии надо научить их применять исследование для построения графика.

П р и м е р 1. Пусть дана функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Исследуем ее.

1) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

2) Функция нечетная, так как Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

3) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

4) Нулей нет. При Элективный курс Функция: просто, сложно, интересноЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

5) Пусть Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, тогда Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересноЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

При Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно это произведение отрицательно.

При Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно это произведение положительно.

Значит, функция убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

6) Если Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Если Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, то Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Исходя из этих данных, можно построить график функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно (см. рис. 98).

Возьмем дополнительные точки:

х

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

1

2

4

у

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

2

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Вторая ветвь графика получается с помощью симметрией относительно начала координат, в силу нечетности функции.

Очевидно, что график дает возможность добавить некоторые свойства функции.

Определение. Точка Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно из области определения функции f называется точкой максимума этой функции, если существует такая окрестность точки Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, что для всех Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно из этой окрестности Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 98


Окрестностью точки Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно называется отрезок Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, где а - некоторое маленькое пложительное число.

О п р е д е л е н и е. Точка x0 из области определения функции f называется точкой минимума этой функции, если существует такая окрестность точки x0, что для всех х  x0 из этой окрестности f(x) > f(x0).

Заметим, что точки Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно полностью удовлетворяют этим определениям. Пусть Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, тогда окрестность точки 1 - отрезок Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; для всех точек этого отрезка Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, значит Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - точка минимума. Аналогично, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - точка максимума функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремумами функции.

Заметим, что при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно график приближается к оси ординат, а при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно график приближается к прямой у = х.

Эти прямые называются асимптотами графика функции.

О п р е д е л е н и е. Асимптотой называется прямая линия, к которой неограниченно приближается график функции по мере удаления его от начала координат в бесконечность.

П р и м е р 2. Построить график функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Исследуем функцию по схеме.

1) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Точки Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - точки разрыва.

2) Ввиду несимметричности области определения функция не может быть ни четной, ни нечетной.

3) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно найти довольно трудно. Пусть b - некоторое значение функции. Найдем, для каких b функция существует.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интереснодля любого b.

Значит, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

4) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Для определения промежутков знакопостоянства решим неравенство Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; получим, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и соответственно Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

5) Рассмотрим Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интереснона каждом из интервалов Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Эта разность положительна при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Значит, функция возрастает на каждом интервале.

6) При Элективный курс Функция: просто, сложно, интересноЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересно, при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно слева Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно справа Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно аналогично. Исходя из полученного исследования, построим график (см. рис. 99).

Добавим, глядя на график, что прямые Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно являются вертикальными асимптотами графика функции.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 99

Эта функция не имеет экстремумов.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 1. В результате исследования некоторой функции выяснилось, что:

1) D(f):(-; +);

2) f - четная, непрерывная функция;

3) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

4) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

5) функция f возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

6) при x > + ∞ Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Изобразите схематически график функции (см. рис. 100).

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 100

З а д а н и е 2. Проведите исследование и постройте график функции:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т:

а) 1) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

2) четная;

3) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

4) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно для любых х;

5) убывает на промежутке [0; +), возрастает на промежутке

(-; 0];

6) при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересноЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересно (рис. 101)

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно


Рис. 101

б) 1) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

2) четная;

3) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

4) нулей нет, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно всегда;

5) убывает на промежутке (-; 0], возрастает на промежутке

[0; +);

6) при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересноЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересно (см. рис. 102).

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно


Рис. 102

в) 1) D(f) = [-4; 4];

2) четная;

3) E(f) = [0; 4];

4) у = 0 при х = ± 4;

5) убывает при х[0; 4], возрастает при х[-4; 0];

6) при х = 0 у = 4 - наибольшее значение (рис. 103).

г) 1) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

2) четная;

3) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

4) Элективный курс Функция: просто, сложно, интереснопри Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

5) на промежутке [4; +) f возрастает, на промежутке (-; -4]

f убывает.

6) при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересноf(x)  +  (см. рис. 104).

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 103 Рис. 104

З а д а н и е 1. Постройте график функции и по графику исследуйте функцию:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

О т в е т:

а) См рис. 105.

1) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

2) у - ни четная, ни нечетная;

3) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, у ограничена сверху; наибольшее значение 3;

4) у = 0 при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, х = -1, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интереснопри Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интереснопри Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

5) у возрастает при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

у убывает при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

6) точки минимума: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

минимумы: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

точки максимума: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, х = 0, х = 2, х = 4;

максимумы: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 105


б) См. рис. 106;

1) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

2) у - четная.

3) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, ограничена снизу, наименьшее значение у = 0;

4) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

5) у возрастает при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

у убывает при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

6) точки минимума: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; минимум: у = 0;

точки максимума: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; максимум: у = 1.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно


Рис. 106

Занятие 9
Функционально-графический метод
решения уравнений


Цели: закрепить знания и умения по исследованию функций и построению графиков в практической ситуации при решении уравнений.

Х о д з а н я т и я

Ребята должны понять, что исследование функций и построение графиков порой существенно облегчает решение уравнений, позволяет определить число корней, угадать значения корня.

У ч и т е л ь. Для того чтобы решить уравнение с одним неизвестным графическим способом, нужно, перенося все его члены в левую часть, представить это уравнение в виде Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. После этого необходимо построить график функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Абсциссы точек пересечения или касания этого графика с осью х равны корням исходного уравнения. Если таких точек нет, то уравнение не имеет решений.

В ряде случаев при решении уравнений с одним неизвестным целесообразней воспользоваться другим способом. Для этого уравнения записывается в виде Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и заменяется системой Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно решаемой графически. Абсциссы точек пересечения или касания графиков f1(x) и f2(x) равны корням исходного уравнения.

В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить опорой на какие-либо свойства функций.

Если, например, одна из функций Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастает, а другая убывает, то уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно либо не имеет корней, либо имеет один корень, который иногда можно угадать. Или другая разновидность функционально-графического метода: если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно равносильно системе Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

П р и м е р 1. Решить уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Изобразим в одной системе координат (см. рис. 107) графики функций Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Графики пересеклись в точке (-1; 2). Следовательно, корень данного уравнения Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 107


П р и м е р 2. Решить уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Перепишем уравнение в виде Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Очевидно, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно является корнем данного уравнения. А в силу того, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастает на R, а Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно убывает на R, других корней нет.

П р и м е р 3. Решить уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Наименьшее значение функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно равно 0, наибольшее значение функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно также равно 0.

Значит, уравнение равносильно системе Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Отсюда Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - корень уравнения.

П р и м е р 4. (ЕГЭ).

Нечетная функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно определена на всей числовой прямой. Для всякого неположительного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Сколько корней имеет уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно?

Р е ш е н и е.

Ясно, что Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

В силу нечетности Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно будет равна 0 в точках Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, так как ее график симметричен относительно начала координат. То есть уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно имеет 3 корня.

З а д а н и я д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

З а д а н и е 1. Решите уравнение:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а) х = 1 - подбором, слева возрастающая функция, справа - убывающая, значит, других корней нет; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, слева - функция возрастающая на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, справа - постоянная, других корней нет.

З а д а н и е 2. Решите уравнение:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно (см. рис. 108); б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно (см. рис. 109).

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 108 Рис. 109

З а д а н и е 3. Известно, что уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, где Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - четная функция, область определения которой - множество действительных чисел, имеет пять корней. Докажите, что среди корней есть число 0.

З а д а н и е 4. Решите уравнение:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: а)Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, слева ограниченная функция, множество значений Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, справа наименьшее значение 1; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, наибольшее значение слева 3, справа наименьшее значение тоже 3.

После изучения нескольких тем можно и нужно проводить контроль знаний учащихся с помощью тестов, возможные варианты которых предлагаются ниже.

Поскольку в двух из них содержится по 5 заданий, то критерий их оценки соответствует 5-балльной системе. При 10 заданиях "отлично" ставится за 10 заданий; "хорошо" - 8-9 заданий; "удовлетворительно" - 5-7 заданий.


Тест 1
Понятие функции, способы задания

В а р и а н т I

1. Вычислите значение функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно в точке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) 2; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

2. Найдите недостающую координату точки Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, если она принадлежит графику функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

3. Найдите область определения функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) (-; 1]; г) (-; -1].

4. Зависимость Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно имеет вид либо Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, либо Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, либо Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Задайте формулой функцию, заданную парами Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

5. Постройте график функции, заданной формулой

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Ключ к тесту:

1

2

3

4

5

б

а

в

в

см. рис. 110

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 110



В а р и а н т II

1. Вычислите значение функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а)1; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) 2.

2. Найдите недостающую координату точки Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, если она принадлежит графику функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) 1; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) 2; г) 4.

3. Найдите область определения функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

4. Зависимость Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно имеет вид либо Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, либо Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, либо Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Задайте формулой функцию, заданную парами Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

5. Постройте график функции, заданной формулой:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Ключ к тесту:

1

2

3

4

5

б

а

г

а

см рис. 111

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 111





















Тест 2
Свойства функции

В а р и а н т I

1. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно задана графиком на отрезке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Укажите множество ее значений (см. рис. 112):

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 112

2. Укажите график нечетной функции (см. рис. 113):

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 113


3. Функция задана графиком на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Укажите расстояние между точками экстремумов:

а) 0; б) 5; в) 3; г) 4.

4. Укажите рисунок, на котором изображен график функции, принимающей на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно только положительные значения.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 114

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 115

5. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно задана графиком на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Укажите наибольший промежуток, на котором функция убывает:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Ключ к тесту:

1

2

3

4

5

б

б

г

б

в

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 116

В а р и а н т II

1. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно задана графиком на отрезке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Укажите множество ее значений (см. рис. 117):

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 117

2. Укажите график четной функции (см. рис. 118):

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 118

3. Функция задана графиком (рис. 119). Укажите количество точек минимума:

а) 5; б) 4; в) 3; г) 0.

4. Функция задана графиком (рис. 120). Укажите промежуток, на котором она принимает только отрицательные значения:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 119 Рис. 120

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; 4) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

5. Укажите промежуток возрастания функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, заданной графиком на отрезке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно (рис. 121).

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Ключ к тесту:

1

2

3

4

5

а

в

в

а

б

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 121

Тест 3

В а р и а н т I

Установите, истинные или ложные следующие утверждения:

1. Область определения функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - это промежуток Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

2. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - четная.

3. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - ограниченная.

4. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастает при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

5. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно убывает на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и на промежутке

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

6. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно имеет нули Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

7. Функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно являются взаимно обратными.

8. Множество значений функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - промежуток Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

9. Уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно имеет 2 корня: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

10. Решением уравнения Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно являются числа Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т ы:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ист.

ист.

ложн.

ист.

ист.

ист.

ложн.

ист.

ложн.

ложн.

Установите, истинные или ложные следующие утверждения:

В а р и а н т II

1. Область определения функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

2. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно - нечетная.

3. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно ограничена снизу.

4. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно убывает при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

5. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастает при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

6. Функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно имеет нули Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

7. Функции Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно взаимно обратные.

8. Множество значений функции у = 8 - х2 - промежуток (-; 8].

9. Корнями уравнения Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно являются числа Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

10. Решением уравнения Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно являются числа Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т ы:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ист.

ист.

ист.

ист.

ложн.

ист.

ложн.

ист.

ложн.

ложн.



Занятие 10
Игра "восхождение на вершину знаний"

Цели: создать ситуацию успеха в процессе проверки, коррекции и демонстрации знаний, умений и навыков.

Правила игры.

Все учащиеся, посещающие курсы, делятся на группы по 2-4 человека. Для выстраивания маршрута вдоль горы к вершине знаний ребятам предлагается подкинуть кубик, на гранях которого написаны задания.

Найдите значения функции в точке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно:

1) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; 4) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

2) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; 5) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

3) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; 6) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т: 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5; 6) 6.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 122 Рис. 123



Ясно, что ответ, полученный ребятами, показывает, в каком порядке им предстоит выполнять задания, то есть определяет маршрут движения по горе (рис. 122). Задания ребята выбирают сами, отрывая один из лепестков цветка, на обороте которого записано задание (рис. 123).

Ответы, полученные группой, проверяет учитель, он же отмечает флажками на рисунке горы скорость продвижения группы.

На одном из этапов каждая группа должна оформить решения у доски, изложив при этом теоретический материал. Так как на каждом этапе каждая группа выполняет задание из разных тем, то очевидно, что на доске окажется панорама тем, изученных на курсе. Во время выступления групп у доски ребята набирают баллы индивидуально за заданный уточняющий вопрос, с целью помочь ответить товарищам (1 балл) или за дополнение ответа (1 балл). Кроме того, за проход каждого этапа вместе с группой ребята получают баллы - 5 баллов за I этап и далее на 1 балл больше за каждый следующий.

В о з м о ж н ы е э т а п ы.

I. "Задай функцию формулой".

II. "Четно или нечетно".

III. "Возрастает? Убывает!"

IV. "Прочитай свойства".

V. "Исследуй функцию".

VI. "Построй график".

I. "Задай функцию формулой".

На обороте лепестков цветка с сердцевиной I записаны следующие задания:

Функция задана таблицей и может быть записана в виде одной из формул: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, где Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Запишите соответствующую формулу.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

О т в е т: а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

II. "Четно или нечетно".

На обороте лепестков цветка с цифрой II на сердцевине записаны следующие задания:

Выясните, четной или нечетной является функция:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

О т в е т: а, в - четные; б, г, д - нечетные.

III. "Возрастает? Убывает?"

Цветок с цифрой III.

Докажите, что функция:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастает на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно убывает на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастает на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно убывает на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно возрастает на R.

IV. "Прочитай свойства".

Цветок с цифрой IV.

Ребятам предлагаются графики (рис. 124-128), по которым они должны прочитать свойства функции, записанные в схеме исследования, а также добавить все, что они могут прочитать, и ответить на вопрос: "Сколько корней имеет уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно?".

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

а = -2 а = 3

Рис. 124 Рис. 125

О т в е т:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

ни четная, ни нечетная; возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; точки максимума: Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и 4; точка минимума: 0.

Уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно имеет

3 корня.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интереснопри Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

О т в е т:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

ни четная, ни нечетная возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

точка максимума: 4; точка минимума: 1.

Уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно имеет 1 корень.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интереснопри Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно,

Элективный курс Функция: просто, сложно, интереснопри Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.


Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

а = -2 а = 3

Рис. 126 Рис. 127


О т в е т:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

ни четная, ни нечетная;

возрастает при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, убывает при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

О т в е т:

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

ни четная, ни нечетная;

возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Элективный курс Функция: просто, сложно, интереснопри Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интереснопри Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интереснопри Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно имеет

4 корня.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интереснопри Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интереснопри Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интереснопри Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Уравнение Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно имеет

4 корня.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

V. "Исследуй функцию".

Цветок с цифрой V.

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

О т в е т: д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; ни четная ни нечетная; f возрастает на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

V. "Исследуй функцию".

Цветок с цифрой V.

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

О т в е т: д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; ни четная ни нечетная; f возрастает на промежутке Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно; Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно при Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

VI. "Построй график".

Цветок с цифрой VI.

Используя приведенные ниже свойства функции, постройте график непрерывной функции:

а) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

В левом конце функция принимает наибольшее значение, 2 - единственная точка экстремума (см. рис. 129).

б) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

f убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно,

f возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Принимает отрицательные значения в точках xЭлективный курс Функция: просто, сложно, интересно(1; 2]

(см. рис. 130 (а, б).

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 129 Рис. 130


в) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно,

убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Нули функции при х = 0 и х = 3
(см. рис. 131).

г) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно,

убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно, Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 131

Нули функции при х = -1 и х = 3 (см. рис. 132).

д) Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно;

возрастает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно и Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно,

убывает на Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно.

Нули функции при х = 0 и х = 4 (см. рис. 133).

Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно

Рис. 132 Рис. 133

Ясно, что группы не смогут закончить выполнение своих заданий одновременно, поэтому заранее готовятся карточки с занимательными вопросами по изученным темам.

Например:

а) Дана функция Элективный курс Функция: просто, сложно, интересно. Напишите в порядке взрастания числа f(-30), f(50), f(0), f(1), f(-5), f(10), f(-51).

б) Задумана степенная функция с натуральными показателями. Придумайте один вопрос, который достаточно задать для установления ее четности или нечетности.


Занятие 11
Представление
"Портфеля достижений"


Цели: создание ситуации успеха в процессе оценки и самооценки знаний по темам курса.

Начиная с 5-6 занятия слушатели курса могут готовить к представлению "портфеля достижений". Если учащийся его подготовил, то на любом занятии он может его представить. Поэтому на последнем занятии часть доски, стенды уже украшены достигнутыми ребятами результатами работы; некоторые выступают повторно (с самыми интересными сообщениями), некоторые только представляют то, чего они достигли.

На этом же занятии можно провести тест, проверяющий уровень интереса к данному курсу, и выставить зачеты.


Литература


1. Баранова, Т., Кочетков, К., Семенов А. Школьный интеллектуальный марафон. Математика // Прил. К газете "Первое сентября", № 5, 33, 1995., № 35, 1999., № 34, 2004.

2. Виленкин, Н. Я. Функции в природе и технике. Книга для внеклассного чтения IX-X кл. - М.: Просвещение, 1978. - 192 с.: ил.

3. Галицкий, М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, М. И. Звавич. - М.: Просвещение, 1992. - 271 с.: ил. ISBN 5-09-003875-9.

4. Депман, И. Я., Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1989. - 287 с.: ил. ISBN 5-09-000412-9.

5. Доброва, О. Н. Задания по алгебре и математическому анализу: Пособие для учащихся 9-11 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 1996. - 352 с.: ил. ISBN 5-09-007091-1.

6. Дорофеев, Г. В., Бунимович, Е. А., Кузнецова, Л. В., Мишаева, С. С., Суворова, С. Б., Мищенко, Т. М., Рослова, Л. О. Курс по выбору для IX класса. "Избранные вопросы математики" // Журнал "Математика в школе", № 10, 2003. - С. 12-33.

7. Дорофеев, Г. В., Муравин, Г. К., Седова, Е. А. Математика. 11 кл. Подготовка к письменному экзамену за курс средней школы. Решение задач с методическими комментариями. - М.: Дрофа, 2000. - 352 с.: ил. - Библиотека учителя, ISBN 5-7107-3407-1.

8. Единый государственный экзамен 2002: контрольные измерительные материалы: Математика / Л. О. Денищева, Е. М. Бойченко, Ю. А. Глазков и др. - М.: Просвещение, 2002, - 217 с. - ISBN 5-09-011853-1.

9. Зельманзон, М., Хлобыстова, Л. Самосовмещения квадрата и тайнопись // "Квант", № 12, 1980. - С. 32-34.

10. Канин, Е. С. и др. Упражнения по началам математического анализа в 9-10 классах: кн. для учителя / Е. С. Канин, Е. М. Канина, М. Д. Чернявский. - М.: Просвещение, 1986. - 160 с.

11. Коробова, Л. Математические загадки детективного сюжета: интегрированный урок математики и литературы. "Математика" //Прил. к газете "Первое сентября", № 19, 1998.

12. Крамор, В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.: ил. ISBN 5-09-001292-4.

13. Крамор, В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. - М.: Просвещение, 1992. - 320 с.: ил. - ISBN 5-09-003862-7.

14. Кудрявцев, С. В. и др. Дидактические материалы по алгебре для 7 класса: Пособие для учителя / С. В. Кудрявцев, Ю. Н. Макарычев, Е. М. Сорокина. 3-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 1986. - 176 с.

15. Макарычев, Ю. Н., Миндюк, Н. Г. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Под ред. Г. В. Дорофеева. - М.: Просвещение, 1997. - 224 с.: ил. ISBN 5-09-00700-х.

16. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 кл. сред. шк. / Сост. И. Л. Никольская. - М.: Просвещение, 1991. - 383 с.: ил. - ISBN 5-09-001287-3.

17. Фелкон Тэвис, Джуди Хиндлей, Рут Томисон, Хизер Эмери. Краткий курс юного шпиона / Авт. лит. обработки Анна Данковцева. - М.: АСТ-ПРЕСС, 1997.

18. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1985. - 352 с.: ил.

© 2010-2022