Ведение стохастической линии в школьной программе

Методическая разработка по теме:

Ведение стохастической линии

в школьной программе

Разработал: учитель математики,
высшей категории
МОУ «СОШ №1 р.п. Татищево»

Тягунова Наталья Николаевна

Татищево 2010

Изучение элементов комбинаторики, теории вероятностей, математической статистики в школьном курсе математики, наконец, становится реальностью. Эта линия, прежде всего, призвана развить один из специальных типов мышления - вероятностностатистический, который необходим современному человеку, как, в общекультурном, так и для профессионального становления. Развитое общество предъявляет к своим членам довольно высокие требования, относящиеся к умению анализировать случайные факторы, оценивать шансы, выдвигать гипотезы, прогнозировать развитие ситуации и, наконец, принимать решение в ситуациях, имеющих вероятностный характер, в ситуациях неопределенности.

Новая содержательная линия призвана сформировать понимание детерминированности и случайности, помочь осознать, что многие законы природы и общества имеют вероятностный характер, что много реальных явлений и процессов описываются вероятностными моделями.

Нельзя было игнорировать и то обстоятельство, что во многих развитых странах уже десятки лет школьные курсы математики предусматривают изучение элементов комбинаторики, статистики, вероятности.

В последние годы произошли положительные сдвиги в деле внедрения новой содержательной линии в содержании школьного образования. Соответствующая содержательная линия вошла в утвержденный стандарт базового и полного среднего образования.

Но нельзя думать, что все трудности уже позади, что хотя количество учащихся, изучающих соответствующие разделы, растет из года в год, но и сейчас оно составляет примерно лишь 70-80%.

Личный опыт изучения теории вероятностей, являющийся для большинства учителей математики основным (а подчас и единственным) источником готовности к обучению детей стохастике, приводит к эклектизму в методических взглядах, который не приносит пользы школьному обучению. Школьников нельзя ориентировать на вузовские варианты построения курса теории вероятностей. Учитель обязан владеть специфической методикой, направленной на развитие особого типа мышления и формирования особых, недетерминированных представлений у учащихся.

Одно из главных отличий школьного изучения стохастики состоит в тесной связи отвлеченных понятий и структур с окружающим миром. Поэтому математическая деятельность школьников не должна ограничиваться изучением только готовых вероятностных моделей. Напротив, процессы построения и истолкования моделей рассматриваются как ведущие формы ученической деятельности. Учитель призван правильно направлять, такую деятельность, а для этого он сам должен владеть методами формализации и интерпретации. Выполнение учащимися заданий, связанных с принятием решений в реальных (внематематических) ситуациях, играет здесь очень важную роль и требует умелого управления со стороны учителя.

Начинать обучение желательно с тех задач, в которых статистические сведения заданы изначально и требуется найти решение поставленной проблемы на фоне реальной ситуации.

Пример1. Некий городской житель решил переехать в деревню. Сведения об урожайности картофеля (ц/га) в двух селах за последние годы таковы:

Село А: 180; 50; 60; 100; 170; 60;150; 90; 120; 70; 60; 160; 90; 170; 90; 180; 160.

Село В: 100; 110; 120; 100; 100; 110; 100; 120; 130; 130; 100; 130; 110.

Какому из мест он отдаст предпочтение?

В условиях этой задачи критерием принятия решения должен служить разброс значений урожайности. В селе А разброс больше чем в селе В. Средняя урожайность картофеля в первом селе немного выше, чем во втором. Вместе с тем в селе А климатические условия таковы, что высокоурожайные для картофеля годы сменяются низкоурожайными. Видимо, лучше выбрать несколько меньшее значение средней урожайности. Устойчивость урожая особенно важна для человека, ещё не имеющего опыта ведения приусадебного хозяйства.

Пример 2. Ученикам предлагается на дом следующая задача: «Перед игрой в футбол во дворе ребята выбирают капитана команды. Антон и Валерий, по общему мнению, являются лучшими игроками и в одинаковой степени достойны быть капитанами. Услышав разговор членов команды, тренер предложил определить капитана следующим образом. Он кладёт в сумку 4 шахматных пешки 2 черных и 2 белых. Затем на удачу вынимает две пешки. Надо выбрать один из двух вариантов:

I - пешки одного цвета;

II - пешки разного цвета.

В алфавитном порядке Антон имеет право выбирать первым. Какое решение лучше принять Антону?»

Задачу можно решить экспериментально и хорошо бы предложить ее учащимся задолго до введения понятия вероятности. При проведении эксперимента ученики замечают, что частота для I варианта, как правило, примерно вдвое меньше частоты для второго варианта. Этот факт несколько удивляет и вызывает даже недоверие, но он дает основание считать, что Антон лучше выберет II вариант. После знакомства с понятием вероятности следует вернутся к данной задаче снова, и тогда сомнения рассеиваются. Вероятная модель помогает более уверенно рекомендовать Антону II вариант.

Систематическое применение вероятностно статистических подходов для анализа, описания и исследования явлений окружающей действительности направлено на овладение учащимися особой методологией с присущим ей использованием специфических стохастических умозаключений. Владение искусством стохастических рассуждений - непременное условие успешной деятельности учителя математики. Нужен взгляд на стохастику не только как на систему понятий, фактов и утверждений, а как на специфическую методологию, охватывающую вероятностные и статистические умозаключения в их взаимосвязи. Анализ тех ситуаций, где для решаемой проблемы не оказывается однозначного или определенного ответа, не должен вызывать растерянности учителя. Надо быть гибко мыслящим человеком, лишенным догматической веры в абсолютную истинность чужих выводов.

Особенности стохастических умозаключений проявляются, прежде всего, в ходе интерпретации результатов решения математической задачи, возникшей на базе статистической информации. По этой причине во многих случаях одну и ту же статистическую информацию разные люди могут трактовать по разному.

Пример 3. Владелец одного частного предприятия уволил большую часть рабочих, а оставшимся снизил зарплату на 20% (таблица 1). После этого он заявил, что средний заработок рабочих на его предприятии повысился. Так ли это?

Таблица 1.

Число рабочих

Заработок до увольнения

Заработок после увольнения

1000 руб

400 руб

800 руб

320 руб

200

800

200

120

Чтобы ответить на поставленный вопрос, учащиеся вычисляют средние характеристики: моду, медиану и среднее арифметическое. Мода равна 400 руб - до увольнения и 800 руб после увольнения. Медиана равна 400 руб - до увольнения и 80 руб - после увольнения. Найдем среднее арифметическое: 520 руб - до увольнения и 620 руб - после увольнения.

Вычисления подтверждают, что средние характеристики действительно увеличились. Однако простой взгляд на таблицу подтверждает, что жизнь рабочих не улучшилась, а наоборот, ухудшилась, не говоря о тех, кто потерял работу. Видимость повышения зарплаты создается из-за увольнения значительной части низко оплачиваемых рабочих. Здесь итоги решения математической задачи противоречат здравому смыслу. Математическая модель, как видно из данного примера, не всегда адекватна практической ситуации.

В данном случае средние характеристики не являются типичными представителями статистических данных, поэтому их использование приводит к логическому выводу. Объективный вывод получается на основе анализа таблицы 1 и здравого смысла.

Овладение искусством стохастических умозаключений зависит, таким образом, от умений, которые связаны с выделением типичных представителей данных.

Выступая в качестве дирижера и помощника учащихся, учитель призван прививать им критическое отношение к статистическим выводам и обобщениям, умение правильно истолковать статистическую информацию, самостоятельно разоблачать различного рода фальсификации, тщательно замаскированные под личиной изощренно подобранной «правдоподобной» информации. В конкретных ситуациях ему предстоит показывать ученикам, что тенденциозно подобранные статистические показатели могут служить основой для получения ложных выводов о происходящих событиях в политической и экономической жизни общества. Развитие у будущих взрослых граждан критического мышления, умений помогать скрытый смысл того или иного сообщения, противостоять манипулированию сознанием индивида со стороны средств массовой информации - все это требует владения педагогом методологическим инструментом для критического анализа информации, предоставляемой масс-медиа.

Учитель должен глубоко понимать причины появления опасности принятия неправильных решений в ходе анализа явлений, происходящих под воздействием случая обманчивое впечатление, например, может возникнуть также и из-за неполноты статистической информации.

Пример 4. Рассматривая сведения о числе женщин, занятых в промышленности и в системе образования (таблица 2), можно прийти к выводу, что женский труд преобладает в промышленности.

Таблица 2.

Однако мнение меняется после того, как дополнительно становится известным, что в образовании работает 57218 человек, а в промышленности - 264251 человек. Получается, что число женщин составляет примерно 73% от всех работников образования и только примерно 49% от всех работников, занятых в промышленности.

Причиной неправильных или противоречивых выводов может быть и неадекватный выбор критериев, по которым интерпретируются статистические данные.

Пример 5. В магазине продаются автопокрышки двух типов. На витрине выставлены сведения о пробеге автопокрышек каждого типа в испытательных условиях (таблица 3 и 4). Учащимся задается вопрос: «Покрышки какой партии вы предпочли бы купить?»

Таблица 3.

Таблица 4.

Испытания покрышек 2 типа

Пробег (тыс.км)

12; 13; 13; 14; 20; 25; 30; 34; 39; 44; 45

Рассуждения строим следующим образом. В первую очередь надо заметить различную численность данных, влияющую на достоверность выводов. Следует учесть, в первой таблице отражено значительно большее количество испытаний, чем во второй. Первой таблице «можно доверять», чем во второй. Поэтому, прежде чем принимать решение, надо настоять, чтобы данные испытаний покрышек 2 типа были предоставлены более полно. Таким образом, осуществляем интуитивную оценку доверительной вероятности.

Анализируя явления стохастической природы, следует правильно учитывать влияющие на них факторы.

Пример 6. Изучая таблицу 5, ученики могут прийти к ошибочному выводу о некой «закономерности», состоящей в увеличении числа дорожных происшествий при улучшении погоды.

Таблица 5.

Разъясняя несостоятельность такого вывода, учитель должен обратить внимание на важность таких факторов, как интенсивность движения автомобилей и пешеходов в дни с разной погодой и физическое состояние водителей.

Любой статистический вывод нельзя, рассматривать как абсолютно верный. Одни решения мы принимаем более уверенно, а другие - менее категорично.

Учителю предстоит овладеть различными приемами установления статистических закономерностей, прежде всего, путем мысленного статистического эксперимента. Следующий пример связан с простейшим вероятностным прогнозированием.

Пример 7. Учащимся дается следующее задание: «Найдите квитанции по оплате расходов электроэнергии вашей семьей. Постройте линейный график расхода электроэнергии за несколько последних месяцев. Какой расход электроэнергии вы ожидаете в будущем? Изобразите предполагаемый отрезок графика».

После построения учащимися линейного графика рекомендуется обсудить с ними несколько вариантов изображения еще одного эвена в «будущее». Из нескольких предполагаемых вариантов выбирается самый «вероятны», то есть тот, который в наибольшей степени соответствует общей картине, а значит, имеет больше шансов отразить истинное состояние расхода электроэнергии в будущем месяце (рисунок 1).

Рисунок 1.

Особое значение имеет овладение методическими приемами, связанными, с анализом соотношений между вероятной моделью и ее электрическим прототипом, являющегося непременным атрибутом решения многих школьных стохастических задач. В частности, это относится к соотношению типа «частота ‹› вероятность»: оцениванию вероятности по частоте и прогнозированию частоты по заданной вероятности.

Пример 8. Учитель поручил двум старшеклассникам - Олегу и Виктору - организовать с учениками пятых классов эксперименты, в ходе которых требовалось выяснить, какая сумма очков при подбрасывании двух игральных кубиков выпадает чаще. Результаты регистрации исходов опытов были предъявлены: Олегом - таблица 7, Виктором - таблица 8. какой вывод сделает учитель? Какому результату следует больше доверять?

Таблица 7.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Таблица 8.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Специфика стохастической линии требует от учителей умений так организовать математическую деятельность школьников, чтобы изучение понятий и методов происходило в форме открытия новых инструментов познания окружающего мира. Особую роль играет здесь владение средствами анализа вероятностных парадоксов и неожиданностей, создающее благоприятную почву для эвристической деятельности.

Специфика дифференциации обучения элементами стохастики побуждает педагогов к использованию новых непривычных подходов. Учителю предстоит не только оценивать алгоритмические навыки, но и определять уровень освоения учениками стохастической методологии. При этом наиболее «тонким» элементом в системе проверки стохастических умений ученика является оценка его «права на ошибку», поскольку сама оценка носит вероятностный характер.

Следует учитывать, что дети с опережающими темпами общего развития раньше начинают самостоятельно осуществлять деятельность, связанную с проведением статистических экспериментов и исследований, организуют других ребят, раньше переходят от использования эмпирических характеристик к построению вероятностных моделей. Поэтому особое значение имеет разграничение уровня умений и навыков самостоятельного получения выводов об изучаемых явлениях.

Приступая к обучению школьников стохастике. Учитель должен себе ясно представлять, чем обусловлена необходимость введения в школу новой содержательно-методической линии. Осознание учителем целей обучения стохастике в школе, видение их соотношений с общими целями обучения математике и места стохастики в ряду других тем, значение итоговых требований к стохастической подготовке учащихся составляют важнейший общезначимый компонент методической готовности учителя математики к реализации новой линии.

Надежды на успех введения новой содержательной линии во многом зависят от того, будет ли, материал новой линии применятся в таких предметах, как физика, химия, биология, история, география. И наоборот, будет ли материал из этих дисциплин использоваться на уроках математики как мотив для изучения новых понятий, фактов, методов, как иллюстрация изучаемого материала, как источник построения математических (вероятностных) моделей и т.п.

Литература

1. Федосеев В.Н. Решение вероятностных задач. - М: ВШМФ Авангард, 1999г.

2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения - М: Мир - 1964г.

3. Лютикс В.Ф. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учебное пособие для 9 - 11 классов - М: Просвещение 1990г.

4. Афанасьев В.В. Теория вероятностей в примерах и задачах - Ярославль: ЯГПУ 1994г.

Описание инновационного педагогического проекта

Ведение стохастической линии в школьном курсе.

(тема)

Появление стохастической линии в школе вызвано велением времени, поскольку является следствием многих социально-экономических причин. Введение вероятностно-статистического материала в базовый школьный курс математики породило немало проблем. К его появлению оказались не готовы буквально все - от учителей до авторов школьных учебников.

Таким образом, все нынешние учителя математики с этим курсом когда-то знакомились и притом довольно основательно. Но большинство при этом затрудняются решить многие элементарные задачи на вычисление вероятности, которые не требуют даже комбинаторных вычислений, а лишь здравого смысла и более или менее развитого вероятностного мышления.

Если в высшей школе основной акцент делается на изучение математического аппарата, для исследования вероятностных моделей, то в школе учащихся прежде всего необходимо ознакомить с процессом построения модели, учить их анализировать, проверять адекватность построенной модели реальным ситуациям, развивать вероятностную интуицию.

Цель моей работы - показать учителям математики, каким образом то, что они изучали и, изучают в вузовском курсе теории вероятностей и математической статистики, должно быть переосмыслено и перенесено в школу; помочь им в решении возникающих здесь математических и методических трудностей; предостеречь от возможных ошибок и просчётов. В работе рассматриваются как математические вопросы, так и вопросы методики.