Разработка урока по теме Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии по алгебре 9 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 4

городского округа г. Нефтекамск.

Открытый урок по алгебре в 9 Б классе.

Учебник А.Г.Мордковича

Тема:

«Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии».

Разработала и провела

учитель II категории

Аитова А.Д.

г.Нефтекамск. 2005.

Открытый урок в 9 «Б» классе.

ТЕМА:

«Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии».

Цели: 1) повторить определение геометрической прогрессии, формулы нахождения любого члена прогрессии.

2) показать вывод формулы суммы нескольких членов геометрической прогрессии и научить применять её.

3) показать как может применяться эта формула в реальной жизни.

Оборудование: кодоскоп, пленка с заданием, учебник, тетради, карточки с дополнительными заданиями.

План урока.

1. Организационный момент.

2. Устный счет. Проверка домашнего задания.

3. Математический диктант.

4. Выступления учеников.

5. Изучение новой темы.

6. Решение номеров из задачника.

7. Постановка домашнего задания.

8. Подведение итога урока.

Ход урока.

1. Поздороваться с детьми. Проверить порядок на партах. Отметить отсутствующих.

2. На доске подготовлен материал для устного счета.

Работа с классом.

2³; 3²; (0,5)*5; (1/3)³; (-2)*6; (-3)*5

А в это время три ученика подготавливают домашнее задание на доске для проверки: №482, №493, №497.

№482.

Является ли прогрессия возрастающей или убывающей.

А). b1=2; q=3/2. возрастающая.

Б). b1=√2; q=1/√2. убывающая.

В). b1=-3; q=-5 ни возрастающая, ни убывающая.

Г). b1=5√3; q=-0,6 ни возрастающая, ни убывающая.

№493.

Найти неизвестный член геометрический прогрессии

А).b1=128 q=-0,5 b4=? Ответ: b4=-16.

Б). b1=270 q=1/3 b5=? Ответ: b5=3 1/3.

В). b1=0,2 q=√5 b8=? Ответ: b8=25 5.

Г). b1=625 q=-0,2 b6=? Ответ: b6=-0,2

№497.

Найти знаменатель геометрической прогрессии.

А).b7=192 b5=48 q=? Ответ: q=2

Б).b2=24 b5=81 q=? Ответ: q=1,5

В).b3=3,25 b6=-13/32 q=? Ответ: q=-0,5

Г).b3=12 b5=48 q=? Ответ: q=-2

3. Проверим знание формул. Откройте тетради, запишите число, математический диктант по вариантам, с самопроверкой.

В-1. В-2.

Аналитически: a7=a1q a =a q

Аналитически: a =a q a =a q

Рекуррентно: b =b q b =b q

Аналитически: b = b q b =b q

Рекуррентно: b =b q b =b q

Обменяйтесь тетрадями с соседом по парте и проверьте, сверяясь с доской. (на обратной стороне доски подготовлены проверочные варианты).

Рядом с верными ответами поставьте «+».

Количество «+» - оценка.

На заранее подписанных листочках проставьте оценки, а я соберу их и выставлю в журнал.

4. Выступление двух учениц о числах-великанах, связанных с геометрической прогрессией.

1). «Выгодная сделка».

Купец в пути повстречал незнакомца, который узнав, что ему встретился богатый человек, предложил ему выгодную сделку: ежедневно незнакомец приносит купцу 100.000рублей в течении месяца, а купец отдает:

За первую сотню - 1коп.

За вторую сотню - 2коп.

За третью сотню - 4коп.

……………………………

И так далее, каждый день вдвое больше предыдущего.

Обрадовался богач: «выгодная сделка».

За неделю он получил 700.000рублей, а отдал 1+2+4+8+16+32+64=127коп.=1руб.27коп.

Стал он жалеть, что договорился всего на один месяц. А незнакомец каждое утро приходил со своей сотней тысяч и получал от купца свою долю.

В 8-й день -1р.28к.

В 9-й день -2р.56к. Богач охотно платил эти

В 10-й день-5р.12к. деньги, ведь он получил уже

В 11-й день -10р.24к. 1.400.000рублей, а отдал

В 12-й день -20р.48к. около 150-ти рублей.

В 13-й день -40р.96к.

В 14-й день -80р.92к.

Недолго, однако, он радовался; теперь ему приходилось расплачиваться уже не копейками, а сотнями рублей и плата быстро росла…

В 15-й день -163р.84к. Впрочем богач считал

В 16-й день -327р.68к. ещё далеко не в убытке,

В 17-й день -655р.36к. хотя и уплатил больше 5.000р.

В 18-й день -1.310р.72к. то получил 1.800.000руб.

В 19-й день -2.621р.44к.

Однако расплата приближалась.

В 20-й день- 5.242р.88к. Платить уже приходилось

В 21-йдень - 10.485р.76к. больше, чем получать.

В 22-й день - 20.971р.52к. Тут бы и остановиться, да

В 23-й день - 41.943р.04к. нельзя ломать уговора.

В 24-й день - 83.886р.08к.

В 25-й день -167.772р.16к.

В 26-й день -335.544р.32к.

В 27-й день -671.088р.64к.

А дальше пошло еще хуже. Слишком поздно убедился миллионер, что незнакомец жестоко перехитрил его и получит куда больше денег, чем сам уплатит.

Начиная с 28-го дня, купец платил:

В 28-й день -1.342.177р.28к.

В 29-й день -2.684.354р.56к.

В 30-й день -5.368.709р.12к.

Когда он подсчитал, в какую же сумму ему обошлась эта «выгодная сделка», то оказалось, что он отдал

- 10.737.418р.23к.

А как не попасться на удочку аферистов с «финансовой пирамиды» расскажет следующая ученица.

2). «Снежный ком».

В дореволюционные времена, да и теперь есть предприниматели, которые обогащаются за счет простых людей.

Публикуются объявления, в которых предлагают купить товар за смехотворную сумму -10 рублей.

Человек платит 10 рублей, но получает не товар, а 4 билета (или купона), которые он должен предложить своим 4-ым знакомым тоже за 10 рублей. Вырученные, таким образом, деньги он отсылает фирме и получает свой товар.

Аналогично должны поступить люди, получившие по одному купону. Они отправляют купон фирме и получают ещё 4 билета, которые также должны продать. Таким образом возникает следующая цепочка людей, задействованных в продаже: 1ч.

4ч.

20ч.

100ч.

500ч.

2.500ч.

12.500ч.

62.500ч.

312.500ч.

1.562.500ч.

Если в городе живет меньше 100.000человек, то на 8-ом этапе цепочка «иссякнет», так как некому будет продать товар. В населенных пунктах с многомиллионным населением «точка пресыщения» наступит на 9-ом или 10-м туре.

Таким образом, не знание геометрической прогрессии приводит к плачевным результатам.

5.Чтобы не попасть впросак мы сегодня научимся находить сумму нескольких членов конечной геометрической прогрессии. Запишите тему урока:

«Формула суммы нескольких членов конечной геометрической прогрессии»

Вывод формулы я покажу вам с помощью кодоскопа на пленке, а вы дома самостоятельно запишите его в тетрадь.

На пленке:

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия.

÷÷ b 1,b2 ,b3 ,……bn-2,bn-1,bn ;

S n =b 1 +b2 +b3 + ………..+bn-2 + bn-1+b n ;

Если q=1, то геометрическая прогрессия состоит из:b 1,b1 ,b1 ,b1 ,……b 1; и S=b1 n

При q≠1 для нахождения суммы применим искусственный прием:

S n q=(b 1+b2 +b3 +…..+ bn-2 + bn-1+b n)q

S n q=b1 q+b2 q+b3 q+……bn q

S n q=b 2+b3 +b4 + …….bn-1 +b n

Sn q=S -b +b q , b q=b q*n

S n q=S n -b 1+bn q

S n q-Sn =b1 qⁿ -b1

S n(q-1)=b1 (qⁿ -1)

Sn =b1 (qⁿ -1)/(q-1)

Напоминаю ещё раз, что вывод формулы вы должны записать дома самостоятельно в тетради.

6.А сейчас посмотрим, как применяется эта формула.

Откройте задачники.

№500, №504, №502.

Запишите еще раз формулу: Sn =b1 (qⁿ -1)/(q-1)

К доске приглашается один ученик.

№500.

Найти сумму четырех первых членов конечной геометрической прогрессии.

А).b =1; q=2; S =? Ответ: S =15

Б). b =3; q=4; S =? Ответ: S =255

В). b =1; q=1/3; S =? Ответ: S =1 13/27

Г). b =4; q=-0,5; S =? Ответ: S =2,5

№504. (у доски три человека, работают одновременно).

Найти сумму пяти первых членов конечной геометрической прогрессии.

а).b =160; b =320; S =?

б).b =8; b =16; (q<0) S =?

в).b =1; b =1/9; S =?

г).b =3 3; b =27; S =?

7.Прежде чем приступим к следующему номеру, запишите домашнее задание: № 501, №503, записать вывод формулы в тетрадь, вычислить сумму тридцати первых членов в задачи о выгодной сделке.

Вернёмся к формуле.

№ 502 (работа по группам)

а).b =5; q=2; S =? Ответ: S =315.

б).b =-1; q=-1,5; S =? Ответ: S =9 109/128.

в).b =-4; q=0,5; S =? Ответ: S =-8191/1024.

г).b =4,5; q=1/3; S =? Ответ: S =6 182/243.

8.Подведем итог урока.

Какие формулы и определения мы сегодня повторили?

(определение геометрической прогрессии, формулы n-ого члена прогрессии)

С какой формулой вы познакомились, научились применять? (формула суммы нескольких членов геометрической прогрессии)

Вы неплохо потрудились, спасибо.

Урок закончен, вы свободны.