Программа элективного курса Решение уравнений, содержащих знак модуля (9 класс)

Муниципальное образовательное учреждение

МБОУ «Асановская средняя общеобразовательная школа»

Комсомольского района Чувашской Республики

Разработала Копташкина А.И. учитель

математики высшей категории МБОУ

«Асановская СОШ» Комсомольского района ЧР

д. Асаново, 2015 г.

Программа элективного курса

для учащихся 9 класса по теме

Решение уравнений, содержащих знак модуля

Пояснительная записка

Данная программа ориентирована на учащихся 9 класса, которые выберут профиль, связанный с математикой. Она рассчитана на учащихся, которые в 5 - 6 классах занимались по учебнику Н.Я. Виленкина, а в 7 - 9 классах по учебнику под редакцией С.А. Теляковского. На вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ по математике уравнения, содержащие знак модуля, присутствуют, решение которых вызывает большие затруднения учащихся. В школьном же курсе нет теоретического материала по данной теме и почти нет уравнений с модулем. Она упоминается в программе на уровне определения модуля и решения простейших уравнений. Эта тема поможет освоить графические приёмы решения поставленных задач наравне с аналитическими методами, так как она обладает хорошей наглядностью. Она развивает математическую культуру, логическое и альтернативное мышление - учащимся приходится столкнуться с уравнениями, для решения которых необходимо рассматривать несколько возможных вариантов. При решении уравнений с модулем приходится рассматривать случаи, когда выражения, стоящие под знаком модуля, положительны (или равны нулю) и когда они отрицательны. Решение уравнений с модулем способствуют формированию навыков исследовательской деятельности, интеллектуальному развитию. Программа рассчитана на 10 часов с приложением дидактического материала.

Цели курса:

• Формирование и развитие у учащихся оценки своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы; уточнение готовности и способности осваивать математику на повышенном уровне;

• Развитие практических умений в области решения уравнений, содержащих модуль;

• Выработка умения самостоятельно приобретать и применять знания в различных ситуациях;

• Развитие творческих способностей.

В процессе обучения учащиеся приобретают следующие умения:

• Решать уравнения, содержащие один, два, три модуля;

• Строить графики функций, содержащих модуль;

• Интерпретировать результаты своей деятельности;

• Делать выводы;

• Обсуждать результаты.

Данные умения формируются на основе знаний о модуле (определения, свойств модуля), о влиянии модуля на расположение графиков функций на координатной плоскости, влиянии модуля при решении уравнений.

Курс «Решение уравнений, содержащих знак модуля» представляется актуальным, так как вооружает учащихся знаниями по теме «Модуль», необходимыми для дальнейшего изучения математики.

Содержание курса предполагает самостоятельную подготовку учащихся: работу с разными источниками информации (справочные пособия, учебная литература и другие ресурсы). Содержание каждой темы включает в себя самостоятельную работу учащихся.

Учебно-тематический план

№

п/п

Тема

Кол-во

часов

Виды

деятельности

1.

Понятие модуль. Решение уравнений, содержащих знак модуля.

4

Лекция. Практические занятия по решению уравнений. Домашняя контрольная работа.

2.

Построение графиков функций, содержащих знак модуля.

3

Лекция. Практические занятия по построению графиков. Самостоятельная работа.

3.

Графическая интерпретация решения уравнений, содержащих переменную по знаком модуля.

1

Практическая работа

4.

Успешность усвоения курса. Итоговое занятие.

2

Контрольная работа.

Подведение итогов.

Итого:

10

Содержание курса

Тема 1. Понятие модуль. Решение уравнений, содержащих знак модуля

(4 часа).

Понятие модуля, его геометрическая интерпретация. Понятие уравнения с модулем. Решение уравнения со знаком модуля алгебраическим способом. Метод интервалов. Успешность усвоения.

Основная цель - ознакомить со способами решения уравнений со знаком модуля, выработать умение решать уравнения, содержащие один, два, три модуля.

Тема 2. Построение графиков функций, содержащих знак модуля (3 часа).

Понятие графика функции, содержащих знак модуль. Виды графиков функций: у =│ƒ(х)│, у = ƒ(│х│), у = │ ƒ(│х│)│, │у│= ƒ(х), их свойства. Основные приёмы построения графиков функций, содержащих модуль. Рациональные способы их построения. Успешность усвоения.

Основная цель - ознакомить с основными приёмами построения графиков функций, содержащих модуль, их свойствами. Выработать культуру построения графиков.

Тема 3. Графическая интерпретация решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля (1час).

Решение уравнений со знаком модуля графическим способом. Успешность усвоения.

Основная цель - ознакомить с графическим способом решения уравнений, сформировать умение интерпретировать с помощью графиков ответы на вопросы о количестве корней, находить приближенные значения корней.

Тема 4. Итоговое занятие (2 часа).

Контрольная работа - 1 час. Оценка - «зачтено», «не зачтено». Подведение итогов изучения курса «Решение уравнений, содержащих знак модуля».

Литература

1. И.И. Гайдуков. Абсолютная величина. М.: Просвещение, 1968.

2. В.К. Егерев, А.Г. Мордкович. 100 х 4 задач. М.1993.

3. А.В. Мерлин, Н.И. Мерлина. Задачи по элементарной математике. Чебоксары. Чувашское книжное издательство, 1996.

4. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. Вавилов В.В., Мельников Н.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. М.:Наука,1987.

5. Практикум по решению математических задач. В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. М.: Просвещение,1984.

6. Математика (газета). 2004. №№20, 25-26, 27-28, 33, 34.

Приложение 1.

Дидактический материал к элективному курсу

«Решение уравнений, содержащих знак модуля»

Тема 1.

1. Геометрический смысл модуля и его применение к решению уравнений.

Модуль числа а есть расстояние от нуля до точки а.

Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой (координатной) прямой, соответствующими этим числам.

Так, │а - в│есть расстояние между точками а и в числовой прямой;

│а│= │а-0│- расстояние между точками а и 0;

│а + в│= │а - (-в)│ - расстояние между точками а и -в числовой прямой.

Уравнение, в котором переменная находится под знаком модуля, называется уравнением с модулем.

Решить уравнение │х- в│= а , значит, найти все точки х числовой оси, расстояние от каждой из которых до числа в равно а.

Итак, если а > 0, то х - в = ± а;

если а = 0, то х = в;

если а < 0, то решений нет.

Пример 1. Решить уравнение │х- 7│= 4.

Решение. Расстояние от точки х до точки 7 равно 4. Таких точек две: х = 11 и х = 3.

Или, так как 4 > 0, то х- 7 = ± 4, т. е. х₁ = 11 и х₂ = 3.

Ответ: х₁ = 11; х₂ = 3.

Задания для самостоятельного решения

Решите уравнения, используя геометрический смысл модуля:

1. │х- 1│= 5; 1.4. │3х + 2│= 4;

2. │х + 1│= 2,5; 1.5. │-3 - 2х│= 1;

3. 2│х- 1│= 3; 1.6. │4 - 3х│= -5.

2. Решение уравнений алгебраическим способом.

Уравнение │ƒ(х)│= g(х) равносильно совокупности двух систем:

Пример 2. Решить уравнение │х² + 3х - 10 │= 3х - 1.

Решение. Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

Из корней уравнений удовлетворяют только корни 3 и -3 +2.

Ответ: х₁ = 3; х₂ = -3 +2.

Уравнение │ƒ(х)│=│ g(х)│ равносильно совокупности двух уравнений

Примечание: Если f(x) и g(x) - линейные функции, то лучше всего обе части возвести в квадрат, так как обе части уравнения неотрицательны по определению модуля.

Пример 3. Решить уравнение │х² - 5х + 7│= │2х - 5│.

Решение.

Ответ: 1; 2; 3; 4.

Пример 4. Решить уравнение │5 - х│= │х + 3│.

Решение. Обе части уравнения неотрицательны, возведем в квадрат:

25 - 10х + х² = х² + 6х + 9,

16х = 16,

х = 1.

Ответ: 1.

Пример 5. Решить уравнение х²- 5│х│+ 4 = 0.

Решение. Так как х² =│х│², то │х│²- 5│х│+ 4 = 0.

Обозначим │х│= t, где t ≥ 0 по определению модуля, тогда

t ² - 5 t + 4 = 0, решая найдем t₁ = 1, t₂ = 4 - оба удовлетворяют условию

t ≥ 0. Значит, │х│=1, │х│= 4,

х = ± 1. х = ± 2.

Ответ: ± 1; ± 2.

Задания для самостоятельного решения

Решите уравнения:

2.1. │5 - 2х│= │3х - 5│; 2.4. (х² - 5х + 6)² - 5│х² - 5х + 6│+ 6 = 0;

2.2. 3│3 - х│= │х - 2│; 2.5. │х² + х - 1│= 2х - 1;

2.3. 2х² - 5│х│ + 3 = 0; 2.6. │2х - 3│= 3 - 2х.

2. Применение метода интервалов к решению уравнений, содержащих знак модуля.

Пример 6. Решить уравнение │х - 5│+ │х + 1│ = 20.

Решение. Решим методом интервалов.

Находим корни в выражениях, стоящих под знаком модуля:

х - 5 = 0 х + 1 = 0

х = 5 х = -1

Разбиваем числовую прямую этими корнями на промежутки и определим знаки подмодульных выражений на каждом числовом промежутке.

х < -1 -1 ≤ х < 5 х ≥ 5

-х - 1 - х + 5 = 20,

-2х = 16,

х = - 8 является решением системы (І), т.к. - 8 <-1.

ІІ.

х +1 - х + 5 = 20,

6 = 20 неверно, значит, система (ІІ) не имеет решения.

ІІІ.

х +1 + х - 5 = 20,

2х = 24,

х = 12 является решением системы (ІІІ), т.к. 12 > 5.

Ответ: - 8; 12.

Задания для самостоятельного решения

3.1. │х - 1│+ │х - 3│ = 1;

3.2. │х - 3│+ │х + 4│ = 7;

3.3. │х│-2│х + 1│+ 3│х + 2│ = 0.

Домашняя контрольная работа

Вариант 1. Вариант 2.

Решить уравнения: Решить уравнения:

а) │х - 4│= 0,5; а) │х - 5│= 2;

б) │2х - 1│= 3 - х; б) │4х - 3│= 2 + 3х;

в) │2х - 3│= │5х + 4│; в) │х + 1│= │3 - 2х│;

г) х²- 3│х│+ 2 = 0; г) х² + 8│х│+ 7 = 0;

д) │2х + 1│+│3 - х │= │х - 4│. д) │х - 1│+│1 - 2х │= 2│х│.

Тема 2.

Построение графиков функций, содержащих знак модуля.

До прохождения этой темы повторить построение графиков элементарных функций на базовом уровне.

Рассмотрим график функции у =│х│=

Пример 1. Построить график функции у = .

Решение. у = =

Правило 1. Для построения графика функции у =│ƒ(х)│для всех х из области определения, надо ту часть графика функции у=ƒ(х), которая расположена ниже оси абсцисс, отобразить симметрично относительно оси Ох.

Таким образом, график функции у =│ƒ(х)│ расположен только в верхней полуплоскости.

Правило 2. Для построения графика функции у = ƒ(│х│) достаточно построить график функции у = ƒ(х) для всех х ≥ 0 из области определения и отразить полученную часть симметрично оси Оу.

Пример 2. Построить график функции у =

Решение. Используя правило 2, построим график функции у = для всех

х ≥ 0 из области определения, а затем отобразим его симметрично относительно оси Оу.

Правило 3. Для того чтобы построить график функции у = │ƒ(│х│)│, надо сначала построить график функции у = ƒ(х) при х ≥ 0, затем при х< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси Оу, а затем на интервалах, где ƒ(│х│) < 0, построить изображение, симметричное графику ƒ(│х│) относительно оси Ох.

Пример 3. Построить график функции у = │1 -│х││.

Решение.

1. Строим график функции у = 1 - х для х ≥ 0;

2. Отображаем полученный график относительно оси ОУ, т.е. получаем график у = 1 -│х│;

3. Участки графика у=1-│х│, расположенные в нижней полуплоскости, отображаем на верхнюю полуплоскость, симметрично оси абсцисс.

Рассмотрим построение геометрического места точек вида │у│= ƒ(х).

На основании определения модуля │у│=перепишем формулу │у│= ƒ(х) в виде у = ± ƒ(х), где ƒ(х) ≥ 0.

Правило 4. Для построения графиков зависимости (а не функции) достаточно построить график функции у = ƒ(х) для тех х из области определения, при которых ƒ(х) ≥ 0, и отразить полученную часть графика симметрично оси Ох.

Таким образом, график зависимости │у│= ƒ(х) состоит из графиков двух функций: у = ƒ(х) и у = -ƒ(х), где ƒ(х) ≥ 0.

Пример 4. Построить график зависимости │у│= х + 2.

Решение. Согласно правилу 4 построим график функции у = х + 2, где

х + 2 ≥ 0, т.е. х ≥ - 2 и отразим полученную часть графика относительно оси Ох.

Пример 5. Построить график функции у =│х - 1│- │х + 2│.

Решение: Этот график построим, используя метод интервалов.

х - 1 = 0, х + 2 = 0,

х = 1. х = -2.

х < -2 -2 ≤ х < 1 х ≥ 1

І. х < -2,

у = 1 - х + х +2,

у = 3.

ІІ. -2 ≤ х < 1,

у = 1 - х - х - 2,

у = -2х - 1.

ІІІ. х ≥ 1,

у = х - 1 - х - 2,

у = -3.

Получили кусочно-линейную функцию

у =│х - 1│- │х + 2│=

Задания для самостоятельного решения

1. Постройте графики функций:

4.1. у = │4 - х²│; 4.3. у = 4│х│- х² - 3; 4.5. у = │х│+│2х - 1│.

4.2. у = ; 4.4. у = │2│х│- 3│;

2. Постройте геометрическое место точек:

4.6. │у│= 1 - х; 4.7. │у│= х² + 1.

Тема 3. Графическая интерпретация решения уравнений,

содержащих переменную по знаком модуля.

Пример 1. Решить уравнение │х│= 3 графическим способом.

Решение. В одной системе координат построим графики функций: у = │х│ и

у = 3.

Корнями уравнения являются х₁ = - 3 и х₂ = 3.

Ответ: -3; 3.

Пример 2. Решить графически уравнение │х - 5│= │х + 3│.

Решение. В одной системе координат построим графики функций: у = │х-5│ и

у = │х + 3│.

Корнем уравнения является число х = 1.

Ответ: 1.

Задания для самостоятельного решения

Решить графически уравнения:

5.1. │х│= х +3; 5.2. │х² - 4│= 5; 5.3. ││х - 1│-1│= 2.

Тема 4. Контрольная работа

Вариант 1. Вариант 2.

1. Решить уравнения: 1. Решить уравнения:

а) │5х + 3│= 1; а) │2х - 3│= 5;

б) │2х + 5│+ │2х - 3│= 8; б) │х - 1│- │х - 2│= 1;

2. Решить графически уравнение 2. Решить графически уравнение

│х² + 2х│= 3. │х² - 1│= 1- х.

3. Постройте геометрическое 3. Постройте геометрическое

место точек │у│= х² - 1. место точек │у│= х² + 2.

- 16 -