Урок по алгебре и началам анализа на тему Решение тригонометрических неравенств (10 класс)

Решение тригонометрических неравенств

10 класс

Цель: учащиеся будут решать тригонометрические неравенства, применяя некоторые методы и приемы, которые используются при решении тригонометрических уравнений.

Задачи:

1) учащиеся повторят алгоритмы решения простейших тригонометрических неравенств, метод введения вспомогательного аргумента, приемы, используемые при решении уравнений (формулы тригонометрии, решение однородного уравнения, сведение к алгебраическому);

2) учащиеся будут применять известные методы и приемы при решении неравенств разных уровней сложности, в том числе выполнять равносильный переход к совокупности систем неравенств, применять свойство ограниченности синуса/косинуса;

3) учащиеся будут обсуждать, аргументировать свои решения, слушать мнение других.

Тип урока: урок закрепления, совершенствования и развития знаний, умений и навыков.

Формы организации работы на уроке: индивидуальная и парная.

Материалы: флипчарт, листы с заданиями.

Оборудование: интерактивная доска, меловая доска.

Ход урока

Организационный момент.

Постановка цели урока. Акцент на том, что некоторые приемы и методы, которые учащиеся изучали при решении тригонометрических уравнений, будут ими использованы на данном уроке при решении неравенств.

Актуализация знаний учащихся.

Т.к. решение любого неравенства необходимо свести к простейшему неравенству или системе/совокупности неравенств, то необходимо повторить алгоритмы решения простейших тригонометрических неравенств (на примере двух типов и ).

Задание: восстановить правильный порядок действий.

Флипчарт, страница 1, 2

1. Вычислить значение х₂ в соответствии с выбранным направлением обхода.

2. Записать ответ для данного неравенства, учитывая периодичность синуса.

3. Найти на оси синусов число а.

4. Указать дугу окружности для выделенных значений синуса и определить направление обхода от х₁ к х_2.

5. Вычислить х₁ как значение арксинуса числа а.

6. Провести прямую, перпендикулярную оси синусов, обозначить точки пересечения прямой с окружностью через х₁ и х_2.

7. Выделить на оси синусов значения, удовлетворяющие данному неравенству.

(3, 6, 7, 4, 5, 1, 2)

1. Указать дугу окружности для выделенных значений тангенса.

2. Выделить на оси тангенсов значения, удовлетворяющие данному неравенству.

3. Вычислить х₁ как значение арктангенса числа а.

4. Найти на оси тангенсов число а.

5. Записать ответ для данного неравенства, учитывая периодичность тангенса.

6. Провести прямую от точки оси тангенсов через центр окружности, обозначить точку пересечения с правой полуокружностью через х_1.

(4, 6, 2, 1, 3, 5)

Основная часть урока.

Математический марафон. Учащиеся работают в парах. Учитель раздает лист с заданиями разных уровней сложности. Обязательным условием перехода к заданиям уровня В является решение всех заданий уровня А, к уровню С можно приступить после выполнения заданий уровня В.

На интерактивной доске (Флипчарт, страница 3) учитель ведет учет продвижения пар по «лестнице успеха». Каждой паре соответствует кружок определенного цвета. Пара(ы), достигшая самой высокой ступени (уровень С), получает грамоту.

Во время работы учащихся учитель вызывает к доске учащихся для решения примеров, подобных примерам на листе заданий. Оценка для этих учащихся индивидуальная.

Таким образом во время урока учащийся может получить две-три оценки.

Лист с заданием

Инструкция. Обязательным условием перехода к заданиям уровня В является решение всех заданий уровня А, к уровню С можно приступить после выполнения заданий уровня В.

Критерии оценивания: уровень А полностью - оценка 4, уровень В полностью - оценка 5, уровень С - еще одна оценка 5.

Уровень А. Решите неравенства:

№

_{Задание}

Ответ

()

Уровень В. Найдите область определения функции:

№

_{Задание}

Ответ

Уровень С₁. Найдите область определения функции:

Ответ:

Уровень С₂. При каких значениях параметра а неравенство выполняется при любом значении х?

Ответ:

Задания для индивидуальной работы на уроке.

№

_{Задание}

Ответ

Итоги урока.

Подведение итогов марафона. Выставление оценок парам.

Рефлексия учащихся. Чему научились на уроке? Что вызвало затруднения? Что понравилось?

Дом.задание.№142, 145.

Урок алгебры и основ математического анализа

по теме «Решение тригонометрических неравенств»(10 класс)

Цель урока: Организация деятельности учащихся по овладению навыками решения тригонометрических неравенств нестандартными методами.

Задачи урока:

1. Обеспечение закрепления учащимися способов действий, которые им необходимы для самостоятельной деятельности.

2. Привитие культуры умственного труда.

3. Развитие логического мышления, привитие навыков исследовательской деятельности при решении тригонометрических неравенств.

Тип урока: урок закрепления знаний, умений и навыков учащихся и способов деятельности.

Форма организации урока: Практикум - урок «открытых мыслей».

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания

3. Закрепление темы

4. Инструктаж домашнего задания

5. Подведение итогов урока, оценивание учащихся

1. Устный опрос класса

1.Двое учащихся у доски воспроизводят основные теоретические положения методов решения тригонометрических неравенств. В это время фронтально

устный опрос.

1) Найдите область определения нижеследующих функций:

а) y=[1;]

б) y= [-], kZ

в) y= [], kZ

2) Найдите множество значений функции:

а) y=tgx + ctgx ( -∞;-2];[2;+∞)

б) y=2cos²+tgx∙ctgx (1;2)υ(2;3)

в) y=(sinx-cosx)² [0;2]

2. Проверка домашнего задания(самопроверка по образцам)

Решите неравенства:

1. sin²x-cos²x-3sinx+2<0,

2sin²x-1-3sinx+2<0,

2sin²x-3sinx+1<0,

(2sinx-1)(sinx-1)<0,

1/21,

Xυ(),k

Ответ:Xυ(),k

,

,

,

Ответ: x

3)

,n

Ответ: ,n

4)Найдите область определения функции:

Решение:

.

а)рассмотрим совокупность уравнений:

б )отметим корни на тригонометрической окружности:

в) находим решение неравенства:

Ответ:

3. Закрепление темы(работа в микрогруппах)

а) Решение тригонометрических неравенств методом интервалов

1. cos2x + cosx>0

а) Найдем корни уравнения:

cos2x=-cosx,

cos2x=cos(π-x),

б) Отметим корни на тригонометрической окружности:

Заметим, что x=π - корень кратности два ⇒x

Ответ:x

2. 3sin²x+sin2x-cos²x≥2,

3sin²x+sin2x-cos²x≥2

3tg²x+ 2 tgx-1-2(1+tg²x)≥0,

tg²x+2tgx-3≥0,

(tgx-1)(tgx+3)≥0

а)рассмотрим совокупность уравнений:

⇒⇒ ⇒

б) Отметим корни на тригонометрической окружности:

в) находим решение неравенства:x

Ответ:x

3. cos²2x+cos²x≤1,

а) используем формулу понижения степени:

+≤1,

≤0 

б)Рассмотрим совокупность уравнений:

в) Отметим корни на тригонометрической окружности:

x, k

Ответ:x, k

4)

1. Рассмотрим совокупность уравнений:

2. Отметим корни на окружности:

Учитывая кратность корней ,

находим решение неравенства:

,

,

,

а)Рассмотрим совокупность уравнений:

б)отметим корни на окружности:

в) находим решение неравенства:

б) Решение тригонометрических неравенств с использованием свойств функций:

6)

а) Используем свойство при всех

б) находим решение неравенства:

x

Ответ: x

7)

Учитывая свойства тригонометрической функции:

Ответ:

Задания для самостоятельного решения:

1. 

2. ,

3. ,

4. 

5. 2+tgx+сtgx

IV.Инструктаж домашнего задания: конспект по теме «Решение тригонометрических неравенств»

Н.Я.Виленкин, Алгебра и математический анализ ,10 класс №667 (1-13)

V.Подведение итогов уроков, оценивание учащихся, рефлексия.