Тренировочные работы по математике в формате ОГЭ (9 класс)

Вариант 1

I часть

Модуль «Алгебра»

1. Найдите значение выражения

Решение.

Умножим числитель и знаменатель на 10:

Ответ: 1,6.

2. На координатной прямой отмечено число a.

Найдите наименьшее из чисел a², a³, a⁴.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) a²

2) a³

3) a⁴

4) не хватает данных для ответа

Решение.

Заметим, что откуда следует, что Таким образом, наименьшее из представленных в ответе чисел - число

Правильный ответ указан под номером: 1.

Ответ:1.

3. Значение какого из выражений является числом иррациональным?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)

2)

3)

4)

Решение.

Упростим каждое выражение.

1)

2)

3)

4)

Иррациональным является значение четвёртого выражения.

Ответ:4.

4. Решите уравнение

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 1,5.

5. Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) y = −2x + 4

Б) y = 2x − 4

В) y= 2x + 4

Графики

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А

Б

В

Решение.

Если прямая задана уравнением то при функция возрастает, при - убывает. Значению соответсвует значение функции в точке

Уравнение задаёт убывающую функцию, пересекающую ось ординат в точке 4.

Уравнение задаёт возрастающую функцию, пересекающую ось ординат в точке −4.

Уравнение задаёт возрастающую функцию, пересекающую ось ординат в точке 4.

Тем самым, искомое соответствие: А - 4, Б - 3, В - 2.

Ответ: 432.

6. Фигура составляется из квадратов так, как показано на рисунке: в каждой следующей строке на 8 квадратов больше, чем в предыдущей. Сколько квадратов в 8-й строке?

Решение.

Ответ: 58.

7. Упростите выражение и найдите его значение при и В ответе запишите найденное значение.

Решение.

Упростим выражение:

(при и

Найдём значение выражения при :

Ответ: 1,5.

8. Решите неравенство

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)

2)

3)

4)

Решение.

Решим неравенство:

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если его сомножители имеют разный знак.

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ:3.

Модуль «Геометрия»

9. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы ACB и BAC равны, т. К. находятся при основании равнобедренного треугольника; пусть один из них равен x. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, имеем: ∠ABC = 180° − x - x. Угол ACB смежен с углом 123°, значит, равен 180° − 123° = 57°. Следовательно, x = 57°, откуда ∠ABC = 180° − 2·57° = 66°.

Ответ: 66.

10. В окружности с центром в точке О проведены диаметры Adи BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Решение.

Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.

Ответ: 30.

11. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение.

По формуле площади трапеции имеем:

Ответ: 168.

12. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Расстояние от точки А до середины отрезка ВС равно шести сторонам клетки, или 6 см.

Ответ: 6.

13. Укажите номера верных утверждений.

1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

2) Сумма смежных углов равна 180°.

3) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны» - верно, по первому признаку подобия треугольников.

2) «Сумма смежных углов равна 180°» - верно по свойству смежных углов.

3) «Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой» - неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.

Ответ: 12.

Модуль «Реальная математика»

14. В таблице даны результаты забега мальчиков 8 класса на дистанцию 60 м. Зачет выставляется при условии, что показан результат не хуже 10,5 с.

Номер дорожки

I

II

III

IV

Время (в с)

10,6

9,7

10,1

11,4

Укажите номера дорожек, по которым бежали мальчики, получившие зачет.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) только I

2) только II

3) I, IV

4) II, III

Решение.

Мальчики, бежавшие по дорожкам II и III, показали время, необходимое для зачёта: их результат не превышает 10,5 с.

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ:4.

15. На рисунке показано, как изменялась температура на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Сколько часов после 12:00 температура превышала 29°C?

Решение.

Из графика видно, что после 12:00 температура превышала 29 °C в течение шести часов.

Ответ: 6.

16. Чашка, которая стоила 90 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При покупке 10 таких чашек покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

Решение.

Стоимость одной чашки равна 90 − 0,1 · 90 = 81 руб. Стоимость 10 чашек равна 810 руб. Значит, сдача с 1000 рублей составит 190 рублей.

Ответ: 190.

17. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

Решение.

Мальчик идёт вдоль сторон прямоугольного треугольника поэтому, искомое расстояние можно найти по теореме Пифагора:

Ответ: 1000.

18. На диаграмме показано содержание питательных веществ в какао-порошке. Определите по диаграмме, содержание каких веществ наименьшее.

*-к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.

1) жиры

2) белки

3) углеводы

4) прочее

Решение.

Из диаграммы видно, что в какао содержится меньше всего жиров.

Ответ: 1.

19. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4 желтых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

Решение.

Вероятность того, что приедет желтая машина равна отношению количества желтых

машин к общему количеству машин:

Ответ: 0,2.

20. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле , где - длительность поездки, выраженная в минутах . Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 15-минутной поездки.

Решение.

Подставим время в формулу для расчета стоимости поездки. Имеем:

Ответ: 260.

II часть

21. Решите уравнение:

Решение.

Пусть тогда исходное уравнение принимает вид

Полученное квадратное уравнение имеет корни

Уравнение не имеет корней.

Уравнение имеет корни и

Таким образом, решение исходного уравнения: и

Ответ:

Вариант 2

I часть

Модуль «Алгебра»

1. Найдите значение выражения

Решение.

Умножим числитель и знаменатель на 10:

Ответ: 2,25.

2. На координатной прямой отмечено число a.

Найдите наибольшеее из чисел a², a³, a⁴.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) a²

2) a³

3) a⁴

4) не хватает данных для ответа

Решение.

Заметим, что откуда следует, что Таким образом, наибольшее из представленных в ответе чисел - число

Правильный ответ указан под номером: 3.

Ответ:3.

4. Значение какого из выражений является числом рациональным?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)

2)

3)

4)

Решение.

Упростим каждое выражение.

1)

2)

3)

4)

Рациональным является значение первого выражения.

Ответ:1

4. Решите уравнение

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 1.

5. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

А)

Б)

В)

1)

2)

3)

4)

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.

А

Б

В

Решение.

Все изображённые здесь графики - прямые. Уравнение прямой:

1) В первом случае прямая параллельна оси абсцисс, следовательно, При этом

2) Второй график проходит через начало координат, значит, При увеличении на единицу, значение возрастает на две, следовательно,

3) При значит, ри увеличении на единицу, значение также возрастает на единицу, следовательно,

Тем самым найдено соответствие: A - 4, Б - 1, В - 3.

Ответ:413.

6. Фигура составляется из квадратов так, как показано на рисунке: в каждой следующей строке на 8 квадратов больше, чем в предыдущей. Сколько квадратов в 7-й строке?

Ответ: 50.

7. Упростите выражение и найдите его значение при В ответе запишите найденное значение.

Решение.

Упростим выражение:

Найдём значение выражения при

Ответ: −10,5.

8. Решите неравенство .

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)

2)

3)

4)

Решение.

Решим неравенство:

.

Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если оба сомножителя имеютодинаковый знак.

Правильный ответ указан под номером 1.

Ответ:1.

Модуль «Геометрия»

9. В треугольнике ABC AB = BC = 53, AC = 56. Найдите длину медианы BM.

Решение.

Треугольник - равнобедренный, поэтому медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём BM:

Ответ: 45.

10. Точка О - центр окружности, ∠AOB = 84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).

Решение.

Вписанный угол ACB равен половине центрального угла AOB, опирающегося на ту же дугу, поэтому он равен 42°.

Ответ: 42.

11. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение.

Площадь трапеции вычисляется по формуле где и - основания, а - высота трапеции.

Ответ: 324.

12. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой BC. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Расстояние от точки А до прямой ВС равно трём сторонам клетки, или 3 см.

Ответ: 3.

13. Укажите номера верных утверждений.

1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части» - верно по свойству равнобедренного треугольника.

2) «В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны» - неверно, это утверждение справедливо исключительно для ромба, а не для прямоугольника.

3) «Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу» - верно, т. к. окружность - множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.

Ответ: 13.

Модуль «Реальная математика»

14. В таблице даны результаты забега девочек 8 класса на дистанцию 60 м. Зачет выставляется при условии, что показан результат не хуже 10,8 с.

Номер дорожки

I

II

III

IV

Время (в с)

10,7

10,9

9,8

11,4

Укажите номера дорожек, по которым бежали девочки, не получившие зачет.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) только II

2) только III

3) II, IV

4) I, III

Решение.

Девочки, бежавшие по дорожкам II и IV, не показали время, необходимое для зачёта: их результат превышает 10,8 с.

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3.

15. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Сколько часов в первой половине дня температура не превышала 0° C?

Решение.

Из графика видно, что в первой половине дня, то есть до 12:00, температура не превышала 0 °C в течение девяти часов.

Ответ: 9.

16. Кисть, которая стоила 240 рублей, продаётся с 25%-й скидкой. При покупке двух таких кистей покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

Решение.

Стоимость одной кисти равна 240 − 0,25 · 240 = 180 руб. Стоимость двух кистей равна 360 руб. Значит, сдача с 500 рублей составит 140 рублей.

Ответ: 140.

17. Мальчик прошёл от дома по направлению на восток 400 м. Затем повернул на север и прошёл 90 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

Решение.

Пусть - гипотенуза прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора, гипотенуза ищется следующим образом:

Ответ: 410.

18. На диаграмме показано содержание питательных веществ в молочном шоколаде. Определите по диаграмме, содержание каких веществ преобладает.

*-к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.

1) жиры

2) белки

3) углеводы

4) прочее

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

Решение.

Из диаграммы видно, что в шоколаде преобладает содержание углеводов.

Ответ: 3.

19. Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 15 с машинами и 10 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Толе достанется пазл с машиной.

Решение.

Вероятность получить пазл с машиной равна отношению числа пазлов с машиной к общему числу закупленных пазлов, то есть .

Ответ: 0,6.

20. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле , где - длительность поездки, выраженная в минутах . Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 8-минутной поездки.

Решение.

Подставим в формулу значение переменной :

Ответ: 183.

II часть

21. Решите уравнение

Решение.

Пусть тогда исходное уравнение принимает вид

Полученное квадратное уравнение имеет корни

Уравнение не имеет корней.

Уравнение имеет корни и

Таким образом, решение исходного уравнения:

и

Ответ:

Вариант 1

I часть

Модуль «Алгебра»

1. Найдите значение выражения

2. На координатной прямой отмечено число a.

Найдите наименьшее из чисел a², a³, a⁴.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) a² 2) a³ 3) a⁴ 4) не хватает данных для ответа

3. Значение какого из выражений является числом иррациональным?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 2) 3) 4)

4. Решите уравнение

5. Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) y = −2x + 4

Б) y = 2x − 4

В) y= 2x + 4

Графики

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А

Б

В

6. Фигура составляется из квадратов так, как показано на рисунке: в каждой следующей строке на 8 квадратов больше, чем в предыдущей. Сколько квадратов в 8-й строке?

7. Упростите выражение и найдите его значение при и В ответе запишите найденное значение.

8. Решите неравенство

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 2) 3) 4)

Модуль «Геометрия»

9. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

10. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

11. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

12. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

13. Укажите номера верных утверждений.

1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

2) Сумма смежных углов равна 180°.

3) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.

Если вариантов ответов несколько, укажите их в порядке возрастания, без пробелов и других разделительных символов.

Модуль «Реальная математика»

14. В таблице даны результаты забега мальчиков 8 класса на дистанцию 60 м. Зачет выставляется при условии, что показан результат не хуже 10,5 с.

Номер дорожки

I

II

III

IV

Время (в с)

10,6

9,7

10,1

11,4

Укажите номера дорожек, по которым бежали мальчики, получившие зачет.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) только I 2) только II 3) I, IV 4) II, III

15. На рисунке показано, как изменялась температура на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Сколько часов после 12:00 температура превышала 29°C?

16. Чашка, которая стоила 90 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При покупке 10 таких чашек покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

17. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

18. На диаграмме показано содержание питательных веществ в какао-порошке. Определите по диаграмме, содержание каких веществ наименьшее.

*-к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.

1) жиры 2) белки 3) углеводы 4) прочее

В ответе укажите номер правильного варианта.

19. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4 желтых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

20. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле , где - длительность поездки, выраженная в минутах . Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 15-минутной поездки.

II часть

21. Решите уравнение:

Вариант 2

I часть

Модуль «Алгебра»

1. Найдите значение выражения

2. На координатной прямой отмечено число a.

Найдите наибольшеее из чисел a², a³, a⁴.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) a² 2) a³ 3) a⁴ 4) не хватает данных для ответа

4. Значение какого из выражений является числом рациональным?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 2) 3) 4)

4. Решите уравнение

5. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

А)

Б)

В)

1) 2) 3) 4)

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.

А

Б

В

6. Фигура составляется из квадратов так, как показано на рисунке: в каждой следующей строке на 8 квадратов больше, чем в предыдущей. Сколько квадратов в 7-й строке?

7. Упростите выражение и найдите его значение при В ответе запишите найденное значение.

8. Решите неравенство .

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 2) 3) 4)

Модуль «Геометрия»

9. В треугольнике ABC AB = BC = 53, AC = 56. Найдите длину медианы BM.

10. Точка О - центр окружности, ∠AOB = 84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).

11. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

12. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой BC. Ответ выразите в сантиметрах.

13. Укажите номера верных утверждений.

1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

Модуль «Реальная математика»

14. В таблице даны результаты забега девочек 8 класса на дистанцию 60 м. Зачет выставляется при условии, что показан результат не хуже 10,8 с.

Номер дорожки

I

II

III

IV

Время (в с)

10,7

10,9

9,8

11,4

Укажите номера дорожек, по которым бежали девочки, не получившие зачет.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) только II 2) только III 3) II, IV 4) I, III

15. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали - значение температуры в градусах Цельсия. Сколько часов в первой половине дня температура не превышала 0° C?

16. Кисть, которая стоила 240 рублей, продаётся с 25%-й скидкой. При покупке двух таких кистей покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?

17. Мальчик прошёл от дома по направлению на восток 400 м. Затем повернул на север и прошёл 90 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

18. На диаграмме показано содержание питательных веществ в молочном шоколаде. Определите по диаграмме, содержание каких веществ преобладает.

*-к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.

1) жиры

2) белки

3) углеводы

4) прочее

В ответе запишите номер выбранного утверждения.

19. Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 15 с машинами и 10 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Толе достанется пазл с машиной.

20. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле , где - длительность поездки, выраженная в минутах . Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 8-минутной поездки.

II часть

21. Решите уравнение: