Одарённые дети, современное образование и математика

11

« Кругосветное путешествие

(топология, графы )»

программа элективного курса для обучающихся 9 класса основной школы

Тип элективного курса: предпрофильный (количество часов: 16)

составитель: учитель математики высшей квалификационной категории

Ерошева Татьяна Владимировна.

Пояснительная записка.

Цели занятий данного курса: - развивать у учащихся разносторонний интерес к

математике;

- расширять знания обучающихся;

- знакомить их с приложением теории к решению

олимпиадных и конкурсных задач.

Задачи курса: - сформировать способность решать практические проблемы,

прикладные задачи;

- развивать: математическое мышление;

• рациональность;

• оригинальность;

• гибкость;

• самостоятельность;

• умение работать в группе.

Методы обучения: - проблемное изложение;

- исследовательские пути решения проблемных ситуаций;

- решение практических задач;

- консультативный.

Формы обучения: -минилекции;

- сообщения учащиеся;

- практикумы;

- исследования;

- творческие проблемные группы;

- занятия с использованием компьютера;

- индивидуальные консультации;

- защита рефератов и творческих заданий.

На всех занятиях предполагается активный диалог с обучающимися.

Описание результатов: оценки не предусмотрены,

в зачётную книжку ставится «зачтено»,

более успешные учащиеся кроме «зачёта» получают сертификат об

успешном окончании элективного курса. Лучшие творческие

рефераты дорабатываются и учащиеся выступают на конференциях

как школьных, так и городских.

Данный курс позволяет познакомить обучающихся с новыми идеями и методами, расширить представление об изучаемом материале и «порешать» интересные задачи. Уровень сложности этих вопросов таков, что к их рассмотрению можно привлечь значительное число обучаемых, а не только наиболее сильных. Как показывает опыт, они интересны и доступны девятиклассникам, не требуют основательной предшествующей подготовки и особого уровня развития. Для тех школьников, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии их интереса к предмету и вызвать желание узнать больше.

Большинство ситуаций, приведённых в спецкурсе, встречаются в повседневной жизни: например, при нахождении наилучших вариантов развозки товаров по магазинам, материалов по стройкам, а так же при планировании проведения работ в строительстве.

С помощью графов решается задача о назначении на вакантную должность.

Рекомендуемые темы рефератов:

1). Топология.

2). Лабиринты.

3). Графы.

4). Одним росчерком пера.

5). Проблема четырёх красок.

6). Генеалогическое дерево.

7). Лист Мёбиуса.

Тематическое планирование.

№ п/п

Тема

Кол-во часов

В том числе

Виды деятельности

теория

практика

1.

Введение.

Топология.

1

1

беседа - лекция

2.

Теория графов.

1. Леонард Эйлер.

2. Замысловатые

маршруты и

правила Эйлера.

3. Лабиринты.

4. Лента Мебиуса.

6

1

1

0,5

0,5

1

1

0,5

0,5

мини-лекция

сообщения учащихся,

дерево вариантов,

решение задач о путешествии по мостам

г. Кенигсберга,

лабиринты

изготовление ЛЕНТ

3.

Одним росчерком пера.

1. Не отрывая карандаша

от бумаги.

2 Создание своих графов.

3.Генеалогическое дерево.

5

0,5

0,5

1,5

1,5

1

работа в группах

практическая работа, компьютер

выступления учащихся,

родословное дерево

4.

Проблема четырёх красок.

2

0,5

1,5

выступления учащихся

игра по группам, компьютер

5.

Подготовка к защите своей темы.

Индивидуальные консультации.

1

1

консультация

собеседование

6.

Мини-конференция.

1

защита творческих работ.

Методические рекомендации.

- Если элективный курс посещают только успешные в учёбе ребята, то курс можно усилить, расширив изучение таких тем, как «Топология» и «Теория графов».

- Если данный курс посещают учащиеся разного уровня математической подготовки, то можно рассмотреть посильные для учащихся упражнения.

Продолжительность курса 16 часов.

Программа элективного курса.

1. Введение (1 час).

Понятие топология.

Разделы топологии.

Топологические свойства.

2. Теория графов (6 часов).

Понятие теории графов.

Схемы дорог, коммуникаций, схемы между людьми.

Задачи Эйлера о Кенигсбергских мостах.

Лабиринты.

Правила прохождения лабиринтов.

Лента Мёбиуса и её разновидности.

3. Одним росчерком пера (5 часов).

Уникурсальная линия (линия, которую можно начертить одним росчерком пера).

Создание своих графов.

Связный граф.

Генеалогическое дерево.

Создание своего дерева.

4. Проблема четырёх красок (2 часа).

Раскраска географической карты.

Работа парами и в группах.

5. Подготовка к защите своей темы (1 час).

Создание презентаций.

Индивидуальные консультации.

6. Мини-конференция (1 час)

Учебно-методическое обеспечение.

1. «Наглядная геометрия», стр. 73,

И.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева,

Смоленск, «Русич», 1995.

2. «Я познаю мир», Математика,

А.П.Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова,

М.: АСТ, 1995., и другие.

3. Нескучный учебник «Занимательная математика», стр. 435,

С. Акимова, С-Петербург, «Тритон», 1997.

4. « Путешествие во времени»,

Мартин Гарднер,

М.: «Мир», 1990

5. «За страницами учебника математики»,

И.Я. Делман, Н.Я. Виленкин,

М., « Просвещение», 1989.

Список используемой литературы.

1. «Домашняя математика 7»,

М.В. Ткачёва,

М., « Просвещение», 1993.

2. « Внеклассная работа по математике в 6-8 классах»,

В.А. Гусев, А.И. Орлов, А.Л. Розенталь,

М., «Просвещение», 1984.

3. «Великие жизни в математике»,

Б.А. Кордемский,

М., «Просвещение», 1995.

4. « Энциклопедический словарь юного математика»,

М., «Педагогика», 1989.

5. « Математический калейдоскоп»,

Гуго Штейнгауз,

М., «Наука», 1981.

6. « Энциклопедия головоломок»,

М., «АСТ- ПРЕСС», 1997.

7. « Весёлые задачи»,

Я.И. Перельман,

М., Издательский дом Русанова, «Пилигрим», 1997.

8. «Занимательная геометрия»,

Я.И. Перельман,

М., 1991.

9. «Проблема четырёх красок»,

А.В. Самохин,

Соросовский общеобразовательный журнал, том 6, №7, 2000.

10. Приложение к «1 сентября», Математика,

№15, 2001; №34, 2002.; №33, №34, 2003.

11. Интернет- ресурсы:

ppt4web.ru, wiki.iteach.ru

412math.ucoz.ru

nataliaabelian.livejournal.com

slideboom.com

myshared.ru, docme.ru

ТОПОЛОГИЯ, раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация - это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний (т.е. отождествления ее точек). Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры. В отличие от евклидовой и римановой геометрий, геометрии Лобачевского и других геометрий, занимающихся измерением длин и углов, топология имеет не метрический и качественный характер. Раньше она носила названия «анализ ситус» (анализ положения), а также «теория точечных множеств». В научно-популярной литературе топологию часто называют «геометрией на резиновом листе», поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию. Топология - один из новейших разделов математики.

В топологию входят такие разделы геометрии, как графы (одним росчерком пера), «проблема четырёх красок», лабиринты, а также лента Мёбиуса, учение об узлах ,торы. На наших занятиях будут рассмотрены не все разделы, только некоторые..

Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными. Окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, например, растяжением границы квадрата на описанную вокруг него окружность). Сфера и поверхность куба также гомеоморфны. Чтобы доказать гомеоморфность фигур, достаточно указать соответствующее преобразование, но тот факт, что для каких-то фигур найти преобразование нам не удается, не доказывает, что эти фигуры не гомеоморфны. Здесь помогают топологические свойства.

Топологическим свойством (или топологическим инвариантом) геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании.

Литература.

1. «Математический калейдоскоп», стр. 128,

Г.Штейнгауз,

М.: «Наука», 1981.

2. «Наглядная геометрия», стр. 73,

И.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева,

Смоленск, «Русич», 1995.

3. Энциклопедический словарь юного математика.

А.П.Савин,

М.: «Педагогика», 1989.

4. « Великие жизни в математике»,

Б.А. Кордемский,

М.: «Просвещение», 1995.

Появление теории графов как математической дисциплины, все единодушно относят к 1736 году, когда Л. Эйлер (1707-1782, российский математик, швейцарец по происхождению, академик Петер­бургской и Берлинской академий наук), решил широко известную в то время задачу о Кенигсбергских мостах. Этот результат более ста лет оставался единственным в теории графов. Примерно в середине XIX века не­мецкий физик Г. Кирхгоф (1824-1871, иностранный член-корреспондент Петер­бургской академии наук) разработал те­орию деревьев (специальный вид графов) для исследования электрических цепей, а английский математик А. Кэли (1821-1895, иностранный член-корреспондент Петербургской академии наук) решил перечислительные задачи некоторых типов деревьев для описания строения углеводородов. В настоящее время эта теория широко развита и успешно при­меняется. Еще одна проблема была сформулирована в середине XIX века - проблема четырех красок. Первоначально она формулировалась в терминах раскраски географической карты так, чтобы любые две страны на карте, имеющие общую границу, были окрашены разными цветами. Эта проблема легко сводится к формулировке в терминах тео­рии графов (об этом ниже).

По-видимому, постановкой этой проблемы мы обяза­ны немецкому математику А. Мёбиусу (1799-1868, устное сообщение на лекциях в 1840 г.). Известно также, что проблему пытались решить и другие известные математи­ки, например, А. Де Морган, А. Кэли, причем последний в 1878 г. сообщил, что не может ее решить, и опубликовал формулировку этой проблемы в трудах Лондонского Ко­ролевского общества .Среди работ первой половины XX века непосредственно относя­щихся к теории графов или су­щественно использующих ее, можно выделить следующие.

Критерий планарности графа доказали независимо друг от дру­га академик Российской Акаде­мии наук Л.С. Понтрягин в 1927 г. и польский математик К. Куратовский в 1930 г. (понятия пле­нарного и плоского графа будут введены ниже).Немецкий математик Д. Ноия Л.С. Понтрягин предложил метод производящих (1908-1988)функций, позволяющий решать задачи подсчета графов, встречающихся в различных областях науки.

В этом разделе курса мы рассматриваем понятие графа.

Граф (от греческого - пишу).

В последнее время теория графов стала простым, доступным и мощным средством решения вопросов, относящихся к широкому кругу проблем. Графами можно изображать, например, схемы дорог, коммуникаций, электрических цепей, связи между людьми и группами людей.

(Сообщения учащихся о Леонарде Эйлере, его биография, интересные открытия).

Связный граф без циклов называется деревом. Деревья особенно часто возникают на практике при изображении различных иерархий. Например, популярны генеологические деревья.

Пример : (генеологическое дерево). На рисунке показано библейское генеологическое дерево.

// « События, вероятности, статистическая обработка данных»,

А. Мордкович, П. Семёнов, Приложение к «1 сентября», Математика, №34, 2002.;

«Два с половиной столетия назад у жителей тихого Кенигсберга пропал покой. Все они увлечённо решали такую задачу - как обойти семь мостов переброшенных через реку Прегель, огибающую остров Кнейпхоф, побывав на каждом из них один и только один раз.» Из книги А.Г. Конфоровича «Математика лабиринта».

Этой головоломкой заинтересовался и Л.Эйлер. Учёный увидел в этой задаче важную математическую проблему и нашёл общий метод решения подобных задач. Это Эйлеров граф. Замкнутая линия, которую можно начертить одним росчерком, называется уникурсальной.

Какие-то из этих фигур удаётся вычертить почти сразу, решение других пришло через некоторое время, а третьи вообще не рисуются.

Задачи о Кёнигсбергских мостах и другие можно найти:

1). «Наглядная геометрия»,

И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева,

Смоленск, «Русич», 1995.

2). «Я познаю мир», математика,

А.П.Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова,

М.: АСТ, 1995., и другие.

Лабиринт (греч.) означает ходы в подземельях.

- Что ты там хохочешь над книжкой? Веселая исто­рия?- спросил меня брат.

- Очень. «Трое в одной лодке» Джерома.

- Помню, забавная вещь! Какое место ты сейчас чи­таешь?- О том, как толпа людей блуждала в садовом лабирин­те и не могла из него выбраться.

- Интересный рассказ! Прочти-ка его мне. Я прочел вслух рассказ о блуждании в лабиринте с само­го начала.

Как бы не были сложны и запутаны эти ходы, всегда найдётся выход. Безвыходных лабиринтов нет!

В наше время их устраивают только в. садах и парках: блуждаешь под открытым небом между вы­сокими стенами живой изгороди. Но в древности устраивали лабиринты внутри обширных зданий или подземелий. Дела­лось это с жестокой целью обречь помещенных туда людей на безнадежное блуждание по хитроумной сети коридоров, переходов, зал, доводя до гибели от голода

Всё это можно найти :

1). «Наглядная геометрия», стр. 131,

И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева,

Смоленск, «Русич», 1995.

2). «Головоломки, нелепицы, обманки», стр.19,

Джордж Харди,

М.: АСТ-ПРЕСС, 1998.

3). Нескучный учебник «Занимательная математика», стр. 435,

С. Акимова,

С-Петербург, «Тритон», 1997.

4). Энциклопедия головоломок,

Серия «Занимательные уроки»,

М.: «АСТ-ПРЕСС», 1998.

Задача.

Вот уже десять лет мистер Донован работает сторо­жем в этом здании. Каждый вечер он обходит все комнаты, проверяя, все ли в порядке. За эти годы сторож продумал оптимальный маршрут обхода всех поме­щений: он ни разу не возвращается и не пересекает свой путь. Может, и у вас так получится? Помните: пересекать свой путь и возвращаться назад нельзя. Зато можно выходить на улицу и обходить здание кругом.

Еще одна проблема была сформулирована в середине XIX века - проблема четырех красок. Первоначально она формулировалась в терминах раскраски географической карты так, чтобы любые две страны на карте, имеющие общую границу, были окрашены разными цветами. Эта проблема легко сводится к формулировке в терминах тео­рии графов.

Фрэнсис Гатри понял, что карту графств Британии он мог бы раскрасить всего лишь в четыре цвета, причем так, что никакие два соседних графства не оказались бы раскрашенными в один и тот же цвет. Затем он стал размышлять над тем, хватит ли четырех цветов для аналогичной раскраски любой другой карты

Только в 1976 году К. Аппель и В Хакен из Иллинойского университета, затратив более1000 часов компьютерного времени добились успеха.

Узнать об этом можно в :

* //« Современная математика»,вводный курс,

Рингель,

М.: «Мир», 1977.

* // «Проблема четырёх красок»,

А.В. Самохин,

« Соросовский образовательный журнал»,

Том 6, №7, 2000.

* « Путешествие во времени»,

Мартин Гарднер,

М.: «Мир», 1990.

Список используемой литературы:

1. «Домашняя математика 7»,

М.В. Ткачёва,

М., « Просвещение», 1993.

2. « Внеклассная работа по математике в 6-8 классах»,

В.А. Гусев, А.И. Орлов, А.Л. Розенталь,

М., «Просвещение», 1984.

3. « Пифагор»,

А.В. Волошинов,

М., «Просвещение», 1993.

4. «Великие жизни в математике»,

Б.А. Кордемский,

М., «Просвещение», 1995.

5. « Я познаю мир. Математика»,

А.П. Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова,

М., АСТ, 1995.

6. «За страницами учебника математики»,

И.Я. Делман, Н.Я. Виленкин,

М., « Просвещение», 1989.

7. « Энциклопедический словарь юного математика»,

М., «Педагогика», 1989.

8. « Путешествие во времени»,

М., «Мир», 1990.

9. « Наглядная математика»,

И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева,

Смоленск, «Русич», 1995.

10. « Нескучный учебник. Занимательная математика»,

С. Акимова,

Санкт-Петербург, «Тригон», 1997.

11. « Математический калейдоскоп»,

Гуго Штейнгауз,

М., «Наука», 1981.

12. «Занимательные задачи и опыты»,

Я.И. Перельман,

М.: Детгиз, 1959.

13. « Энциклопедия головоломок»,

М., «АСТ- ПРЕСС», 1997.

14. « Весёлые задачи»,

Я.И. Перельман,

М., Издательский дом Русанова, «Пилигрим», 1997.

15. «Занимательная геометрия»,

Я.И. Перельман,

М., 1991.

16. // «Проблема четырёх красок»,

А.В. Самохин,

Соросовский общеобразовательный журнал, том 6, №7, 2000.

17. // Приложение к «1 сентября», Математика,

№15, 2001; №34, 2002.; №33, №34, 2003.