Преподавателю
Математика
Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем, содержащих тригонометрические функции, как средство формирования универсальных учебных действий на уроках математики в процессе подготовки учащихся к ЕГЭ (профильный уровень) Для более эффективной организации повторения методов решения тригонометрических уравнений можно совместить эту работу с решением иррациональных уравнений и уравнений с модулем. Когда? В конце 10 класса во время итогового повторения на уроках; на факультативах, элективн...

Раздел	Математика
Класс	-
Тип	Другие методич. материалы
Автор	Киселева М.В.
Дата	16.01.2015
Формат	docx
Изображения	Есть

Поделитесь с коллегами:

Киселева М.В., учитель математики

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №17»

Цель: расширения спектра методов решения задач, способствующих углублению знаний, подготовки к ЕГЭ, а также интеллектуальному развитию учеников.

Задачи по формированию УУД

Познавательных:

Создание ситуации для формирования умения сравнивать и анализировать факты, осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задачи, осуществлять перенос знаний в новые условия.

Регулятивных:

Создание ситуации для оценки - выделения и осознания учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознания качества и уровня усвоения, на основе этого постановка учебной задачи, а также осуществление контроля в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном и коррекция своих действий (если возникла необходимость).

Коммуникативных:

Организация фронтальной и индивидуальной работы для формирования умения с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, проявлять инициативное сотрудничество в поиске информации, участвовать в коллективном обсуждении проблем, отстаивать свою точку зрения.

Для более эффективной организации повторения методов решения тригонометрических уравнений можно совместить эту работу с решением иррациональных уравнений и уравнений с модулем. Когда? В конце 10 класса во время итогового повторения на уроках; на факультативах, элективных курсах, во время индивидуальных занятий, в 11 классе в течение всего учебного года опять же на факультативах и индивидуальных занятиях, включать уравнения в домашние задания.

Методом решения иррационального уравнения типа является равносильный переход к системе

Уравнение

Ответ

Комментарии

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Используя основное тригонометрическое тождество. Уравнение сводится к квадратному; применяется формула косинуса двойного угла

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем ;

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Используя основное тригонометрическое тождество. Уравнение сводится к квадратному; применяется формула косинуса двойного угла, запись ответа содержит обратные тригонометрические функции не являющиеся частными случаями

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Прежде всего надо «уединить радикал»

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем где

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Уравнение сводится к квадратному. Ответ содержит обратные тригонометрические функции не являющиеся частными случаями. Неравенство более сложное.

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем ;

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Применяется вынесение за скобку общего множителя решение однородного уравнения 1-ой степени.

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем ;

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем ;

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

В результате преобразований получается однородное тригонометрическое уравнение 2-ой степени.

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем ;

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Затрудняет решение сложный аргумент, в одном из уравнений надо применить формулу суммы косинусов.

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем ;

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем ;

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

При решении неравенства используется метод введения вспомогательного угла, может возникнуть трудность при проверке корней

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем ;

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем ;

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Применив условие равенства дроби нулю, тождество Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем и основное тригонометрическое тождество уравнение сводится к квадратному.

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Уравнения содержащие радикалы третьей степени, решают возведением в куб обеих частей уравнения, применяя при этом формулы куба суммы и разности в таком виде:

Уравнение

Ответ

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем ;

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Уравнения, содержащие два и более квадратных корня.

Уравнение

Ответ

Комментарии

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем ,

Так как выражения под знаком квадратного корня положительные, после преобразований (возведение в квадрат дважды) уравнение сводится к квадратному.

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Первый шаг при решении следующих уравнений заключается в ведении новой переменной.

Уравнение

Ответ

Комментарии

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем ;

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Применить условие равенства произведения нулю требуется при решении следующих уравнений.

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Уравнения, в которых применяется тождество

Уравнение

Ответ

Комментарии

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем ;

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем ;

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Раскрываем модуль по определению. Для проверки корней можно использовать единичную окружность.

Уравнение

Ответ

Комментарий

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

После раскрытия модуля получаем простейшее тригонометрическое уравнение

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

После раскрытия модуля получаем однородное уравнение первой степени

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

После раскрытия модуля при решении уравнения используем разложение на множители

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

После раскрытия модуля применим условие равенство дроби нулю

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

После раскрытия модуля применим условие равенство дроби нулю, вынесение за скобку общего множителя и решим однородное тригонометрическое уравнение первой степени

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

При решении придется сравнивать корни тригонометрического уравнения с числом (-3)

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

После раскрытия модуля уравнение сводится к квадратному, усложняет решение аргумент Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Применяется метод вспомогательного угла

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Для разложения на множители применяется группировка, усложняет решение проверка условия Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Применив формулу суммы (разности) косинусов и формулу синуса двойного угла, разложить на множители, далее уравнение сводится к квадратному.

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

В результате преобразований получаем однородное тригонометрическое уравнение второй степени

Уравнения можно решить с помощью равносильного перехода к системе

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Уравнение

Ответ

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Уравнения можно решить с помощью равносильного перехода к системе

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Уравнение

Ответ

Комментарий

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем для всех

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем

Решение иррациональных уравнений и уравнений с модулем для всех

Литература

Подготовка к единому государственному экзамену: математика. Методические материалы. Вологда 2009.
Задачник-практикум по математике. Алгебра. Тригонометрия: для поступающих в вузы. /В.Н.Литвиненко, А.Г. Мордкович, М. 2005г.
3000 конкурсных задач по математике 2-е издание, М. 1998г.
Математика. ЕГЭ - 2008. Вступительные испытания. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко - Ростов-на-Дону: Легион, 2007г.

загрузить