Элективный курс по математике «Стандартные и нестандартные методы решения уравнений и неравенств с параметрами»

Элективный курс по математике.

Программа и тематическое планирование.

«Стандартные и нестандартные методы решения уравнений и неравенств с параметрами»

Учитель: Перфильева Инна Жоржовна

Класс: 11

Количество часов на учебный год: всего - 34; в неделю - 1.

Учебно-методическое обеспечение:

Э.С.Беляева, А.С.Потапов «Уравнения и неравенства второй степени с параметрами и к ним сводимые»

Э.С.Беляева, А.С.Потапов «Логарифмические и показательные уравнения и

неравенства с параметром»

И.Н.Данкова, О.В.Занина «Профильное обучение математике в

старшей школе: Методические рекомендации»

В.К.Егерев, Б.А.Корденский «Сборник конкурсных задач для поступающих

во ВТУЗы»

М.К.Потапов «Алгебра и анализ элементарных функций»

И.Ф.Шарыгин «Факультативный курс по математике. 11 класс»

В.В.Амелькин «Задачи с параметром»

Пояснительная записка.

Задачи с параметрами все чаще предлагаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, а так же на выпускных экзаменах в школе, в частности, на ЕГЭ. Это и понятно. Они обладают большой диагностической ценностью. С помощью задач с параметрами проявляется глубина усвоения основных разделов элементарной математики, логического мышления. Уравнения и неравенства с параметрами представляют богатый материал для математической деятельности учащегося. Но ни в программе по математике общеобразовательных школ, ни в школьных учебниках нет темы «Задачи с параметрами».

Основная цель курса - повысить математическую культуру учащихся в рамках школьной программы по математике.

При рассмотрении данной темы сделана попытка реализовать дидактические принципы: от простого к сложному; доступности: наглядности. По возможности предлагается рассмотреть как аналитические способы решений уравнений и неравенств, так и графический способ. Графический способ делает решение уравнений более наглядным, а иногда простым. Но во многих случаях он оказывается недоступным для учащихся, так как требует не только знания «азбуки» элементарных функций, но и умения выполнять различные преобразования графиков функций.

Данный курс поможет учащимся оценить свои способности к математике на повышенном уровне. Так как курс носит практический характер и в ходе его разбирается большое количество различных задач, то зачетные занятия проводятся в виде индивидуального дифференцированного зачета по решенным задачам. По мере надобности будут проведены обучающие или проверочные самостоятельные работы по материалам курса.

Цель курса: углубить и расширить, обобщить и систематизировать знания и умения учащихся за курс средней школы на примерах решения нестандартных примеров. Научить применять нестандартные методы при решении задач, выбирать оптимальный метод решения. Достичь высокого уровня подготовки выпускников к итоговой аттестации.

Задачи курса:

1. В ходе обобщения и систематизации изученного материала находить рациональные, нестандартные методы решения задач курса средней школы и задач повышенной трудности.

2.Научить учащихся анализировать условие задачи, строить математическую и графическую модель ситуации, проводить анализ и теоретическое обоснование решения.

З.С помощью применения различных приёмов решения задач способствовать активизации мыслительной деятельности учащихся, подготовить учащихся к успешному участию в итоговой аттестации.

№

урока

Название тем (с указанием количества часов) Темы уроков

Дата проведения урока

1,2

3

4,5

6,7,8

9

10

11

12,13

14,15,16

17

18,19,20

21,22,23

24,25

26,27

28,29

30,31

32

33,34

Линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметрами

Линейные уравнения с параметром и к ним сводимые. - 2 ч.

Неполные квадратные уравнения с параметрами - 1ч

Приведенные квадратные уравнения с параметрами - 2ч

Квадратные уравнения с параметром и к ним сводимые - 3ч

Единичная окружность

Единичная (тригонометрическая) окружность -

1ч.

Запись чисел, соответствующих точкам

единичной окружности - 1ч.

Запись множества корней наиболее

рациональным способом - 1ч.

Метод «лепестков» в решении

тригонометрических уравнений и неравенств -

2ч.

Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения с

параметрами и к ним сводимые - Зч.

Таблица «опасных формул» -1ч.

Тригонометрические уравнения и системы с

параметрами - Зч.

Тригонометрические неравенства

Тригонометрические неравенства с

параметрами - Зч.

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами

Показательные уравнения с параметром - 2ч.

Логарифмические уравнения с параметром - 2ч.

Комбинированные уравнения с параметром - 2ч.

Графические методы решения задач, уравнений, неравенств - 2ч.

Показательные неравенства с параметром - 1ч.

Зачетные занятия - 2ч.

Требования к системе контроля

Данный курс поможет учащимся оценить свои способности к математике на повышенном уровне. Так как курс носит практический характер и в ходе его разбирается большое количество различных задач, то зачетные занятия проводятся в виде индивидуального дифференцированного зачета по решенным задачам. По мере надобности будут проведены обучающие или проверочные самостоятельные работы по материалам курса.

Примерные задания для самостоятельных работ по материалам курса, для дифференцированного зачета:

1. 1. Решите уравнение sin х=а²

2. Решите уравнение (a² -4)cos х=а+2

3. Решите уравнение cos х+ 4з sinx=2c

X

4. Решите уравнение acos х-2 sin²- =0

5. При каких целых значениях параметра а уравнение

X X

cos ах=1+7 cos² (- + -) имеет решение? Найдите их

2. 1. Решите неравенство cos х=а ² (х+1)<а

" 2

2. Решите неравенство sin х>

3. Решите неравенство sin(ax-2)<&, где -1<а<0

4. Решите неравенство \sin(2x-4)\

5. Решите неравенство (а-3) sinх<\2а-3\

3. 1. При каких действительных значениях параметра а уравнение
sinx+2cos х+а-1 имеет решения?

2. При каких действительных значениях параметра а уравнение 2(а²+1) cos²x+4a²cos х+1=0 не имеет решений?

3. Решите уравнение sin3x- sin2x -a sin х

4. При каких значениях а уравнения равносильны?

а) sin х=а и sin х=а² -2

б) cos х=а и 4cosx =а

в) \cos х\ =а и cos²x= а²

5. Найдите все значения параметра а, при которых для любого действительного значения х выполнено неравенство 2а-4+(3- sin² х) ² + cos²x<0

6. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений \sin х ■ cos 2х = а² +1,

[cosх ■ sin 2у = а , имеет решения, и решите систему.

Содержание обучения

1. Линейные и квадратные уравнения и неравенства с параметрами

(8 часов)

Понятие линейного уравнения с параметром.

Методы решения линейных уравнений с параметрами.

Понятие квадратного уравнения с параметром.

Методы решения квадратных уравнений с параметром.

2. Единичная окружность (5 часов)

Запись чисел в тригонометрической форме.

Понятие единичной тригонометрической окружности.

Точки и множества на единичной окружности.

Метод «лепестков» в решении тригонометрических уравнений и неравенств.

3. Тригонометрические уравнения с параметрами (7 часов)

Понятие тригонометрического уравнения с параметрами.

Методы решений простейших тригонометрических уравнений с параметрами.

Таблица «опасных формул».

Методы решения тригонометрических систем с параметрами.

4. Тригонометрические неравенства с параметрами (3 часа)

Методы решений простейших тригонометрических неравенств с параметрами.

Методы решений более сложных тригонометрических неравенств с параметрами.

5. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами (9 часов)

Простейшие показательные уравнения с параметрами.

Более сложные показательные уравнения с параметрами.

Простейшие логарифмические уравнения с параметрами.

Более сложные логарифмические уравнения с параметрами.

Комбинированные уравнения с параметрами.

Графические методы решения показательных и логарифмических уравнений с параметрами.

6. Зачетные занятия (2 часа)