Конспект урока по математике. Урок математики 11 класс.

Тема: «Решение уравнений со знаком модуля»

Автор: Шагдарова Дулма Гончиковна, учитель математики первой квалификационной категории МОУ «Могойтуйская средняя общеобразовательная школа №3»

Обучение- это ремесло,

использующее бесчисленное

количество маленьких трюков.

Цель урока: на основе определения модуля числа выяснить особенности решения уравнений со знаком модуля.

Задачи урока:

1) организовать работу учащихся по усвоению методов решения уравнений со знаком модуля, продолжить формирование умений анализировать, мыслить, наблюдать и делать выводы, умения обобщать.

Рассмотреть различные способы решения уравнений с модулем;

2) развитие творческого мышления учащихся;

развитие познавательной и творческой деятельности

развитие культуры коллективного умственного труда.

3) воспитывать в учащихся умения работать в группе, стимулировать желание проявлять инициативу и высказывать своё мнение.

Ход урока.

1). Организационный момент.

Просьба ученикам обратить внимание на эпиграф. (слайд №2)

Учитель: Математику не зря называют «Царицей наук» Ей, больше, чем какой- либо другой науке, свойственны изящность и точность. Одно из замечательных качеств математики - любознательность и многообразие форм и методов решения заданий различными способами. Постараемся доказать это на уроке.

2) Блочное повторение

а) математический диктант (слайд №3,4)

б)Задание №1

Решить уравнение: lх - 3l = 5, значит найти все точки числовой оси, которые отстоят от точки координатой (3) на расстояние 5.

Ответ: -2; 8.

-2 и 8 - корни уравнения lх-3l=5

комментарий учителя (слайд №5)

Выход на тему урока: Решение уравнений с модулем. (слайд№6)

Учитель: Задание №2.

Решите уравнения: а) |х-1|=3

б) |х+2|=3 (слайд №7)

Уравнения решаются учащимися в группах.

Обсуждение решений в группах. Уравнения l х - а l = в, где в>0 допускают простую геометрическую интерпретацию.

Решить уравнение l х - 1 l = 3 - значит найти все точки числовой оси, которые отстоят от точки с координатой (1) на расстоянии 3.

Объясните, что значит, решить уравнение l х + 2 l = 3?

Ученик: (слайд №8) Решить уравнение l х + 2 l = 3 - значит найти все точки числовой оси, которые отстоят от точки с координатой (-2) на расстоянии 3.

б) Суть метода. (Слайд №9,10)

Задание№3.

Решите уравнение: а) lх-4l=3 Ответ: а) 1; 7

б) lх+2l=7 б) 5; -9

Учащиеся комментируют:

1 ученик: а) lх-4l=3

Решить данное уравнение, значит найти все точки числовой оси, которые отстоят от точки с координатой (4) на расстоянии 3. Такие точки имеют координаты (1); (7).

2 ученик: lх+2l=7

Решить данное уравнение, значит найти все точки числовой оси, которые отстоят от точки с координатой (-2) на расстоянии 7. Такие точки имеют координаты (5); (-9).

Учитель: Уравнения вида в₁ lх-а₁l + в₂ lх-а₂l + … + в_п lх-а_пl = в,

где а₁ < а₂ < … < а_п и в, в₁, в₂, … , в_п Є R решается методом интервалов .

суть метода состоит в том , что точками а₁ ,а_2, … , а_{п .} числовую ось делят на непересекающиеся промежутки знакопостоянства (-∞; а₁ ),⊏а₁; а₂), … ,

⊏а_п;+∞). Решают уравнение на каждом промежутке; совокупность решений на всех промежутках и составит решение исходного уравнения.

Задание №4:

Решение уравнений проверяют (самопроверка), слайды№15,16)

По решенному уравнению на слайде один из учеников комментирует решение, учащиеся по желанию могут записать в тетрадь предложенное решение.

Решение: точками (2) и (-3) разделим числовую ось на промежутки

(-∞; -3),⊏-3; 2), … ,⊏2;+∞) и решим уравнение на каждом из этих промежутков.

1) х<-3 -х+2-х-3=7

х =- 4

2) -3≤х<2 -х+2+х+3=7 решений нет

3) х≥2 х-2+х+3=7 х=3

Ответ: -4; 3

Учитель: Предлагаю составить алгоритм решения данных уравнений самостоятельно, а затем проверим ваши выводы. (Слайд №17,18,19).

(Слайд №17).

Учитель: Уравнения Ix - aI + Ix - bI =c и Ix - aI - Ix - bI =c

имеют простую геометрическую интерпретацию. Вернемся к предыдущим уравнениям.

(Слайд №18).

Решить уравнение Iх - 2I + Iх + 3I = 7 - это значит найти все точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний до точек с координатами (2) и (-3) равна 7. Внутри отрезка таких точек нет, так как длина меньше семи, значит точки вне отрезка.

Заметим, что это точки (-4) и (3) х=-4 и х=3 корни уравнения

Ответ: -4; 3.

Учитель: Объясните решение уравнения с помощью геометрической интерпретации.

Один из учеников проговаривает решение, затем решение просматривается на слайде №19

Ученик:

Решить уравнение Iх - 5I - Iх - 2I = 3 - это значит найти все точки на числовой оси Ох, для каждой из которых разность расстояний от нее до точки с координатой (5) и расстояний от нее до точки с координатой (2) равнялось 3. Длина отрезка равна 3 следовательно любая точка левее (2) будет решением уравнения.

Ответ: x < 2.

Учитель:

Сегодня на уроке мы рассмотрели два метода решения уравнений с модулем.

Какой ещё способ решения уравнений вы знаете?

Ученики отвечают, что существует графический способ решения уравнений.

Учитель: Вы правы, весьма эффективен графический метод решения уравнений, содержащих модули.

Рассмотрим пример (Слайд №20).

Задание №5: Решите уравнение:

I X - 1 I + I X - 2 I + I X - 3 I =2

Решение(слайд№21)

Построим графики функций:

Y=I X - 1 I + I X - 3 I и Y= 2 - I X - 2 I

пересечение графиков точка (2;2)

Ответ: 2.

Учитель: Используя геометрическую интерпретацию, данное уравнение можно решить очень просто (рис на слайде №21)

- это значит найти все точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний до точек с координатами (1) (2) и (3) равна 2. Такая точка одна, и находится внутри отрезка это (2).

Ответ: 2.

Учитель: Исходя, из решенных на уроке уравнений сделайте вывод.

Где необходимо искать решение?

Ученики делают вывод опираясь на рассмотренные случаи.

Учитель ещё раз просит каждого проговорить про себя, и просматривают вывод на слайде №22; 22

(Слайд №22).

Обобщение.

• Если в уравнении Ix - aI + Ix - bI =c,

• Iа - bI <c, то решение надо искать вне отрезка [a;b];

• а если Ia - bI=c, то отрезок [a;b] будет решением уравнения;

• если Ia - bI>c, то уравнение решений иметь не будет.

(Слайд №23).

• Iа - bI = c, то при a < b, x > b

• Если в уравнении Ix - aI - Ix - bI =c,

a > b, x < b;

• если Ia - bI < c, то решений нет;

• если Ia - bI>c, то решение лежит внутри отрезка [a;b].

Учитель: Предлагаю для закрепления пройденного на уроке разноуровневую самостоятельную работу, РЕШАЮТ ПО 3 ПРИМЕРА (учащиеся сами определяют для себя уровень сложности). 10 минут.

(Слайд №24).

• IX + 3I + IX - 3I =6

• IX - 1I + IXI = 9

• IX - 3I + IX - 1I =3

• IX + 6I + IX + 4I =5

• IX - 1I - IX + 1I = 3

• I5 + XI - Iх - 8I = 13

• IX - 3I + 2IX + 1I =4

• IX - 4I + IX - 2I = IX+ 1I

• IX+1I +IX-2I+IX-5I=6

Итог урока: проверяют решение уравнений.

Домашняя работа придумать по 3 уравнения со знаком модуля.