Исследовательская работа по теме Фрактал

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

Халдинская средняя общеобразовательная школа

Селтинского района Удмуртской Республики

РАЙОННАЯ НАУЧНО - ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

Фрактал

(естественнонаучное направление)

Автор: Помосова Мария Сергеевна

ученица 8 класса

МКОУ Халдинская СОШ

Руководитель: Созонова Надежда

Константиновна

учитель математики

МКОУ Халдинская СОШ

Селты

2014г

Оглавление

Введение………..…………………………………………………………….………2

Глава 1.История возникновения понятия фрактала……………….....……………3

Глава 2. Виды фракталов……………………………………………………………4

Геометрические фракталы……………………………………………………4

Алгебраические фракталы……………………………………………………6

Стохастические фракталы…………………………………………………….7

Глава 3. Фракталы в живой и неживой природе…………………………………..9

Глава 4.Фракталы в математике и изобретениях человека……………………….12

Глава 5. Методика «Драконовы ключи»…………………………………………...13

Глава 6. Мои исследования………………………………………………………….17 Заключение, выводы………………………………………………………………...18

Список используемой литературы и сайтов Интернета……………..……………19

Введение.

Цель данной работы показать на примере темы «Фрактал», что математика не

оторванный от жизни предмет. Математика присутствует во многих областях

нашей жизни.

Объектом исследования

Человек, математические абстракции, созданные человеком, изобретения

человека, окружающий мир.

Предмет исследования

Форма и строение исследуемых предметов и явлений.

Гипотеза

Строение человека, растительного мира и неживой природы едино с точки

зрения фрактальной геометрии.

Задачи

1. Проанализировать и проработать литературу по теме исследования.

2. Рассмотреть различные виды фракталов.

3. Рассмотреть природные явления и объекты окружающего мира с точки зрения проявления в них фрактала.

4. Рассмотреть возможности практического применения фрактала.

5. Познакомиться с методикой Драконовы ключи и опробовать её.

6. Придумать и создать собственный фрактал.

Новизна исследования:

Открытие фракталов в окружающей нас действительности.

Практическая значимость:

Использование приобретенных знаний и навыков исследовательской работы

при изучении других школьных предметов.

Данная тема привлекла меня своей необычностью и многообразием. Мне захотелось больше узнать о фракталах и попытаться сделать свой фрактал.

Глава 1.

История возникновения понятия фрактала.

Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии. Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке.

Отцом современной фрактальной геометрии и слова фрактал является Бенуа Мандельброт. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.

Что же такое фрактал. Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения.

Фрактал - термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы.

Глава 2.

Виды фракталов в математике.

Геометрические.

История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса - самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность.

Фракталы этого типа строятся поэтапно. Сначала изображается основа. Затем некоторые части основы заменяются на фрагмент. На каждом следующем этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным частям основы, вновь заменяются на фрагмент, взятый в подходящем масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается. Когда изменения становятся визуально незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Для получения самого фрактала нужно бесконечное число этапов. Меняя основу и фрагмент, можно получить много разных геометрических фракталов.

Геометрические фракталы хороши тем, что, с одной стороны, являются предметом достаточного серьезного научного изучения, а с другой стороны, их можно «увидеть» - даже человек, далекий от математики, найдет в них что-то для себя. Такое сочетание редко в современной математике, где все объекты задаются с помощью непонятных слов и символов. Оказывается, многие геометрические фракталы можно нарисовать буквально на листочке бумаги в клетку. Сразу оговоримся, что все получаемые изображения (в том числе и те, что приведены на этом плакате) являются лишь конечными приближениями бесконечных по своей сути фракталов. Но всегда можно нарисовать такое приближение, что глаз не будет различать совсем мелкие детали и наше воображение сможет создать верную картину фрактала. Например, имея достаточно большой лист миллиметровой бумаги и запас свободного времени, можно вручную нарисовать такое точное приближение к ковру Серпинского, что с расстояния в несколько метров невооруженный глаз будет воспринимать его как настоящий фрактал. Компьютер позволит сэкономить время и бумагу и при этом еще увеличить точность рисования.

Ещё одним типичным примером геометрического фрактала является кривая Коха. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

Если в качестве основы взять равносторонний треугольник, то получим треугольник Серпинского. Равносторонний треугольник делится прямыми, параллельными его сторонам, на 4 равных равносторонних треугольника. Из треугольника удаляется центральный треугольник. Получается множество, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество, состоящее из 9 равносторонних треугольников «второго ранга» и так далее.

Алгебраические.

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых.

Первые исследования в этом направлении относятся к началу XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный труд Жюлиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жюлиа - целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жюлиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело, разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди нематематиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве - фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера. Сейчас в интернете можно легко найти множество сайтов, посвященных этой теме.

Множество Множество

Мандельброта Жулиа

Стохастические.

Кривая Коха, как бы ни была похожа на границу берега, не может выступать в качестве её модели из-за того, что она всюду одинакова, самоподобна, слишком «правильна». Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».

Известным представителем стохастических фракталов является плазма. Для её построения возьмём прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральные точки прямоугольника и его сторон, и раскрашиваем их в цвет, равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число, пропорциональное размеру разбиваемого прямоугольника. Прямоугольник разбиваем на 4 равных, к каждому из которых применяется та же процедура. Далее процесс повторяется. Чем больше случайное число - тем более «рваным» будет рисунок.

Если мы теперь скажем, что цвет точки - это высота над уровнем моря, то вместо плазмы получим горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму, строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладывается текстура и т. д.
Рандомизованный фрактал строится по обычному алгоритму, за исключением того, что при вычислении на каждой итерации добавляются случайные величины.

Плазма Рандомизированный фрактал

Глава 3.

Фракталы в живой и неживой природе.

Одним из типичнейших представителем фрактального подводного мира является коралл. В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов, в палитре которых различают до 350 цветовых оттенков. В строении морской

раковины так же хорошо видна структура фрактала.

На первый взгляд человек не обладает выраженной фрактальной внешностью. Но стоит заглянуть внутрь - всё встаёт на свои места.

Кровеносная, дыхательная, нервная система, сетчатка глаза - вот только самый беглый список биологических фракталов, которые присутствуют в каждом человеке.

Растения, деревья и травы - обладают выраженной фрактальной формой, в отличие, например от животных. Кроме того, что фрактальную структуру имеет лист растения (прожилки), общее строение растений также фрактально.

Например, здесь, маленькие листья аналогичны по форме большим, хотя и не являются их точной копией.

Структуру фрактала хорошо просматривается в формах горных хребтов, сталактитов и сталагмитов, ну и конечно в кристаллах.

Возьмём, к примеру, снежинки. Эти кристаллики образуются, когда в облаке водяной пар превращается в лёд. По мере роста кристалликов возникают изящные, ажурные узоры.

Стохастические фракталы можно увидеть в границах географических объектов и береговых линий, форме облаков и разрядах молний.

Глава 4.

Фракталы в математике и изобретениях человека.

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее.

В последнее время фракталы стали популярным инструментом для анализа состояния биржевых рынков.

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают

текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы

текста:

1) неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…»;

2) неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И, хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не

помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Глава 5.

Методика Драконовы ключи.

В ходе работы над рефератом я нашла заинтересовавшую меня методику

«Драконовы ключи» созданную питерским художником Сергеем Рокомболем. Чаще всего её используются в арт-терапии.

Данная методика состоит из серии рисунков основанных на фрактальной схеме матрицы. Все рисунки сконструированы таким образом, что взаимодействие с ними проявляет и активизирует разнообразные и разноуровневые скрытые творческие возможности человека; и чем активнее взаимодействие, тем интенсивнее активизируются скрытые творческие потенции.

Первый эффект не заставит себя долго ждать, ребенку будет достаточно раскрасить один рисунок целиком, чтобы фоновая активность коры полушарий головного мозга повысилась. Это проявляется в потоке вопросов, фантазий, а иногда дети даже поют, играя и изучая рисунки.

Дети одной из школ города Берлина после раскрашивания рисунков начали сами активно рисовать и сочинять сказки. Даже это уже значительный результат для развивающего ребенка. Сами рисунки столь неординарны, что непременно вызывают интерес не только у детей; а попытки детского ума найти объяснение приводят к фантазированию, развитию воображения.

Второй значительный эффект - вслед за свободой, которую получает ребенок в выборе цветов, способов и последовательностей закрашивания у него появляются собственные творческие стремления и, как вы сможете сами убедиться, не только в сфере рисования. А креативность - это именно то качество, которое отличает развивающую личность.

Конструкция рисунков, заданная фрактальность их деталей разовьют мелкую моторику руки - это третий эффект. Благодаря столь особенному устройству иннервации кистей рук (нервные окончания напрямую принадлежит коре головного мозга, без переключений где-либо) этот эффект проявляется в дальнейшем как большая упорядоченность мыслительного аппарата ребенка. А, следовательно, ему будет гораздо проще справляться со школьными нагрузками.

Четвертый эффект - повышение способности к концентрации внимания и непосредственно следует из третьего. Развитие функций внимания одно из самых значительных последствий от взаимодействия с рисунками альбома «Драконовы Ключи», столь необходимых не только детям, но и многим взрослым людям - в сегодняшнем перегруженном информацией, мире.

Оригинальное исполнение рисунков, использование геометрии фракталов для создания сложных изображений, активизирует процесс развития способностей оперирования визуальными образами. Вследствие того, что 90% информации, получаемой извне, воспринимается человеком зрительно, повышение этой способности приводит в итоге к развитию памяти у ребенка (в начале, конечно, зрительной, но затем и другие ее виды).

В рисунках среди прочих идей яркое выражение нашли идеи взаимодействия симметрий (их несколько) и асимметрии. Знакомство с этими явлениями как через парные рисунки в альбоме, так и через симметричные детали одного и того же рисунка приведет (и значимость этого шестого эффекта трудно переоценить) к активизации межполушарных связей в головном мозге. Полушария мозга ответственны за различные функции (в частности, кора полушарий) и в ситуации, когда одно из них перегружено, человек практически не способен на конструктивные способы разрешения проблем, в т.ч. задач познания. Именно в таком положении находятся 60% людей, обращающихся за помощью к психологу. Эта проблема исчерпывается, когда активность двух полушарий соотносится и используется рационально - к этому и приводит ребенка общение с симметриями и асимметриями в рисунках - раскрасках альбома «Драконовы Ключи».

В процессе работы с рисунками альбома «Драконовы Ключи» организуется сознание, устанавливается гармоническое соотношение между правым и левым полушариями мозга, растет чувство ритма, сосредоточенность; укрепляется зрительная и моторная память, ассоциативное и образное мышление.

Высказанные соображения не голословны, они подкрепляются экспериментальной работой как зарубежных, так и наших психологов с детьми разного возраста. Руководитель исследовательской группы «Детская психиатрия», практический психолог Т.Чередникова в положительной рецензии на альбом «Драконовы Ключи» отмечает, что «большинство детей предпочитают картинки-раскраски из «Драконовых Ключей» другим раскраскам. В процессе работы у детей стимулируется психическая активность, пробуждается интерес и воображение, растет эмоциональный отклик, усиливается спонтанная речевая активность.

Использовать эту методику можно с разными целями. В первую очередь это диагностика интеллекта и эмоциональной сферы. Далее это развитие и коррекция тех же интеллектуальных и эмоциональных сфер, а также развитие и коррекция коммуникативных навыков. Ее можно использовать как в индивидуальной работе, так и в работе с группами, хорошо зарекомендовала она себя в работе с семьями для коррекции родительско-детских отношений.

Для диагностики интеллекта используется только изображение птицы. Процедура диагностики подробнейшим образом описана в монографии Чередниковой "Цветоструктурирование".

Глава 5.

Наши исследования.

Я решила опробовать эту методику «Драконовы ключи» на учениках начальных классов нашей школы. Мы предложили ученикам начальных классов раскрасить 1 рисунок и ответить на несколько вопросов:

1. Понравилось ли вам картинка?

2. Поднялось ли у вас настроение?

3. Захотелось ли вам еще раскрашивать подобные картинки?

Вот некоторые рисунки ребят:

Ответы были положительными у всех ребят, на следующий день они взяли раскрашивать еще рисунки. Я очень надеюсь, что у ребят участвующих в эксперименте в дальнейшем будут улучшения и в учёбе.

В процессе работы над рефератом мне захотелось и самой создать свой фрактал. Мне показалось интересным вырастить кристалл и вышить фрактал в технике изонить.

Заключение, выводы.

Изучая фракталы, анализируя проявления фракталов в окружающей нас действительности, а также в научных открытиях, связанных с существованием фракталов, я обнаружила удивительно тесную связь математики и окружающим нас мира.

Фракталы описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Фракталы неисчерпаемы, как неисчерпаемы их приложения в науке, технике и искусстве. Но не следует забывать о том, что и фракталы - не более чем упрощенная модель реальности, которая не может претендовать на роль универсального ключа к описанию природы.

Я думаю, что приобретенные знания и навыки исследовательской работы при изучении данной темы помогут мне при изучении и других школьных предметов.

Список используемой литературы и сайтов Интернета

1.lib.mexmat.ru/books/419/s2

2.ru.wikipedia.org/wiki/Фрактал

3.3dfractal.ru/stati-o-fraktalah/31.html

4. images.yandex.ru/yandsearch?text=фракталы&stype=image&lr=213&noreask=1&source=wiz

5. ru.wikipedia.org/wiki/%D4%F0%E0%EA%F2%E0%EB

6. dic.academic.ru/dic.nsf/enc_physics/5123/ФРАКТАЛЫ

7. nsportal.ru/shkola/rabota-s-roditelyami/library/v-mire-fraktalov

20