Методическая разработка урока по математике по теме Решение тригонометрических уравнений

ГАОУ СПО Тольяттинский колледж сервисных технологий и предпринимательства

Методическая разработка

урока математики

по теме «Решение тригонометрических уравнений»

на городской конкурс педагогического мастерства

«Фестиваль инновационных педагогических идей»

Номинация «Педагог - педагогу»

Автор работы:

Агаева Ольга Ивановна, преподаватель

Тольятти

2012 г

Цели урока:

Образовательные:

актуализировать знания учащихся по теме урока;

закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Развивающие:

- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

- формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

Воспитательные:

- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Продолжительность урока: 2 часа

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.

Методическое обеспечение урока: презентация к уроку, справочные таблицы, таблицы для устного счета, тексты самостоятельных работ

Структура урока:

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа:

1.2.1. Решение линейных и квадратных уравнений.

1.2.2. Использование основных формул тригонометрии.

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания):

2.1.1.Свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

2.1.2. Определения обратных тригонометрических функций.

2.1.3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

2.1.4. Тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным.

2.1.5. Однородные тригонометрические уравнения.

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений:

2.2.1. Введение нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

2.2.2. Метод разложения на множители.

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.

Ход урока:

1. Вводно-мотивационная часть

1.1.Организационный момент.

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Содержание этапа:

1. Приветствие.

Преподаватель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются как в вариантах внутреннего экзамена по математике, так и вариантах ЕГЭ.

2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Преподаватель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Приготовились к уроку. Начинаем! И пусть эпиграфом к нашему уроку будут слова Пуассона С. Д. «Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием»

3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Преподаватель: Тема нашего урока - решение тригонометрических уравнений.

Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

В начале урока мы вспомним решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.

Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений. Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения, уравнения вида

a sinx + b cosx = c. После каждого блока заданий проводим разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий.

После чего познакомимся с решением симметричных тригонометрических уравнений, решением тригонометрических уравнений путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Обсудим полученные результаты работы на уроке, оценим индивидуальную работу. Затем получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Итак, приступаем.

1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Содержание этапа:

Преподаватель: 1.2.1.Первое задание для устной работы - решите уравнения:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы(слайд 2)

a) 3 х - 5 = 7

б) х² - 8 х + 15 = 0

в) 4 х² - 4 х + 1= 0

г) х⁴ - 5 х² + 4 = 0

д) 3 х² - 12 = 0

Ответы

4

3; 5

0,5

-2; -1; 1; 2

-2; 2

Преподаватель: 1.2.2.Второе задание - используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы(слайд 3)

а) (cos a - 1) (cos a + 1)

б) sin² a + 1 + cos² a

в) sin² a - tg a ctg a + cos² a

Ответы

- sin² a

2

0

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Содержание этапа:

Преподаватель: 2.1.1.Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

Преподаватель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.

Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание (слайд 4 и 5)

1 вариант

2 вариант

sin (-π/3)

cos 2π/3

tg π/6

ctg π/4

cos (-π/6)

sin 3π/4

Ответы

- √3/2

- 1/2

√3/3

1

√3/2

√2/2

cos (-π/4 )

sin π/3

ctg π/6

tg π/4

sin (-π/6)

cos 5π/6

Ответы

√2/2

√3/2

√3

1

- 1/2

- √3/2

Преподаватель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов

оценка

6

5

5

4

4

3

< 4

2

На экране проецируются ответы

Преподаватель: 2.1.2.А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Преподаватель: Выполняем следующую работу также самостоятельно. Вычислите:

На экране проецируется задание (слайд 6 и 7)

1 вариант

2 вариант

arcsin √2/2

arccos 1

arcsin (- 1/2 )

arccos (- √3/2)

arctg √3

Ответы

π/4

0

- π/6

5π/6

π/3

arccos √2/2

arcsin 1

arccos (- 1/2)

arcsin (- √3/2)

arctg √3/3

Ответы

π/4

π/2

2π/3

- π/3

π/6

Преподаватель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов

оценка

5

5

4

4

3

3

< 3

2

На экране проецируются ответы

Преподаватель: 2.1.3.Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а, cosx = а, tg х=а.

Учащиеся называют формулы решения уравнений (слайд 8)

sinx =а

х = (-1)^k arcsin а + π k, k Z

cosx = а

х = ± arccos а + 2 π k, k Z

tg х = а

х = arctg а + π k, k Z.

Преподаватель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений

по известным алгоритмам.

2.1.4. Тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

а sin² х + b sin х + с =0 или

а sin² х + в cos х + с =0

Решим уравнение:

sin² х + 5 sin х - 6 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin х = у, решая квадратное уравнение

у² + 5 у - 6 = 0, находят у₁ = 1; у₂ = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π n, n Z.

Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как -6 Е ( sin х ),

т.е. -6 [-1; 1]

Преподаватель: При решении уравнения вида а sin² х + в cos х + с =0 вводим замену

sin² х = 1 - cos² х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение 2 sin² х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin² х = 1 - cos² х, получили

2 (1 - cos² х) +3 cos х -3 =0.

- 2 cos² х + 3 cos х - 1 = 0 | (-1)

2 cos² х - 3 cos х + 1 = 0

Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t ² - 3t +1 = 0,

находят t₁ = 1; t₂ = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k Z.

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2π n, n Z,т.е.

x=±+πn, n Z

Преподаватель: А теперь выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.

На экране проецируется задание (слайд 9 и 10)

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

2 cos²х + 5 sin х - 4=0

cos 2х + cos х =0

√2 sin (x/2) + 1 = cos х

Ответы

(-1)^kπ/6 + πk, k Z

π + 2πk, k Z

^± π/3 + 2 πn, n Z

2 πk, k Z

(-1)^kπ/2+2πn,n Z

3 sin x - 2 cos²x =0

cos 2x + sin x =0

√2cos(x/2) + 1=cos x

Ответы

(-1)^kπ/6 + πk, k Z

π/2 + 2πk, k Z

(-1)^k+1 π/6 + πn, n Z

π + 2πk, k Z

^± π/2 + 4πn, n Z

Преподаватель: Ребята, проверьте свое решение с ответами

На экране проецируются ответы

Преподаватель: Продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.

2.1.5.Однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: а sin x+ b cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида

tg x = с.

Решите уравнение 2 sin x+ 3 cos x = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk, k Z или х = - arctg 1,5 + πk, k Z

Преподаватель: Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: а sin² х + b sinх cos х + с cos²х = 0. Разделив обе части уравнения на cos²x ≠ 0, получим уравнение вида а tg ²x + в tg x + с = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите уравнение 2 sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0

Учащиеся решают уравнение 2 sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0

2 sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0 | : cos²х ≠ 0

2 tg ²x - 3 tg x - 5 = 0

замена tg x = t

2 t² - 3 t - 5 =0

t₁ = -1; t₂ = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n Z.

Преподаватель: К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: а sin² х + b sinх cos х + с cos²х = d, преобразуем данное уравнение а sin² х + b sinх cos х + с cos²х =d (sin² х + cos²х)

или (a -d) sin² х + bsinх cos х + (c-d) cos²х =0.

Уравнение a sin x+ b cos x = c также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

a sin x+ b cos x = c

a sin 2 (x/2) + b cos 2(x/2) = c

2 a sin(x/2) cos(x/2) + b (cos²(x/2) - sin²(x/2) )= c (sin²(x/2) + cos²(x/2)). А теперь выберите два уравнения и самостоятельно решите их.

На экране проецируется задание (слайд 11 и 12)

На оценку

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

3 sin x+ 5 cos x = 0

5 sin² х - 3 sinх cos х - 2 cos²х =0

3 cos²х + 2 sin х cos х =0

5 sin² х + 2 sinх cos х - cos²х =1

2 sin x - 5 cos x = 3

1- 4 sin 2x + 6 cos²х = 0

2 cos x+ 3 sin x = 0

6 sin² х - 5 sinх cos х + cos²х =0

2 sin² x - sin x cosx =0

4 sin² х - 2sinх cos х - 4 cos²х =1

2 sin x - 3 cos x = 4

2 sin² х - 2sin 2х +1 =0

Преподаватель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.

На экране проецируются ответы

1 вариант

2 вариант

«3»

«4»

«5»

- arctg 5/3+ πk, k Z.

π/4 + πk; - arctg 0,4 + πn, k, n Z.

π/2 + πk; - arctg 1,5 + πn, k, n Z.

π/4 + πk; - arctg 0,5 + πn, k, n Z.

arctg ( - 1 ±√5) + πk, k Z.

π/4 + πk; arctg 7 + πn, k, n Z.

- arctg 2/3+ πk, k Z.

arctg 1/3+ πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

πk; arctg 0,5 + πn, k, n Z.

-π/4 + πk; - arctg 5/3 + πn, k, n Z.

arctg ( 2 ± √11) + πk, k Z.

π/4 + πk; arctg 1/3 + πn, k, n Z.

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.

Содержание этапа:

Преподаватель: А сейчас познакомимся с решением тригонометрических уравнений новыми способами (слайд 13):

2.2.1. Введение нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) - выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) = R (у; х).

Рассмотрим уравнение 4 sinх - 6 sinх cos х + 4 cosх + 1 = 0 ,

т.к. (sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x cos x, то sinx ·cos x = (sin x + cos x)² - 1 , получим

2

4 sin х + 4 cosх - 6 (sin x + cos x)² - 1 + 1 = 0 ,

2

4 sin х + 4 cosх - 3 ( (sin x + cos x)² - 1) + 1 = 0 ,

Введем обозначение t = sin x + cos x, получим

4 t - 3 (t² -1) + 1 = 0

- 3 t² + 4 t + 4 = 0

3 t² - 4 t - 4 = 0 . Решая квадратное уравнение, найдем t ₁ = 2, t ₂ = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sinх + cosх = 2 и sinх + cosх = -2/3

2.2.2. Метод разложения на множители.

Рассмотрим уравнение:

sinх + sin3 х + sin5 х = 0

сгруппируем слагаемые:

(sinх + sin5 х) + sin3 х = 0

2 sin3х cos 2х + sin3х = 0

sin3х ( 2 cos 2х + 1 ) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin3х = 0 или 2 cos 2х + 1 = 0

cos 2х = - 1/2

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin ³ х + 3 sinх - 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или 4 ·1 ³ + 3 · 1 - 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin ³ х + 3 sinх - 7 - (4 · 1 ³ + 3 · 1 - 7 ) = 0

или 4 ( sin ³ х - 1 ) + 3 ( sinх - 1 ) = 0 .

Разложим на множители: 4 ( sinх - 1 ) ( sin ² х + sinх +1 ) + 3 ( sinх - 1 ) =0

( sinх - 1 ) ( 4 ( sin ² х + sinх + 1) + 3 ) = 0

( sinх - 1 ) ( 4 sin ² х + 4 sinх + 4 + 3 ) = 0

( sinх - 1 ) ( 4 sin ² х + 4 sinх + 7 ) = 0, откуда

sinх - 1 = 0 или 4 sin ² х +4 sinх + 7 = 0

х = π/2 + 2пk, k Z решений нет

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

1 - находили значения тригонометрических функций;

2 - находили значения обратных тригонометрических функций;

3 - решение уравнений по известным алгоритмам;

4 - решение однородных тригонометрических уравнений;

5 - решение уравнений вида a sinx+b cosx = c

Найдите среднее арифметическое всех четырех выставленных оценок, округлите результат, и эти оценки я вам выставляю в журнал.

3.2. Информация о домашнем задании.

Задачи этапа: сообщить учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

Содержание этапа:

Учитель

Преподаватель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений новыми способами я предлагаю вам выполнить домашнее задание (слайд 14) следующего содержания:

1. введением нетрадиционной замены решите симметричное тригонометрическое уравнение cos⁶х + sin⁶ х = 16 sin² х cos²х ;

2. выражение sin³ х + 3 sin х - 4 разложить на множители различными способами;

3. методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение

sin³ х + 3 sin х - 4 = 0

3.3. Подведение итогов урока.

Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания в дальнейшем

Содержание этапа:

Преподаватель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

- Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Преподаватель: Ребята! Нарисуйте на листочках, которые лежат у вас на парте, смайлик, выражающий ваше настроение на уроке и передайте их мне (слайд 15).Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен. До свидания!