Разработка урока по алгебре на тему: Решение тригонометрических уравнений

Тема: Решение тригонометрических уравнений.

Разработка учителя математики

МБОУ СОШ № 5 а. Блечепсин

Енамукова Нафисет Ильясовна

Цели: Усилить практическую направленность данной темы для

подготовки к ЕГЭ.

Способствовать прочному усвоению материала.

Тип урока: урок- практикум

1 часть: обобщение и систематизация теоретических основ,

2 часть: тренировочные упражнения.

Ход урока:

I Организационный момент.

Учитель: французский писатель Анатоль Франс однажды заметил :

Учиться можно только

весело…

Чтобы переваривать

знания, надо поглощать

их с аппетитом.

Давайте попробуем сегодня последовать совету писателя. Наша задача показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

II. а)Проверочная работа на 2 варианта (самопроверка)

Вариант 1.

1. Каково будет решение уравнения cos x = a при |a| >1?

2. При каком значении а уравнение cos x = а имеет решение?

3. Какой формулой выражается это решение?

4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения cos x = a?

5. В каком промежутке находится arccos a?

6. В каком промежутке находится значение а?

7. Каким будет решение уравнения cos x = 1?

8. Каким будет решение уравнения cos x = -1?

9. Каким будет решение уравнения cos x =0?

10. Чему равняется arccos (-a)?

11. В каком промежутке находится arctg a?

12. Какой формулой выражается решение уравнения tg x = a?

Вариант 2.

1. Каково будет решение уравнения sin x = a при |a| >1?

2. При каком значении а уравнение sin x = а имеет решение?

3. Какой формулой выражается это решение?

4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения sin x = a?

5. В каком промежутке находится arcsin a?

6. В каком промежутке находится значение а?

7. Каким будет решение уравнения sin x = 1?

8. Каким будет решение уравнения sin x = -1?

9. Каким будет решение уравнения sin x =0?

10. Чему равняется arcsin (-a)?

11. В каком промежутке находится arcctg a?

12. Какой формулой выражается решение уравнения ctg x = a?

№

Вариант 1

Вариант 2

1

Нет решение

Нет решение

2

|a| <=1

|a|<=1

3

x=±arccos a + 2 Пn,

X = (-1)arcsin a +Пn

4

На оси ОХ

На оси ОУ

5

[0; П]

[-П/2;П/2]

6

[-1; 1]

[-1; 1]

7

x=2П n

X= П / 2 + 2 П n

8

X= П+2Пn

x=-П/2 + 2 Пn

9

X= П/2 + Пn

X= Пn

10

П-arccos a

- arccos a

11

(-П/2; П/2)

(0; П)

12

x=arctg a+ Пn

X= arcctg a+ П n

б) ЕГЭ минутка :

Выбери правильный ответ:

А1. arcsin

1) π/6

2) π/3

3) π/2

4) -π/3

А1. arccos

1) π/6

2) π/3

3) π/2

4) -π/3

А2. arccos 1

1) 0

2) π/3

3) -π/2

4) -π

А2. arcsin 1

1) 0

2) -π/2

3) π/2

4) -π

А3. arcsin 0

1) 0

2) π/3

3) -π/2

4) -π

А3. arccos 0

1) 0

2) -π/2

3) π/2

4) -π

Выбери формулу для решения уравнения

А4. cos t=a

А4. sin t=a

1) t = ± arccos a + πn, n є Z.

2) t = (-1)ⁿ arcsin a + πn, n є Z.

3) t = ± arccos a + 2πn, n є Z.

4) t = (-1)ⁿ arcsin a + 2πn, n єZ.

Найди область допустимых значений выражения

А5 arccos x

A5 arcsin x

1) -1 < х < 1

2) 0 < х < π

3) - π/2 < х < π/2

4) 0 < х < 1

Ответы:

№

Вариант1

Вариант 2

а1

2

1

а2

1

3

а3

1

3

а4

3

2

а5

1

1

III. Повторим типы тригонометрических уравнений и методы их решения

1.Уравнения, сводящиеся к квадратным, относительно

cos х = t, sin х = t.

A sin² x + B cosx + C = 0

A cos² x + В sinx + C = 0

Решаются методом введения новой переменной.

2.Однородные уравнения первой и второй степени.

I ст. A sinx + B cosx = 0 : cosx

A tg x + B = 0

II ст. A sin² x + B sinx cosx + A cos² x = 0 : cos²x

A tg² x + B tgx + C = 0

Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.

3.Уравнение вида: А sinx + B cosx = C.

А, В, С не равно 0

Применимы все методы

Формулы.

Универсальная подстановка.

; ; . х не равен П+ 2Пn; Проверка обязательна!

Понижение степени.

cos²x = (1 + cos2x ) : 2

sin²x = (1 - cos 2x) : 2

Метод вспомогательного аргумента.

a cosx +b sinx заменим на C sin(x+), где

, sin = ; cos = ;

 - вспомогательный аргумент.

Тригонометрические преобразования во многих случаях подчиняются трем «правилам»

Правила.

• Увидел квадрат - понижай степень.

• Увидел произведение - делай сумму.

• Увидел сумму - делай произведение.

4. Решение тригонометрических уравнений.

П р и м е р 1. Решить уравнение:.

• sinx - cosx = 1

Решение.

Воспользуемся функционально-графическим методом.

Преобразуем уравнение к виду sinx = cosx + 1. Построим графики функций y= sinx, y=cosx+1

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos ² x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos ² x + sin x · cos x - sin ² x - cos ² x = 0 ,

sin x · cos x - sin ² x = 0 ,

sin x · ( cos x - sin x ) = 0 ,

x= Пn x= П/4 + Пn

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2x - cos 8x + cos 6x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x - cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

x= П/8 + Пn/4 x= Пn/3 x= Пn

П р и м е р 4 . Решить уравнение: 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2sin ² x + 2cos ² x ,

sin ² x + 4 sin x · cos x + 3 cos ² x = 0 ,

tg²x+ 4 tg x + 3 = 0 , отсюда y ² + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y₁ = -1, y₂ = -3, отсюда

1) tgx = -1, 2) tg x = -3,

x=-П/4+Пn x= -arctg 3 +Пn

Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р 5. Решить уравнение: 3 sin x - 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) - 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) - 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tg ² ( x / 2 ) - 3 tg ( x / 2 ) + 6 = 0.

Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

П р и м е р 6. Решить уравнение: 2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4x - cos 8x = cos 4x ,

cos 8x = 0 ,

8x = p / 2 + pk ,

x = p / 16 + pk / 8 .

V. Подведение итогов урока.