Графическое решение квадратных уравнений. 8 класс

Быковская И.С

МБОУ «СОШ»19»

г.Абакан, республика Хакасия , 2013г.

Графическое решение квадратных уравнений

«Нельзя изучить математику, глядя,

как это делает сосед».

А.Нивен

Цель урока: Обзор графических способов решения квадратных уравнений.

Обучающие

• Построение графиков квадратичной функции функций с помощью компьютерного моделирования и алгоритмов 1-3

• Систематизация знаний по способам решения квадратных уравнений

Развивающие:

• Развитие навыков геометрической иллюстрации математической модели - функции и навыков чтения геометрической модели - графика функции.

• умение выполнять простейшие операции на интерактивной доске;

• построение графиков линейной и квадратичной функций с помощью компьютера.

Воспитывающие:

• Совершенствовать прием групповой работы, умения публично выступать, выражать своем мнение

• воспитание чувства уважения друг к другу, коллективизма ;

• серьёзное и ответственное отношение к учебному труду.

Ход урока

1.Актуализация опорных знаний, сообщение целей и задач урока.

Повторение алгоритма построения графика квадратичной функции, записанной различными аналитическими выражениями.

1.Сегодня мы начнем наш урок с просмотра небольшого видеоряда. демонстрация слайдов 1-3

У. Просмотрев его подумайте , что объединяет все эти рисунки?

Красиво, правда, и так что же объединяет все рисунки?

Правильно, на каждом из них мы видим форму, напоминающую нам параболу.

У..Графиком какой функции является парабола?

Верно, квадратичной .

Сегодня мы продолжим разговор об этой удивительной линии, обобщим уже имеющиеся знания по построению графика квадратичной функции, необходимые при графическом способе решения квадратных уравнений, повторив для этого алгоритмы построения параболы.

В работе будем использовать интерактивную доску, презентацию учащихся по графическому способу решения квадратных уравнений методом математического моделирования.

На прошлом уроке мы рассмотрели три алгоритма построения параболы. Проверим вашу готовность к уроку, вспомним их

Алгоритм построения параболы

Алгоритм

Преобразования

А1. у = f( x + l ) + m

Параллельный перенос графика у = f(x) вдоль оси х, затем полученного - вдоль оси у

_{по оси x по оси y}

_{l > 0 - влево m > 0 - вверх}

_{l < 0 - вправо m < 0 - вниз}

А2. у = f( x + l ) + m

Построение графика у = f(x) в новой системе координат

Начало новой системы координат ( -l, m )

А3. у = аx² + вx +с

Построение параболы по трем (пяти) точкам: вершина параболы и 2 (4) симметричные точки

О(x₀, y₀) - вершина параболы

x₀= -b/2a , y₀=f(x₀)

Сколько алгоритмов построения графика квадратичной функции вы знаете?

В чем заключается каждый из них ?

Задание

1. Как из графика функции у = ах² получить график функции у = ах² + в?

у = -0,5х² - 3 и у = -0,5 х² + 3; Назвать у = ах²

2. Как из графика функции у = ах² получить график функции у =а(х -m)²?

у = 2(х + 2)² и у = 2(х - 2)² . Назвать у = ах²

3.Назовите координаты начала новой системы координат:

у = (х + 2)² - 4 и у = (х - 2)² + 4

3.Назовите уравнение оси симметрии параболы следующих квадратичных функций:

y = x² + 4x -5, у = -0,5 х² +2х- 3,

Сегодня мы закрепим построение графика квадратичной функции при графическом решении квадратных уравнений разными способами.

Вспомним. Какое уравнение называется квадратным? Что значит решить уравнение? Что значит решить квадратное уравнение графически?

Квадратным уравнением называется уравнение вида

аx² + вx +с=0, где а,в,с - коэффициенты(произвольные числа)

а- старший член

с - свободный член

Решить уравнение графически -

найти абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс

Рассмотрим положение графика квадратичной функции в прямоугольной системе координат, выясним от чего зависит число корней квадратного уравнения.

На интерактивной доске учащиеся перемещают параболу в ПСК, комментируя число корней уравнения в зависимости отточек пересечения с осью х.

Учитель дает задание прокомментировать каждую геометрическую иллюстрацию

Не плохо знать сколько корней имеет квадратное уравнение лучше их находить. На примере одного квадратного уравнения рассмотрим несколько способов графического решения квадратного уравнения с помощью компьютерного моделирования и интерактивной доски, которые помогут не только выиграть во времени, но и наглядно продемонстрировать все способы. И так вместе с вами попробуем выделить способы решения данного уравнения ( постановка проблемы)

Задание.

Решить графически квадратное уравнение x² - 2x - 3=0

Попробуем выделить способы решения данного уравнения.

Уравнение

Способы решения

x² - 2x - 3 = 0

Построение параболы y = x² - 2x - 3 (А3)

и нахождение точек пересечения

Построение - на интерактивной доске

Вычисления - на обычной доске

x² = 2x + 3

Построение в одной координатной плоскости графиков следующих функций: у=x² и у=2x + 3

найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой

с помощью компьютерного моделирования

x² - 3 = 2x

Построение в одной координатной плоскости графиков следующих функций: у=x² - 3 и у=2x

найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой

с помощью компьютерного моделирования

x² /х - 2x /х - 3/х = 0/х

х - 2 = 3/х

Построение в одной координатной плоскости графиков следующих функций: у=x - 2 и у=3/x

найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой

с помощью компьютерного моделирования

x² - 2x - 3 = 0

x² - 2x +1 - 4 = 0

x² - 2x +1= 4

Построение параболы с помощью (А1) и (А2)

Выделение полного квадрата

• воспользуемся в тетрадях шаблоном параболы

• построение на интерактивной доске

• с помощью компьютерного моделирования

Рассматривается поэтапное решение 1 способа на обычной доске с построением параболы на интерактивной доске.

Способы 2-4 представляют ребята с помощью компьютерного моделирования, поясняя этапы построения графиков функций, подписывая на интерактивной доске точки пересечения и указывая абсциссы точек- корни уравнения

Способ 5 выполняется с помощью алгоритмов 1 и 2 в тетрадях с применением шаблона параболы, на интерактивной доске это подтверждается перемещением параболы в заданной системе координат и новой системе координат, а так же демонстрируется решение с помощью компьютерного моделирования.

Подводится итог изучения темы., анализируя таблицу для общего случая квадратного уравнения.

Графическое решение квадратного уравнения

аx² + вx +с=0,

Вид квадратного уравнения

Способы решения

x² + вx +с=0

А3

аx² = - вx - с

у = аx² , у = - вx - с

аx² + вx = - с

у = аx² - в x, у = - с

аx+ в = - с/х

у= аx² + вx, у= - с/х

f( x + l )2 + m =0

А1 или А2

Вывод : В решении данного уравнения были использованы 5 графических способов, которые мы продемонстрировали с помощью применения алгоритмов 1-3 и компьютерного моделирования

В каждом случаи получен один и тот же ответ: -1; 3.

Достоинства

графического способа решения

• применение компьютерного моделирования и интерактивной доски

• наглядность

• красота

• применение формул сокращенного умножения

Недостатки

графического способа решения

• ограниченность размера тетрадного листа

• не всегда координаты точек пересечения графиков функций « хорошие»

• необходимость преобразования квадратного трехчлена

Знание этих способов, не панацея от все бед, они не дают 100% гарантии решения любого квадратного уравнения

На следующем уроке мы перейдем к рассмотрению аналитического метода решения квадратных уравнений .

Математики искали универсальный способ решения квадратных уравнений, пригодный для решения любо квадратного уравнения и они его нашли. О нем мы будем говорить на следующих уроках.

Домашнее задание

1.Практическая работа « Графическое решение квадратного уравнения несколькими способами»

«5» - 5 способов

«4» - 4 способа

«3» - 3 способа

2.Составить кроссворд по теме « Квадратное уравнение»

3.Пополнение видеоряда

Посмотрим еще раз на все построенные нами графики и послушаем стихотворение, посвященное параболе.

Я есть парабола! Взгляните!

Как я стройна, изящна и горда!

Ведь, если модуль а превысит единицу,

То резко прочь направлюсь я тогда.

А если он поменьше единицы,

То плавно и изящно приближусь я к ОХ,

Ведь существо мое подобно птице,

Я не могу обидеть ось абсцисс.

Мне буква а указ и назиданье:

Лишь только от 0 она по праву руку встанет,

Как лебедь гордая, я крылья вверх стремлю

с огромнейшим желаньем.

А слева от нуля она немилосердна и жестока.

Приходится мне вниз лететь от дорогой оси абсцисс далеко.

Прослушав стихотворение о параболе, попробуйте найти в нем 4 математические утверждения, касающихся графика квадратичной функции:

1. Если модуль старшего коэффициента больше 1, то график квадрат.функции приближается к оси оу- растет скорость устремления параболы вверх или вниз ( увеличивается «степень крутизны» параболы)

2. Если модуль старшего коэффициента меньше 1, то график квадрат.функции удаляется от оси ординат, приближаясь к оси ( уменьшается «степень крутизны» параболы)

3.Если а меньше нуля, ветви параболы направлены вниз

4. Если а больше нуля, ветви параболы направлены вверх

Рефлексия

Вопросы

Оценка деятельности

Оценка своего участия на уроке

На сколько я усвоил материал

Что мне на уроке понравилось

Что вызвало затруднение