Методические указания по выполнению самостоятельных работ на тему: Эмпирическая формула

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

для студентов технологического отделения специальностей

260807 и 100114

по дисциплине «Математика»

Чебоксары 2013

ГАПОУ СПО «Чебоксарский техникум технологии питания и коммерции»

Минобразования Чувашии

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

для студентов технологического отделения специальностей

260807 и 100114

по дисциплине «Математика»

Составитель: Николаева Л.Н.

Рекомендованы к печати методическим

советом ЧТТПиК

Протокол № от «___» _______ 20__ года

Электронная копия находится

у руководителя ИМЦ

Чебоксары, 2015

Содержание

Введение ………………………………………………………………….4

Эмпирическая формула. ..……………………………………………………….5

Задания для самостоятельного выполнения……………………………………10

Использованная литература……………………………………………………..13

Введение.

Методическое указание предназначено для студентов, изучающих предмет «Математика». Данное самостоятельная работа по математике предполагает выполнение задания, позволяющего освоить один из методов нахождения эмпирической формулы, на основе опытных данных полученных при выполнении работ из сферы профессиональной деятельности.

Самостоятельная работа - это одна из форм учебной работы, которая ориентирована на изучение и закрепление учебного материала, его более глубокое усвоение и формирование умения применять теоретические знания в практических, прикладных целях.

Предложенная задача, требующая от студентов навыков самостоятельного изучения понятия эмпирическая формула и метода наименьших квадратов и закрепления полученных знаний на примере составления эмпирической формулы при решении прикладной задачи из сферы профессиональной деятельности.

Практическая работа предполагает самостоятельное, внеаудиторное выполнение.

Для выполнения самостоятельной работы рекомендуется изучение нового материала и двух примеров решения задач с помощью метода наименьших квадратов.

Эмпирическая формула.

Формула, полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической. Построение эмпирической формулы по экспериментальным данными состоит из двух этапов: 1) подбор вида эмпирической формулы, зависящей от параметров; 2) нахождение этих параметров по некоторому критерию.

Во многих случаях характер зависимости между переменными не сразу определяется. Практически вид эмпирической формулы (приближающей функции)можно определить визуально: по таблице наблюдений (опыта) строится точечный график функциональной зависимости, а затем проводится кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек. По расположению точек выбирается функция.

Обычно в экономических исследованиях рассматриваются следующие функциональные зависимости:

y= ax+b;

y= ax²+bx+c;

y= a*Lgx+b;

y= a/x+b;

y= ax^b;

y= ab^x

Метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК) - один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяют также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто МНК оказывается полезным при обработке наблюдений.

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y , которые получены в результате измерений.

При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений, и в результате получается таблица значений (Рис.1):

Рис.1. Таблица значений x и y

Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов (наблюдений), в которых x_i (независимая величина) задается экспериментатором, а y_i получается в результате опыта (наблюдений). Поэтому значения y_i называются опытными или эмпирическими значениями. Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но её аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу:

(1)

(где - параметры), значения которой при возможно мало отличались бы от опытных значений

Обычно указывается класс функций (например, множество линейных, степенных, показательных и т. п.), из которого выбирается функция , и далее определяются наилучшие значения параметров.

Если в эмпирическую формулу (1) подставить исходные , то получим теоретические значения , где

Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции

(2)

будет минимальной.

Геометрический смысл метода наименьших квадратов.

Каждая пара чисел из исходной таблицы определяет точку на плоскости XOY. Используя формулу (1) при различных значениях коэффициентов можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (1). Задача состоит в определении коэффициентов таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до графика функции (1) была наименьшей (рис. 2).

y

y_n М_n

y_i М_i

d_i

y₁ М₁ M₃

М₄ М_i+1

y₂ М₂

x₁ x₂ x_i x_n x

Рис.2. Геометрический смысл метода наименьших квадратов.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида формулы и определение её наилучших параметров.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y, то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от знаний исследователя в предметной области, используя которые, он может указать класс функций из теоретических соображений. Большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых иди специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т. д.). По положению точек можно примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

Определение наилучших коэффициентов , входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известными аналитическими методами.

Для того, чтобы найти набор коэффициентов , которые доставляют минимум функции S, определяемой формулой (2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов

(3)

Значит, нахождение коэффициентов сводится к решению системы (3).

Эта система упрощается, если эмпирическая формула (1) линейна относительно параметров , тогда система (3) будет линейной. Конкретный вид системы (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул находится зависимость (1).

В случае линейной зависимости ^у=ах+bсистема примет вид:

(4)

Эта линейная система может быть решена любым известным способом (методом подстановки, методом уравнивания коэффициентов, методом Крамера)

Пример 1.

Нахождение параметров линейной зависимости у=ax+b. Пусть на основании опыта получена следующие пары чисел (х_i;y_i), которые изображены на координатной плоскости.

Решение:Для расчёта коэффициентов а и b составим следующую таблицу:

i

y_i

x_i

x²_i

y_ix_i

1

-8

-2

4

16

2

7

-1

1

-7

3

7

0

0

0

4

5

2

4

10

5

5

3,5

12,25

17,5

6

3,5

4

16

14

7

3

5

25

15

8

2,5

6

36

15

9

2

7

49

14

10

1,5

7

49

10,5

Σ

28,5

31,5

196,25

105

(4)

Подставляя из таблицы в систему уравнений (4), полученные данные, имеем:

Для решения системы линейных уравнений и определения параметров, воспользуемся методом Крамера.

Уравнение прямой принимает следующий вид: y=0.1569X+2.3557

Всего один выброс (экстремальная точка с координатами -2; -8 на диаграмме рассеяния) может полностью изменить наклон регрессионной линии и, следовательно, вид зависимости между переменными. Такие выбросы могут исказить оценки модели, сдвигая линию регрессии в определенном направлении и, тем самым, вызывая смещение коэффициентов регрессии. На случай появления выбросов, должны быть предусмотрены корректировки, основанные на использовании "принципов статистического контроля", т. е. значения, выходящие за определенный диапазон, который определяется в терминах, кратных сигма, т.е. стандартных отклонений, могут быть преобразованы или вовсе пропущены, и только после этого должны вычисляться окончательные оценки параметров модели (уравнения) регрессии.

Пример 2. Нахождение параметров линейной зависимости у=ax+b.

Приводятся данные о росте производительности труда и снижении себестоимости работ за 5 лет некоторого предприятия по отношению к базисным данным , принимаемым за единицу:

Год

2007

2008

2009

2010

2011

Производительность труда, х_i

1.05

1.09

1.13

1.18

1.24

Себестоимость продукции, y_i

0.98

0.95

0.93

0.90

0.88

Предполагая, что зависимость себестоимости продукции от производительности труда является линейной: y=f(x)=ax + b, найдите параметры a и b , применяя метод наименьших квадратов.

Решение: Для расчёта коэффициентов a и b составим следующую таблицу:

i

x_i

y_i

x_i²

x_i y_i

1

1.05

0.98

1.1025

1.0290

2

1.09

0.95

1.1881

1.0355

3

1.13

0.93

1.2769

1.0509

4

1.18

0.90

1.3624

1.0620

5

1.24

0.88

1.5376

1.0912

∑

5.69

4.64

6.4975

5.2686

С учётом данных таблицы составим систему уравнений:

6,4975a+5.69b=5,2686

5,69а+5b=4,64

Решим систему методом подстановки, выразим переменную а из первого уравнения системы и подставим во второе уравнение:

a=(5.2686 - 5.69b) / 6,4975

5,69[(5.2686 - 5.69b) / 6,4975] +5b=4.64

Решением второго уравнения будет b≈1,53. После подстановки находим а≈ -0,52.Получаем, решение этой системы: а≈ -0,52, b≈1,53.Таким образом, функция, приближённо выражающая зависимость себестоимости продукции у от производительности труда х в течение рассматриваемого пятилетия, имеет вид: у=-0,52х +1,53.

Вывод: Так как -0,52 ﮮ 0, то функция у=-0,52х +1,53 является убывающей, и поэтому чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость продукции на предприятии. Ответ: -0,52; 1,53

Задания для самостоятельного выполнения.

Производительность труда на предприятии по годам приведена в таблице. Найдите:

1. линейную зависимость производительности труда по годам у= aх+b;

2. предполагаемую производительность на 10 -ый год работы.

1.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

63

95

139

161

202

241

268

288

2.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

14,7

16,5

16,5

18,1

21,5

22,3

23,5

24,1

3.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

100

156

170

184

194

205

220

229

4.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

120

140

230

370

445

570

655

770

5.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

69,1

167,4

265,2

362

460,6

556,2

675,5

755

6.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

66,5

168,4

270,1

372

474,8

576,6

678,6

735,5

7.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

6,2

9,6

13,9

16,2

20,3

24,1

26,6

27,9

8.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

100,2

155,5

170,2

183,7

194,5

204,6

220,1

229,5

9.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

623,5

675,4

746,2

828,8

890,5

959,3

1028,2

1105,8

10.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

2

4,9

7,9

11,1

14,1

17

21,1

23,9

11.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

2,9

6,1

9,2

11,8

16

18,8

21,9

23,5

12.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

20

50

70

100

130

150

180

210

13.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

39

55

67

82

94

110

123

138

14.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

40

250

470

650

990

1080

1300

1450

15.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

64

96

140

162

203

242

269

290

16.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

66

99

139

162

205

243

271

289

17.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

147

165

165

181

215

223

235

241

18.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

10

15,6

17

18,4

19,4

20,5

22

22,9

19.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

12

14

23

37

44,5

57

65,5

77

20.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

69

167

265

362

460

556

675

755

21.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

66

168

270

372

474

576

678

735

22.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

62

96

139

162

203

241

266

279

23.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

100

155

170

183

194

204

220

229

24.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

623

675

746

828

890

959

1028

1105

25.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

20

49

79

111

141

170

211

239

26.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

29

61

92

118

160

188

219

235

27.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

21

51

71

101

131

151

181

211

28.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

3,9

5,5

6,7

8,2

9,4

11

12,3

13,8

29.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

4

25

47

65

99

108

130

145

30.

х _i, лет

1

2

3

4

5

6

7

8

y_i, тыс.шт. в год

6,4

9,6

14

16,2

20,3

24,2

26,9

29

Использованная литература:

1. Сборник задач по высшей математике для экономистов.: под редакцией проф. В.И. Ермакова , Москва, Инфра - М: 2003, 315с

2. Справочник по высшей математике.: М.Я. Выгодский.: Москва. 2011, 523с

3. Математика. Задачи с экономическим содержанием.: пособие/ С.Л. Гуринович. _ Минск: Новое знание, 2008. - 264с

4. Интернет.