ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I Анализ психолого-педагогической и научно-методической

литературы о проблеме развития теоретического мышления

учащихся.

§ 1.Общая характеристика мышления.

§2.Основные компоненты теоретического мышления.

Глава II Методические основы развития теоретического мышления

через решение задач по стереометрии.

§1.Анализ учебных пособий по геометрии с целью выявления

возможности использования задачного материала на развитие теоретического мышления учащихся.

§2.Система задач, допускающих различные методы и способы решения.

§3.Методика обучения учащихся старших классов решению

геометрических задач различными методами и способами.

Глава III Экспериментальная проверка эффективности методики развития теоретического мышления при обучении

учащихся старших классов решению по геометрии различными методами и способами.

§1.Констатирующий эксперимент.

§2.Обучающий эксперимент.

§3.Контрольный эксперимент.

Заключение.

Библиография.

Введение.

В настоящее время идет реформа школьного образования.

Особое значение для школ приобретает проблема выявления

средств развития мышления учащихся. В системе обучения

геометрии заложено много возможностей для ориентации

обучения на развитие мышления учащихся. Решение геометрических задач различными методами и способами представляет определенные возможности для развития у учащихся основных компонентов теоретического мышления: анализа, внутреннего плана действия и рефлексии.

Результат констатирующего эксперимента по выявлению сформированности умственных операций у учащихся низкий.

Необеспеченность должного развития умственных операций

является фактором, определяющим актуальность проблемы данной работы.

Общей проблемой является изучение возможности развития

основных компонентов теоретического мышления через обучение

решению геометрических задач разными методами и способами.

Предметом исследования дипломной работы является методика

обучения учащихся старших классов решению стереометрических

задач различными методами и способами, направленная на развитие основных компонентов теоретического мышления.

Гипотеза: если систематически целенаправленно обучать учащихся подвергать анализу одну и ту же задачу на предмет возможности ее решения разными методами и способами, то это будет

способствовать развитию теоретического мышления учащихся

старших классов.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы потребуется решить задачи:

1.Дать анализ психолого-педагогической и научно-методической

литературы по проблеме развития теоретического мышления и выявления основных компонентов теоретического мышления.

2.Проанализировать разные учебные пособия по курсу стереометрии с целью выявления возможности развития теоретического

мышления учащихся при решении задач.

3.Разработать систему задач, ориентированную на развитие теоретического мышления учащихся старших классов.

4.Разработать методику обучения учащихся решению задач разными методами и способами.

5.Экспериментально проверить эффективность разработанной методики.

Для реализации цели и задач применялись методы: теоретический анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по исследуемой проблеме, обобщение педагогического опыта, педагогический эксперимент.

Экспериментальной базой являлась школа № 15, 11 класс.

Практическая значимость дипломного проекта состоит в разработке методики обучения учащихся решению геометрических задач

разными методами и способами.

Апробация работы осуществлялась в ходе педагогической практики с учащимися 11 класса

Глава I.

Анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме развития

теоретического мышления учащихся.

§1.Общая характеристика мышления.

Мышление является высшим познавательным процессом. Оно

представляет собой порождение нового знания, активную форму творческого отражения и преобразования человеком действительности. Мышление порождает такой результат, какого ни в самой

действительности, ни у субъекта на данный момент времени не существует. Мышление также можно понимать как получение новых знаний, творческое преобразование имеющихся представлений.

Мышление-это движение идей, раскрывающее суть вещей. Его

итогом является не образ, а некоторая мысль, идея.

Специфическим результатом мышления может выступить понятие- обобщенное отражение класса предметов в их наиболее общих

и существенных особенностях.

Предметы и явления объективного мира находятся между собой

в разнообразных связях и отношениях: причинно-следственных, временных, пространственных, условных, функциональных, прямых, обратных, единства, равенства. Познание и обобщение этих

связей и отношений является одной из основных функций мышления.

В мышлении через процессы анализа, сравнения и синтеза познаются, а затем обобщаются существенные общие качества и свойства единичных предметов того или иного рода. В результате такой мыслительной деятельности человек получает обобщенные, понятийные знания предметов объективного материального мира. В ходе мыслительной деятельности формируются и понятия качеств.

Мышление- не только познавательная, но и комбинаторная творческая деятельность, в результате которой создаются новые

предметы и явления материальной и духовной культуры людей.

Содержанием мышления являются понятия, законы и правила, а

также единичные предметы и явления.

Мышление совершается и развивается в свойственных ему формах: анализа, синтеза и сравнения; абстракции, обобщения и конкретизации; индукции, дедукции и аналогии; нахождение связей и

отношений; формирование понятий, их классификации и систематизации.

При этом основными формами мышления являются анализ и

синтез, которые выступают конструирующими компонентами всех

других форм мыслительной деятельности.

Мышление совершается в единстве содержания и форм. Существующие формы мышления не равнозначны. Одни из них просты, например сравнение, другие чрезвычайно сложны, например понятие.

Мышление многократно совершаясь в той или иной совокупности своих форм и закономерностей, развивается до уровня навыков и умений мышления. Это относится, например, к построению индуктивных или дедуктивных умозаключений, выполнению разного рода обобщений, проведению классификаций и т. д. Мыслит живой человек с его идеалами, чувствами, интересами, убеждениями, стремлениями, желаниями, склонностями и способностями, словом с направленностью его личности. Все это- внутренние условия мышления, которые делают его волевым и целенаправленным. Мышление совершается в тесной связи с восприятием. С помощью восприятия познаются внешние видимые существенные и несущественные свойства и качества предметов и явлений объективного мира, или отношения и связи между ними. Это чувственное

познание является конкретным содержанием мышления.

Существенные и общие признаки воспринимаемых предметов или существенные и общие связи и отношения между объектами или явлениями действительности определяются путем использования имеющихся знаний, специально организованного изучения,

проведения особых опытов.

Найденные таким путем общие и существенные признаки отдельных предметов и явлений действительности, или связи и отношения между ними, абстрагируются, синтезируются и обобщаются.

В результате получаются обобщенные, абстрактные понятийные знания о предметах или явлениях действительности.

В процессе познания возникают и общие представления, являющиеся своего рода переходом от восприятия к мышлению. Мышление- взаимосвязанная деятельность процессов восприятия, представлений и "чистого" мышления. Результаты мыслительной деятельности выступают в виде новых знаний, новых решений задач и

творческих построений, творческой фантазии и личных убеждений.

Физиологической основой их являются образовавшиеся в коре больших полушарий головного мозга системы временных нервных

связей.

Мышление- это опосредованное и обобщенное познание предметов и явлений действительности в их общих и существенных признаках и свойствах, в их связях и отношениях, а также на основе полученных обобщенных знаний- познание и творческое построение новых единичных предметов и явлений действительности.

§2. Основные компоненты теоретического

мышления.

В истории философии еще с древности наметилось различение

двух типов мышления. С одной стороны, выделялась мыслительная

деятельность, направленная на расчленение, регистрацию и описание результатов чувственного опыта, с другой- на раскрытие сущности объектов, внутренних законов их развития. Особенно четко это расчленение было проведено Гегелем, который называл эти типы мышления рассудком и разумом.

"Разделение" и "абстрагирование", приводящие к "абстрактно

всеобщему"( или к "абстрактному тождеству"), противополагаемому особенному ,- таковы функции рассудка, с которого начинается

рациональное познание. Благодаря рассудку наличные предметы схватываются в их определенных различиях и фиксируются в их

изолированности. Как в теоретической, так и в практической областях рассудок позволяет человеку достигнуть твердости и определенности в знаниях. Рассудок направлен прежде всего на расчленение и сравнение свойств предметов с целью абстрагирования формальной общности, т.е. придания ей формы понятия. Благодаря этому можно четко разделять и различать предметы. Это мышление- начальная ступень познания, на которой содержание созерцания приобретает абстрактную, формальную всеобщность. Наглядные образы придают рассудочному мышлению конкретное содержание. Выход за пределы рассудочного мышления осуществляется

мышлением разумным, открывающим в предмете его конкретность

как единство различных определений, которые признаются рассудком лишь в их раздельности. Разумное мышление вскрывает переходы, движение, развитие. Благодаря этому оно может изучать вещи

согласно их собственной природе.

Рассудочное мышление, опирающееся на наглядные образы, можно назвать эмпирическим. Разумное мышление, внутренне связанное с исследованием природы своей собственной основы- с исследованием понятий- целесообразно назвать теоретическим.

Теоретическое мышление имеет древнее происхождение. Его потенции заключены в самом процессе производительного труда. Оно всегда внутренне связано с чувственно данной действительности. Теоретическое мышление в полной мере реализует те познавательные возможности, которые открывает перед человеком предметно- чувственная практика, воссоздающая в своей экспериментальной сути всеобщие связи действительности. Теоретическое мышление подхватывает и идеализирует экспериментальную сторону производства, в начале придавая ей форму предметно- чувственного эксперимента, а затем и эксперимента мысленного, осуществляемого в форме понятия и через понятие. Правда, потребовалось

значительное время, чтобы в процессе исторического развития материального и духовного производства теоретическое мышление приобрело суверенную и современную форму.

В.С.Библер выделяет следующие основные особенности мысленного эксперимента:

1. предмет познания мысленно перемещается в такие условия, в которых его сущность может раскрыться с особой определенностью;

2. этот предмет становится объектом последующих мысленных трансформаций;

3. в этом же эксперименте мысленно формируется та среда, та система связей, в которую помещается этот предмет.

Эти особенности мысленного эксперимента составляют базу

теоретического мышления, оперирующего научными понятиями.

Понятие выступает здесь как такая форма мысленной деятельности, посредством которой воспроизводится идеализированный

предмет и система его связей, отражающих в своем единстве всеобщность, сущность движения материального объекта. Понятие одновременно выступает и как форма отражения материального

объекта, и как средство его мысленного воспроизведения, построения, то есть как особое мыслительное действие. При этом именно отражение объекта позволяет человеку создавать в процессе мышления независимое от него существование объекта, который дан как предпосылка деятельности. Эта предпосылка придает понятию момент зависимости от объективного содержания. И вместе с тем иметь понятие о данном объекте- это значит мысленно воспроизводить, строить его. Действие по построению и преобразованию мысленного предмета является актом его понимания и объяснения, раскрытие его сущности.

Исторически сложившиеся в обществе понятия объективно существуют в формах деятельности человека и в ее результатах- в

целесообразно созданных предметах. Отдельные люди ( и прежде

всего дети) принимают и осваивают их раньше, чем научаются действовать с их частными эмпирическими проявлениями. Индивид должен действовать и производить вещи согласно тем понятиям, которые как нормы имеются в обществе заранее, - и он их не создает, а принимает, присваивает. Лишь тогда он ведет себя с вещами по-человечески.

Понятие как норма деятельности для индивидов выступает в обучении как первичное по отношению к различным частным его

проявлениям. Это понятие как некоторое всеобщее- прообраз и масштаб для оценки эмпирически встречающихся индивидам вещей. Иными словами индивид не имеет перед собой неосвоенную

природу, оперируя с которой он должен образовать понятия, - они

уже задаются ему как кристаллизованный и идеализированный, исторически сложившийся опыт людей. Вместе с тем понятие выступает как вторичное образование в отношении совокупной производительной деятельности всего обобществившегося человечества.

Внутри развивающегося природного целого все вещи постоянно изменяются, переходят в другие, исчезают. Отдельные изменения и связи вещи могут восприниматься человеком как моменты более широкого взаимодействия, внутри которого эта вещь закономерно замещается "своим другим", и этот переход сохраняет все положительное в ней, необходимое для этой целостной системы взаимодействия. Это будет уже теоретическое рассмотрение самого становления вещей, их опосредование друг с другом.

Следовательно, теоретическое имеет свое особое содержание,

отличное от содержания эмпирического мышления, - это область

объективно взаимосвязанных явлений, составляющих целостную систему. Эту объективную целостность, существующие через связи единичных вещей, в диалектической логике называют конкретным. Конкретное, по Карлу Марксу, - это "единство многообразного". Задача состоит в том, чтобы это конкретное изобразить

как становящееся в процессе его происхождения и опосредования, ибо лишь этот процесс приводит к всему многообразию проявлений целого.

В диалектической логике абстрактным принято называть еще неразвитое, но существенное и генетически исходное отношение некоторой целостной системы ( то есть конкретного). Поэтому ее

теоретическое воспроизведение называется восхождением мысли

от абстрактного к конкретному. Такое восхождение как раз и есть

развитие конкретного.

Теоретическое абстрагирование и обобщение выступают как две стороны единого процесса восхождения мысли от абстрактного к конкретному. Поскольку в таком восхождении эти мыслительные действия выполняют принципиально другие функции, чем подобные действия формально-логического характера, то мы назвали их содержательным абстрагированием и обобщением.

Благодаря содержательному абстрагированию человек вычленяют исходное отношение некоторой целостной системы и при мысленном восхождении к ней удерживает ее специфику. Вместе с тем это исходное отношение первоначально выступает лишь как

особенное отношение. В процессе обобщения человек при установлении его закономерных связей с единичными явлениями может обнаружить его всеобщий характер как основу внутреннего единства целостной системы. То обобщение, в процессе которого осуществляются и прослеживаются реальные взаимосвязи всеобщего с особенным и единичным, также можно назвать содержательным обобщением. Произвести содержательное обобщение значит открыть некоторую закономерность, необходимую взаимосвязь особенных и единичных явлений с общей основой некоторого целого, открыть закон становления внутреннего единства этого целого. Содержательное обобщение совершается путем анализа некоторого целого с целью открытия его генетически исходного, существенного, всеобщего отношения как основы внутреннего единства этого целого.

Абстракция и обобщение содержательного типа получают свое выражение в форме теоретического понятия, которое служит способом выведения особенных и единичных явлений из их всеобщей основы. Благодаря этому содержание теоретического понятия составляют процессы развития целостных систем.

Понятие- это средство мысленного воспроизведения какого-либо предмета как целостной системы. Иметь понятие о таком предмете- значит владеть общим способом мысленного построения этого предмета. Способ, с которым связано понятие, - это особое мыслительное действие человека, которое само возникает как дериват предметно-показательного действия, воспроизводящего предмет своего познания. Иными словами, за каждым понятием скрыто особое действие ( или система таких действий), без выявления которого нельзя раскрыть механизмы возникновения и

функционирование данного понятия.

При рассмотрении особенностей содержательных ( теоретических) абстракций, обобщений и понятий как средств и способов теоретического мышления мы опирались на те их характеристики,

которые наиболее отчетливо проступают в научном познании с присущим ему восхождением от абстрактного к конкретному. Но

научное познание- лишь одна из развитых форм общественного сознания людей, к которому принадлежат еще искусство, нравственность, право, религия, а в них также функционирует мышление. Все формы общественного сознания являются высшим продуктом "организованного мышления". Организованное мышление

призвано обеспечивать отдельных людей исторически сформировавшимися всеобщими и тем самым объективными средствами понимания сущности самых различных сфер действительности. Овладев этими средствами, отдельный человек может успешно свои случайные впечатления о разных явлениях окружающего мира привести в единую систему проверяемых суждений, обоснованных пониманием сущности той или иной сферы действительности. "Организованное мышление" имеет, по мнению В.В.Давыдова , логику теоретического мышления, которая обнаруживается во всех формах общественного познания.

Теоретическому мышлению свойствен анализ как способ выявления генетически исходной основы некоторого целого. Ему характерна рефлексия, благодаря которой человек постоянно рассматривает основания своих собственных мыслительных действий и тем самым опосредует одно из них другими, раскрывая при этом их внутренние взаимоотношения.

Теоретическое мышление осуществляется в основном в плане мысленного эксперимента, для которого характерно выполнение человеком такого мысленного действия, как планирование.

Рассмотрены особенности абстракции, обобщения и понятия, лежащих в основе теоретического мышления.

Итак:

1. Теоретические знания возникают путем анализа роли и функции некоторого особенного отношения внутри целостной системы, которое вместе с тем служит генетически исходной основой всех ее проявлений.

2. Теоретические знания, возникающие на основе преобразования предметов, отражают их внутренние отношения и связи и

тем самым выходят за пределы чувственных представлений.

3. Конкретизация теоретических знаний- это выведение и объяснение особенных и единичных проявлений целостной системы из ее всеобщего основания.

Глава II.

Методические основы развития теоретического

мышления через решение задач по стереометрии.

§1. Анализ учебных пособий по геометрии с целью

выявления возможности использования задачного

материала на развитие теоретического мышления

учащихся.

Проведен анализ следующих учебных пособий:

1. Д.А.Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. Геометрия 10-11.

2. Г.П.Бевз, В.Г.Бевз, Н.Г.Владимирова. Геометрия 7-11.

3. А.В.Погорелов. Геометрия 7-11.

4. Л.С.Атанасян и др. Геометрия 10-11.

Основной целью является выявление возможности использования задачного материала на развитие теоретического мышления

учащихся средством решения задач по геометрии разными методами и способами.

Полученные данные занесены в таблицу:

учебное

пособие

задачи, решаемые с помощью векторов

задачи, решаемые методом координат

задачи, решаемые с помощью геометрических преобразований

Александров.

Геометрия

10-11

§1:1.27,1.28

§7:7.3,7.32,7.40

7.42

§8:8.3,8.6

§9:9.10

§12:12.13,12.15

12.26,12.31,12.32,12.38

§13:13.4,13.6

§14:14.4,14.10

14.11,14.12,14.25,14.26,14.37

14.38,14.48

Гл.III:III.1,III.5

§17:17.11

§20. 12,20.13

Гл.IV:IV.9

§22:22.12,22.14

22.22-22.24

§23:23.6,23.10

23.11,23.14

Гл.V:V.1

§34:34.2-34.4

34.9-34.12

34.19-34.25

34.27

§35:35.1,35.2

35.4-35.6,35.8-35.14,35.23-35.34

Аффинные задачи:35.36-35.42

Метрические задачи:35.43-35.54

§37:37.2

Гл.VIII:VIII.2-VIII.32

§1:1.26-1.28

§5:5.2

Гл.I:I.20

§7:7.3,7.7

§8:8.3,8.6

§9:9.10

§12:12.40

§14:14.11,14.48

Гл.III:III.5

§15:15.18

§22:22.12,22.22

22.23,22.24

§23:23.6

§37:37.1-37.4

37.6-37.11

37.16,37.17

37.19-37.24

37.26-37.50

Гл.VIII:VIII.2-VIII.32

§1:1.3,1.5

§7:7.3,7.29

§9:9.1,9.2,9.7

§10:10.2,10.4

10.26

§14:14.11

§38:38.1-38.20

§39:39.1-39.17

§40:40.1-40.20

§41:41.1-41.32

§42:42.1-42.45

§43:43.1-43.10

§44:44.1-44.14

§45:45.1-45.17

Гл.IX:IX.1-IX.21

Бевз.

Геометрия 7-11

№ 1084,1130

1139,1140,1142

1152,1162,1169

1170,1171,1175

1190,1206,1208

1209,1225,1280

1286,1287,1288

1290,1291,1292-1295,1299

1301-1304,1306

1310,1311,1315-1331,1332-1347,1767-1770

1774,1776,1810

№ 1139,1140

1142,1162,1163

1171,1176-1181

1251,1253,1254-1260,1453

1454,1576,1577

1580,1587,1673

1771

№ 1142,1152

1162,1169,1171

1225,1273,1274-1276,1278

1485,1486,1497

1498

Погорелов

Геометрия 7-11

§17:13,17,21

§18:50-64

§17:17,21,22

§18:3-15

§15:3,6

§16:10,27-30

§17:16-29

Атанасян

Геометрия

10-11

Гл.I:43,44,46

Гл.II:116-118

126,127,148

175,197,213

Гл.III:222,225

227,260,261

293,295,297

304,320,321

328-354,356-399,413,415

417,419,421

422,426,440-477,490-493

506-512,789

792,793

Гл.III:401,402

408,412,413

421,424,425

494,496,497

500-505,513

Гл.I:26,65,76

Гл.II:127,293

295,297,399

478-489,518

520

Во всех рассмотренных учебных пособиях нет указаний на то, что задача может быть решена несколькими способами. Это представляет большую трудность в методическом плане. Выделенные в таблице номера задач относятся к разделу "Стереометрия" и могут быть использованы с целью развития теоретического мышления учащихся старших классов.

Школьный курс геометрии сочетает в себе аналитические и конструктивные методы при изучении теории и решении задач. Решение задач различными методами и способами повышает интерес учащихся к изучению математики в целом. Обучение решению задач является важнейшей составляющей практики преподавания математики.

Анализ задачного материала позволил выделить обобщенный подход в решении задач различными методами и способами.

1.Провести анализ содержания задачи:

а)какие фигуры (плоские или неплоские) рассматриваются в за даче;

б)выделить требование задачи;

в)построить наглядное изображение рассматриваемой фигуры и

записать условие и требование задачи;

г)установить характер задачи (метрическая или аффинная).

2.Выяснить возможность решения задачи с помощью: векторов, координат, геометрических преобразований, других методов. Для этого перевести утверждение задачи на язык : векторов, координат, геометрических преобразований.

Найти план решения, соответствующий выбранному способу.

3.Дать оценку найденных решений с точки зрения их рациональности.

§2. Система задач, допускающих различные

методы и способы решения.

Рассмотрим стереометрические задачи, решаемые различными

методами: векторным, координатным, традиционным, методом геометрических преобразований.

Аффинные задачи.

Параллельность и перпендикулярность

в пространстве.

Задача 1.Дана четырехугольная пирамида NABCD, основанием которой служит параллелограмм. На боковых ребрах NB и NC взяты точки K и L такие, что NK:KB=4:5 и NL=LC. Плоскость AKL пересекает ребро ND в точке М. Найти отношение NM:MD.

Решение 1.Построим сечение данной пирамиды NABCD плоскостью AKL (рис.1).Сначала построим точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD,

затем точку Р пересечения

прямых AL и NO, наконец,

точку М пересечения прямых

KP и ND.

Согласно условию задачи

.Заметим, что Р- точка

пересечения медиан треугольника ACN, поэтому

.Найдем =.

Обозначим площади треугольников NKP и NPM через S₁ и S₂, а площадь треугольника NBD - через S.

Воспользуемся леммой об отношении площадей треугольников, имеющих общий угол. Учитывая, что площади треугольников NOB

и NOD равны, получим:

_;

Аналогично найдем отношение площадей треугольников NKM и NBD: . Из двух предыдущих равенств имеем:

+

Следовательно, +,откуда =.

Итак, . Значит .

Решение 2.Положим AB=a, AD=b, AN=c, векторы a, b, c будем считать базисными. Точки A,K,L,M принадлежат одной плоскости.

Cледовательно, выполняется равенство

AM=AK+AL.

Выразим векторы AK и AL через базисные векторы. По формуле деления отрезка в данном отношении имеем:

AK=, AL=.

Итак, AM=(+) a+ b+(+) c.

Теперь примем во внимание, что точка М принадлежит ребру ND.Обозначив ,получим: AM=.

Приравняв в двух разложениях вектора АМ коэффициенты одних и тех же базисных векторах, получим систему уравнений:

Решив эту систему, имеем: x=.

Вычисления будут несколько короче, если условие принадлежности точек A,K,L,M одной плоскости записать в виде равенства:

NA=NK+NL+(1--)NM

Задача 2. Точки М₁ и М₂ являются соответственно точками пересечения медиан граней ABD и BCD тетраэдра ABCD. Докажите, что M₁M₂ параллельна AC .

Решение 1. Поскольку М₁ и М₂ - точки пересечения медиан треугольников ABD и BCD (рис.2), то:

§3. Методика обучения учащихся старших классов

решению геометрических задач различными

методами и способами.

Занятие 1.Использование вектора в решении задач.

Цель: овладение учащимися действием перевода геометрических соотношений на язык векторов.

Существуют различные методы решения задач: векторный, координатный, метод геометрических преобразований, традиционный. Рассмотрим все эти методы в применении к стереометрическим задачам.

В основе решения геометрических задач лежит обобщенный подход:

1.Провести анализ содержания задачи:

а)какие фигуры (плоские или неплоские) рассматриваются в задаче;

б)выделить требование задачи ;

в)построить наглядное изображение рассматриваемой фигуры и записать условие и требование задачи ;

г)установить характер задачи (метрическая или аффинная).

2.Выяснить возможность решения задачи с помощью: векторов, координат, геометрических преобразований, других методов. Для этого перевести утверждение задачи на язык : векторов, координат, геометрических преобразований. Найти план решения, соответствующий выбранному способу.

3.Дать оценку найденных решений с точки зрения их рациональности.

Прежде чем приступить к решению содержательных задач, надо поработать над тем, чтобы учащиеся овладели действием перевода геометрических соотношений на язык векторов.

Полезно выполнить следующие упражнения.

1.Что можно сказать о векторах АМ и АВ, если М(АВ)? (Решение записать так : (М(АВ))(АМ=АВ)).

2.Каково взаимное расположение точек А, В и М, если векторы АМ и АВ коллинеарны?(Запись решения: (АМ=АВ)(М(АВ)).

3.Что можно сказать о векторах АВ и CD, если прямые АВ и СD параллельны?(Решение такое : ((АВ)(СD))(AB=CD)).

4.Каково взаимное расположение прямых АВ и СD, если АВ=СD?

5.Верны ли высказывания:

а)чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом, необходимо, чтобы выполнялось равенство: АВ=DC;

б)чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом, достаточно, чтобы выполнялось равенство АВ=DC;

в)чтобы четырехугольник АВСD был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: АВ=DC.

6.Является ли равенство АМ=АВ+АС необходимым и достаточным условием того, что М(АВС)?

7.Запишите в векторной символике условие принадлежности точки М отрезку АВ.(Запись решения : (М[AB])(AM=AB,01)).

8.Запишите в векторной символике условие принадлежности точки М лучу АВ. (Решение: (М[AB))(AM=AB, 0)).

9.Запишите в векторной символике условие того, что М-точка пересечения медиан треугольника АВС.

10.Является ли равенство ОМ=(ОА+ОВ), где О- произвольная точка пространства, необходимым и достаточным условием того, что М является серединой отрезка АВ?

11.Является ли равенство ОМ=(ОА+ОВ+ОС), где О- произвольная точка пространства, необходимым и достаточным условием того, что М-точка пересечения медиан треугольника АВС?

По мере решения задач 1-11 целесообразно результаты заносить в таблицу, представляющую собой "словарь", переводящий геометрические соотношения на язык векторов(ниже приведенная таблица должна быть зафиксирована учащимися и послужить основой при их самостоятельной работе с задачами).

№ п/п

Геометрические соотношения

Те же геометрические соотношения на языке векторов

1

М(АВ)

АМ= АВ

2

МАВ

АМ= АВ, 0 1

3

МАВ)

АМ= АВ, 0

4

М(АВС)

АМ= АВ+ АС

АВ и АС- не коллинеарны

5

(АВ)(СD)

AB= CD

6

ABCD- параллелограмм

АВ=DС, АВ и АD не коллинеарны

7

Прямые a,b,c лежат в одной плоскости

m= n+ p, m(a)=a, n(b)=b, p( c)=c

8

М- середина АВ

а)МА=-МВ

б)ОМ=(ОА+ОВ), где О- произвольная точка пространства

9

М-точка пересечения медиан треугольника АВС

а)МА+МВ+МС=0

б)ОМ=(ОА+ОВ+ОС), где О- произвольная точка пространства

10

АВ=а

²=а

11

(АВ)(CD)

AB CD=0

12

cosABC

Все задачи, решаемые с помощью векторов, можно разбить на две группы: так называемые аффинные задачи, которые решаются без использования скалярного умножения векторов, и метрические- их решение связано с использованием скалярного умножения векторов.

Схема решения аффинных задач:

1.Провести анализ содержания задачи:

а)какие фигуры, плоские или неплоские, рассматриваются в задаче;

б)каково требование задачи;

в)выполнить рисунок к задаче и, пользуясь принятыми обозначениями, записать условие задачи.

2.Выяснить возможность решения задачи с использованием векторов. Для этого надо выяснить, что значит решить задачу на языке векторов.

3.Для обоснования тех или иных векторов надо:

а)выбрать для плоской фигуры два неколлинеарных вектора или для неплоской фигуры три некомпланарных вектора(в качестве таких часто бывает целесообразно выбрать те, которые отложены от одной точки плоскости или пространства);

б)найти разложения векторов(коллинеарность которых следует обосновать) по векторам, выбранным в пункте а).(соответствующие коэффициенты в разложениях коллинеарных векторов должны быть пропорциональны).

Схема решения метрических задач та же, только здесь есть еще один пункт:

4.Для того, чтобы найти 1)², или 2)АВ СD, или 3), надо:

а)выбрать два неколлинеарных вектора для плоской фигуры или три некомпланарных вектора для неплоской фигуры(в качестве таких векторов надо выбирать те, длины или отношения длин и величина угла между которыми известны);

б)найти разложения по векторам, выбранным в пункте а) для

1. АВ, для 2)АВ и CD, для 3)AB и CD;

в)найти для 1)², для 2)АВ CD, для 3), пользуясь свойствами скалярного умножения векторов.

Задача 1.

Основанием параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ служит квадрат со стороной а ; боковое ребро параллелепипеда АА₁, равное b, образует с пересекающими его сторонами основания острые углы, равные . Найти площадь диагонального сечения АА₁С₁С.

Решение:

Сечение АА₁С₁С параллелепипеда

ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограммом, причем ; =b.

Найдем А₁АС.

Пусть АВ= m, AD=n,AA₁=p.

По определению скалярного произведения векторов

cosA₁AC=,

AA₁ AC=p (m+n)=p m+p n=2a b cos.

cosA₁AC=,

Следовательно,

S_ACCA=.

Задача 2.

Доказать, что плоскость, проходящая через концы трех ребер куба, имеющих общую точку, перпендикулярна диагонали куба, выходящей из этой точки.

Решение:

Рассмотрим диагональ А₁С и сечение AB₁D₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁.Требуется доказать, что (A₁C)(AB₁D₁), то есть

достаточно установить, что [A₁C][AB₁] и [A₁C][AD₁].

Разложим векторы А₁С и АВ₁ по векторам A₁A=a, A₁B₁=b, A₁D₁=c,

A₁C=a+b+c, AB₁=A₁B₁- A₁A=b- a.

Тогда A₁C AB₁=(a+b+c) (b-a)=b²- a²+b c-a c.

Так как bc и ac, то b c=a c=0, поэтому A₁C AB₁=b²- a² =²-, следовательно , А₁САВ₁, то есть [A₁C][AB₁].

Аналогично доказывается, что [A₁C][AD₁].

Занятие 2.

Использование метода координат при решении задач.

Использование метода координат на нахождение ГМТ.

Метод координат позволяет выделить общий подход к решению этих задач. Этот подход состоит в следующем:

1) выбор системы координат;

2) найти уравнение искомого ГМТ;

3) по уравнению определить вид фигуры.

Задача 1.

Даны точки А(0,3), В(4,0).

Найти ГМТ={CCA+CBCA- CB}

Решение:

Пусть C(x,y)ГМТCA+CBCA- CB

(4-2x)²+(3-2y)²=4(16+9)

16-16x+4x²+4y²-12y+9=100

4x²+4y²-16x-12y+25=100

4x²+4y²-16x-12y-75=0

x²+y²-4x-3y- =0

Выделим полный квадрат: (x²-4x+4)+(y²-3y+

(x-2)²+(y-)²-25=0

(x-2)²+(y-)²=5²

Это уравнение окружности с центром в точке О(2;) и радиусом, равным 5.

Задача 2.

Дан равнобедренный треугольник АВС, D- середина ВС, АВ=АС, ADC, BC=4. Найти ГМТ={MMA²+MB²+MC²=36}.

Решение:

1)Выберем систему координат

xDC, yAD

A(0,3), B(-2,0), C(2,0).

2)Пусть М(x,y)ГМТ

(-x)²+(3-y)²+(-2-x)²+y²+(2-x)²+y²=36

3x²+3y²-6y+17=36

3x²+3y²-6y-19=0

x²+y²-2y-=0

x²+(y-1)²= - уравнение окружности с центром в точке О(0,1).

Задача 3.

Точки М₁ и М₂ являются соответственно точками пересечения медиан граней ABD и BCD тетраэдра ABCD.Докажите, что М₁М₂ параллельна АС.

Решение:

Используя формулу для точки пересечения медиан треугольника, получим:

OM₁=(OA+OB+OD),

OM₂=(OB+OC+OD).

Расположим систему координат так, как показано на рисунке.

Очевидно, A(x₁,0,0),B(0,0,0), C(x₂,y₂,0),D(x₃,y₃,z₃).Так как O=B, то OC=(x₂,y₂,0), OA=(x₁,0,0), OB=(0,0,0),OD=(x₃,y₃,z₃),

OM₁=((x₁+x₂), y_2,,z₃),OM₂=( (x₂+x₃),(y₂+y₃),z₃).

Найдем AC=(x₂-x₁,y₂,0), M₁M₂=( (x₂-x₁), y₂,0).Отсюда вытекает, что векторы AC и M₁M₂ сонаправленны, а следовательно они параллельны.

Метод координат является самым универсальным,

Обобщенный подход к решению аффинных и метрических задач методом координат состоит в следующем:

1) Наиболее рационально выбрать систему координат(чтобы большинство необходимых точек имело координатами- нули или находились по формулам, или легко вычислялись).

2) Записать в координатной форме, с учетом данных задачи, точки фигуры(если необходимы координаты векторов).

3) Записать уравнения прямых, окружностей.

4) Выполнить преобразования полученного в координатной форме выражения.

5) Перевести полученные данные с языка координат на геометрический язык(если необходимо, промежуточно используют язык векторов).

Задача 4.

Вычислить высоту треугольной пирамиды, у которой все углы при вершине прямые, а длины боковых ребер равны соответственно 1, 2 и 3.

Решение:

Выберем в пространстве прямоугольную систему координат так, чтобы вершины данной пирамиды OABC имели координаты O(0,0,0), A(1,0,0),

B(0,2,0), C(0,0,3). Запишем уравнение плоскости :

6x+3y+2z-6=0

По формуле расстояния от точки до плоскости найдем высоту h пирамиды: h=.

Задача 5.

Дан прямоугольный тетраэдр OABC с прямым трехгранным углом при вершине O. Точка P расположена в плоскости грани ABC, причем , , .

Докажите, что u²+v²+w²=2+ctg², где - угол наклона прямой OP к плоскости ABC.

Решение:

Примем вершину O тетраэдра OABC за начало прямоугольной системы координат, а осям координат придадим направления векторов OA,OB,OC. Тогда вершины тетраэдра и точки P можно обозначить так:

A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),P(x,y,z). Введем еще обозначения:

AP=a₁,BP=b₁,CP=c₁,OP=p

По формуле расстояния между точками находим:

a₁²=(x-a)²+y²+z², p²=x²+y²+z².

Отсюда a₁²=a²(1-)+p².

Аналогично b₁²=b²(1-)+p², c₁²=c²(1-)+p².

Следовательно,

Точка P принадлежит плоскости ABC, поэтому

.

Известно, что , где h- высота.

А так как то полученное выше равенство принимает вид u²+v²+w²=1+. Учитывая, что

окончательно получаем : u²+v²+w²=2+ctg².

Занятие 3.

Использование метода геометрических преобразований

при решении задач.

Преобразования плоскости широко используются в решении задач на доказательство и построение.

Исходя из наличия определенных свойств каждого преобразования, можно выделить некоторые типы задач, к решению которых может быть применено то или иное преобразование.

Каждое движение может быть использовано при решении задач на доказательство равенства фигур.

В задачах на доказательство параллельности прямых могут быть полезными параллельный перенос, центральная симметрия и гомотетия(так как соответствующие прямые в этих преобразованиях параллельны) Центральная симметрия часто используется при доказательстве различных соотношений в параллелограмме, при доказательстве принадлежности трех точек одной прямой, а также в конструктивных задачах, связанных с построением отрезков, серединой которых является данная точка.

С помощью осевой симметрии часто удается доказать некоторые соотношения в равнобедренном треугольнике, равностороннем треугольнике, равнобокой трапеции, прямоугольнике, ромбе, окружности. Осевая симметрия используется в задачах на построение.

Использование поворота часто дает желаемый результат при рассмотрении равностороннего треугольника, квадрата, при нахождении углов между прямыми, а также в задачах на построение равнобедренных треугольников, у которых задана вершина и величина угла при этой вершине.

Гомотетия часто используется при доказательстве различных соотношений в двух окружностях разных радиусов, а также при доказательстве принадлежности трех точек одной прямой.

С помощью подобия часто удается решить задачи на нахождение углов между прямыми или длин отрезков. Подобие используется в задачах на построение.

Задача 1.

В прямоугольном треугольнике ABC, C=90, проведена высота CD. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы углов CAD и DCB, перпендикулярны.

Решение:

Докажем, что CNAM.Выясним, какие из преобразований могут быть полезными в нахождении угла между прямыми. Можно попытаться найти поворот или подобие, в которых прямые AM и CN будут соответствующими. Если прямые AM и CN являются соответствующими либо в повороте, либо в подобии, то так как AM- биссектриса угла CAD, а CN-биссектриса угла BCD, то приходим к необходимости рассмотрения треугольников ADC и CDB.

Они подобны.

Рассмотрим подобие, отражающее треугольник ADC на треугольник CDB. Тогда прямая AM отобразится в прямую CD

(биссектриса треугольника в подобии переходит в биссектрису подобного треугольника), и значит угол между прямыми AM и CN равен углу между прямыми DC и DB. Следовательно, AM перпендикулярна CN.

Задача 2. В равнобедренном треугольнике ABC через середину H основания BC проведен перпендикуляр HE к AC. O-середина HE. Найти угол между прямыми AO и BE.

Решение:

Выясним, какие из преобразований могут быть полезными в нахождении угла между прямыми. Можно попытаться найти поворот или подобие, в которых прямые будут соответствующими. Отметим, если прямые AO и BE являются соответствующими либо в повороте, либо в подобии, то так как AO- медианы треугольника AHE, то и прямая BE должна являться медианой соответствующего треугольника. Приходим к необходимости рассмотрения треугольника BDC

(BDAC), который подобен треугольнику AHE, то есть соответствует подобие, отображающее треугольник BDC на треугольник AHE. Тогда E отображается в точку О.

Следовательно, (BE)(AO). И значит BE,AO=BD,AE=90.

Глава III.

Экспериментальная проверка эффективности

методики развития теоретического мышления

при обучении учащихся старших классов

решению задач разными методами и способами.

Проверка эффективности разработанной методики обучения решению геометрических задач разными методами и способами проводилась с учащимися 11 класса школы № 15 города Орска в период педагогической практики(ноябрь-декабрь 1997года).

Эксперимент состоял из трех частей:

1) Констатирующий эксперимент, цель которого, проверить могут ли учащиеся на основе имеющихся у них знаний из школьного курса геометрии, видеть перспективу решения задачи разными методами, провести содержательный анализ задачи, выделить существенное, обосновать свои действия и ход мыслей.

2. Обучающий эксперимент, цель которого состояла в формировании обобщенного подхода к решению геометрических задач разными методами.

2. Контрольный эксперимент, который преследовал следующие цели: проверка сформированности обобщенного подхода и исследование динамики сформированности умственных операций(абстракции, обобщения, понятия).

§ 1. Констатирующий эксперимент.

Эксперимент проходил в виде контрольной работы. Учащимся была предложена планиметрическая задача, допускающая минимум три метода решения, следующего содержания: "Дан квадрат ABCD, O- центр. На отрезке BO взята точка M такая, что BM:MO=3:1, а на стороне AB взята точка N такая, что BN:NA=3:1. Найдите угол между прямыми CM и DN." Было дано задание: назвать методы решения геометрических задач, привести разные решения предложенной задачи и описать рассуждения по выбору каждого метода решения.

В процессе проведения контрольной работы за учащимися велось наблюдение, которое показало, что поставленная задача привела учащихся в растерянность, а подсказки учителя не были восприняты ими. Например, одно из представленных решений выглядит так: "Рассмотрим треугольники ABD и ABC, так как BOC=90 и BAD=90

CPD=45, что следует

из подобия треугольников

BAC и ABD."

Результаты работы

представлены в таблице:

№

Фамилия

традицион

ный метод

векторный

метод

координат ный метод

1.

Байгускаров

2.

Бабнищева

3.

Булычева

4.

Донцова

5.

Калядина

6.

Кузьмина

7.

Лебедев

8.

Лещенко

9.

Кадаев

10.

Межова

11.

Макаров

12.

Нечеухина

13.

Сандрев

14.

Сафина

По данным работы был найден коэффициент сформированности умственных операций: k=0,19.

Коэффициент рассчитывается по формуле: k=.

n-число умственных операций

N-число учащихся

n-число сформированных операций у i-того учащегося

Из представленных решений следует, что учащиеся затрудняются провести содержательный анализ задачи, не видят перспективы использования метода веторов, координат. Анализ результатов контрольной работы позволил сделать вывод о необходимости проведения специального, целенаправленного обучения.

2.Обучающий эксперимент.

Обучающий эксперимент проходил на факультативных занятиях по методике, описанной в главе II.

Тематическое планирование проведенных занятий следующее:

1) Использование вектора в решении задач.

2) Использование метода координат при решении задач.

3) Использование метода геометрических преобразований

при решении задач.

3.Контрольный эксперимент.

В конце обучения был проведен контрольный эксперимент. Учащимся были предложены стереометрические задачи, допускающие минимум три решения, следующего содержания:

"Из вершины прямого угла A треугольника ABC восстановлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите косинус угла между векторами BC и BD, если ABD=,ABC="

(1 вариант).

"Наклонная образует угол 45 с плоскостью. Через основание наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45 к плоскости наклонной. Найдите угол между этой прямой и наклонной"( 2 вариант).

Обе задачи решены векторным методом.

Задача из 1 варианта решена Межовой Таней следующим образом:

"Эту задачу можно решить с помощью векторов, так как можно перевести текст задачи на язык векторов.

Пусть AC=a,AD=b,AB=c.

BD=b- c, BC=a- c.

Рассмотрим треугольникABC.

tg = AC=AB tg ,

пусть AB=1, тогда AC=tg

Рассмотрим треугольник ABD

tg =AD=tg .

BD(0,tg ,-1),BC(tg ,0,-1)

cos=cos(BD,BC)=

После проведения контрольного эксперимента был подсчитан коэффициент k : k=0,5.

Заключение.

В ходе теоретико-экспериментального исследования проблемы получены следующие результаты:

1) Обоснована целесообразность и возможность использования стереометрических задач, допускающих разные методы и способы решения, в качестве средства развития теоретического мышления учащихся старших классов общеобразовательных школ.

2) Доказана эффективность обобщенного подхода в обучении учащихся решению стереометрических задач разными методами.

3) Разработана система задач, позволяющих реализовать в практике обучения развитие основных компонентов теоретического мышления: анализа, рефлексии, планирования.

4) Обоснована эффективность методики, служащей для учащихся ориентировочной основой действий в поиске методов решения геометрических задач.

Библиография.

1.Александров Д.А.,Вернер А.Л.,Рыжик В.И.Геометрия 10-11. -М., Пр., 1992 г

2.Атанасян Л.С. и др.Геометрия 10-11.-М., Пр.,1992 г

3.Бевз Г.П.,Бевз В.Г.,Владимирова Н.Г.Геометрия 7-11.-М.,Пр

1992 г

4.Готман Э.Г.,Скопец З.А.Задача одна- решения разные.-К.:

Радянська школа.-1988 г

5.Готман Э.Г.,Скопец З.А.Решение задач аналитическим методом:пособие для учащихся 9 и 10 классов.-М.,Пр.,1979 г

6.Давыдов В.В.Виды обобщения в обучении.

7.Давыдов В.В.Теория развивающего обучения.-М.,-1996 г

8.Зайцева Г.Д.О решении задач различными методами // Математика в школе.-1982 г-№ 5

9.Методические рекомендации и указания к курсу "Алгебра и геометрия"/ Т.И.Уткина.,г. Орск,1987 г

10.Немов Р.С.Психология.Книга 1.

11.Погорелов А.В.Геометрия 7-11.-М.,Пр.,1992 г

12.Уткина Т.И.К методике обучения учащихся решению задач с помощью векторов// Математика в школе.-1979 г-№ 4

13.Шардаков М.Н.Мышление школьника.Гос.уч.-пед. изд. Мин. Просвещения.-М.,1963 г