- Преподавателю
- Математика
- Функция одной переменной и её характеристики
Функция одной переменной и её характеристики
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Луконина С.А. |
Дата | 13.02.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Тема 4 . Функция одной переменной.
Время: 2 часа
Цель лекции: Актуализировать понятие функции; расширить имеющиеся представления о функции, познакомить с основными характеристиками функции.
План лекции:
-
Понятие функции.
-
Числовые функции. График функции. Способы задания функции.
-
Основные характеристики функций.
-
Обратная функция.
-
Сложная функция.
-
Понятие функции.
Понятие функции является одним из основных в математике. Оно связано с установлением соответствия между элементами двух множеств.
Пусть даны два непустых множества Х и Y. Соответствие f, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается или . Говорят ещё, что функция отображает множество Х на множество Y.
. .
. .
X
X
Y
f
g
Y
X
Y
Y
. .
u
X
Например, соответствия f и g, изображённые на рисунке, являются функциями, а и u ‒ нет. В случае ‒ не каждому соответствует элемент . В случае и ‒ не соблюдается условие однозначности.
Элемент , который соответствует данному , называют образом элемента х. Все элементы , которым соответствует данный , называют полным прообразом элемента у.
Множество Х называется областью определения функции f и обозначается D(f). Множество всех , для которых существует прообраз в Х, называется множеством значений функции f и обозначается Е(f).
-
Числовые функции. График функции. Способы задания.
Пусть задана функция . Если элементами множеств Х и Y являются действительные числа, то функцию называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать числовые функции, называть их просто функциями и обозначать .
Переменная х называется аргументом или независимой переменной, а у ‒ функцией или зависимой переменной. Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости.
Частное значение функции при х=а записывают . Например, если , то ,
Г
М(х;у)
у
х
1
Орафиком функции называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой из которых х является значением аргумента, а у ‒ соответствующее значение функции.
Например, графиком функции является верхняя полуокружность радиуса R=1 с центром О(0;0).
Чтобы задать функцию, необходимо задать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение функции.
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.
Аналитический способ: функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.
-
2)
Если область определения функции не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции является отрезок .
Аналитический способ является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию .
Графический способ: задаётся график функции; по графику находят значение функции, соответствующее данному значению аргумента и наоборот. Преимущества ‒ наглядность; недостатки ‒ неточность.
Табличный способ применяется, когда целесообразно задать пары х и у перечислением.
-
Основные характеристики функций.
Функция , определённая на множестве D, называется чётной, если выполняются условия и ; нечётной, если выполняются условия и .
График чётной функции симметричен относительно оси Оу, а нечётной ‒ относительно начала координат.
Например, , , ‒ чётные функции, а , ‒ нечётные функции; , ‒ функции общего вида.
Пусть функция определёна на множестве D и пусть . Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство:
а) , то функция называется возрастающей на множестве (большему значению аргумента соответствует большее значение функции);
б) , то функция называется неубывающей на множестве ;
в) , то функция называется убывающей на множестве (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);
г) , то функция называется невозрастающей на множестве .
Н
‒2 О 1 3 4 х
уапример, функция, заданная графиком на рисунке, убывает на промежутке , не убывает на , возрастает на .
Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие ‒ строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.
Ф
у=М
у
х
у= ‒Мункцию, определённую на множестве D называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство: .
:.
Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми у=‒М и у=М.
Функция , определённая на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число T>0, что при каждом значение и . При этом число Т называется периодом функции. Если Т ‒ период функции, то её периодами будут также числа пТ, где Так, для периодами будут числа Основной период (наименьший положительный) ‒ это период . Вообще за основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству .
-
Обратная функция.
Пусть задана функция с областью определения D и множеством значений Е. Если для каждого существует единственный прообраз в D, то можно поставить в соответствие элементам элементы , т.е. определить функцию с областью определения Е и множеством значений D. Такая функция называется обратной к функции и записывается . Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными.
Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно х и переобозначить зависимые и независимые переменные (чтобы независимая по-прежнему была х, а зависимая у).
Например, для функции обратной является функция . Для функции , , обратной является функция . Заметим, что для функции , заданной на всей числовой прямой, обратной функции не существует, т.к. одному значению у соответствуют два значения х. В нашем первом примере функция g не обратима по той же причине.
Из определения обратной функции вытекает, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задаёт взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда следует, что строго монотонная функция имеет обратную. При этом, если функция возрастает (убывает), то и обратная функция возрастает (убывает).
Т
О х0 у0х
у
y=f(x)
y=(x)
M1
M2
y0
x0ак как мы переобозначили переменные, то, если точка принадлежит кривой , то точка принадлежит кривой . Точки с такими координатами симметричны относительно прямой у=х.
Поэтому графики обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
-
Сложная функция.
Пусть функция определена на множестве D, а функция на множестве D1, причём соответствующее значение . Тогда на множестве D1 определена функция , которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций).
Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.
Например, , есть суперпозиция двух функций и . Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.
6