Научно - исследовательская работа по математике «Приемы счета: с древности и до современности»

Научно - исследовательская работа по математике

«Приемы счета: с древности и до современности».

Работу выполнил:

ученик 5А класса

МОУ «СОШ №9

г. Ртищево Саратовской области»

Третьяков Александр Рустамович.

Руководитель:

учитель математики

Кузьмина Галина Вячеславовна,

Содержание.

1. Введение………………………………………………………………...……….…...3

2. Приемы счета: с древности и до современности ………………4

2.1.Счетные приборы………………………………………...4

2.2.Приемы нумерации у разных народов……………………………………….4

2.2.1..Счет у первобытных народов……………………………………….….5

2.2.2. Нумерация племени майя……………………………..5

2.2.3. Египетская нумерация

2.2.4. Римская нумерация

2.2.5. Индийская нумерация

2.2.6. Вавилонская нумерация

2.2.7. Древнегреческая нумерация

2.2.8. Славянская глаголическая нумерация

2.2.9. Славянская кириллистическая нумерация

2.2.10. Китайская нумерация

3. Результаты собственных исследований…………………………...………….…6

3.1. Социологический опрос учащихся………………………………………..…….…6

3.2. Приемы устного счета (умножение)

4. Вывод …………………………………………………………………………….....11

5. Заключение…………………………………………………………...……………..12

Список использованных источников…………………………………..………….......12

Незнающие - пусть научатся,

а знающие - вспомнят еще раз.

Античный афоризм.

1. Введение

Актуальность темы исследования.

На протяжении всей своей жизни люди сталкиваются с числами и выполняют над ними арифметические действия. Мы воспринимаем это, как факт, как само собой разумеющееся. Действительно, мы спокойно пересчитываем предметы, даем этому множеству количественную характеристику, даже не задумываясь о том, что и в далекие времена наши предки, которые долгое время общались жестами и членораздельными звуками, могли считать или, во всяком случае, могли определить количество предметов. Меня очень заинтересовало, на какой же стадии развития человека зародился счет, как люди «укрощали» эту науку.

Цель исследования: познакомиться с историей возникновения счета и с простейшими счетными приборами.

Задачи исследования:

• собрать материалы о простейших счетных приборах;

• изучить приемы нумерации у разных народов;

• изучить приемы быстрого счета;

• провести анкетирование среди обучающихся МОУ «СОШ № 9

г. Ртищево Саратовской области».

Объект исследования: цифры и простейшие счетные приборы.

Предмет исследования: история возникновения простейших счетных приборов и приемов нумерации у разных народов.

Гипотеза исследования: предположим, что каждый народ имеет собственную систему счета.

Методы исследования: изучение литературы, анкетирование, анализ полученных результатов.

Реализация проекта: создание презентации проекта, представление результатов работы перед учащимися школы. Выступление на научно-практической конференции.

2. Приемы счета: с древности и до современности.

2.1. Счетные приборы.

Факты убедительно свидетельствуют о том, что счет возник раньше, чем названия чисел. Человек пользовался окружавшими его однотипными предметами счета: пальцы, камешки, узелки, нарисованные на стене черточки, зарубки на палках, деревьях и на костях, кучки камней (приложение 1).

С усложнением хозяйственной деятельности людей понадобилось вести счет в более обширных пределах, что потребовало создания более сложных счётных устройств. Это различные счёты (абак (приложение 2), соробан (приложение 4), суаньпан (приложение 3)) и позднее в средние века появляются механические счётные устройства: машина Паскаля (приложение 5), машина Лейбница (приложение 6), логарифмические линейки. Далее разрабатываются счётные устройства, которые могут работать под управлением программы (приложение 7).

2.2. Приемы нумерации у разных народов..

2.2.1. Счет у первобытных народов.

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов.

Первый счет. Самым простым инструментом счета были пальцы на руках человека. С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10.

Появление десятичной системы счисления. Одна из таких систем счета впоследствии и стала общеупотребительной - десятичная.

Например: 1 человек - это 20, 2 человека - это два раза по 20 и т.д.

Преимущества счета у первобытных людей в том, что очень просто, а неудобства - для счета нужны люди.

2.2.2. Нумерация племени майя.

Эта нумерация очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Старого Света. Сначала эта нумерация обслуживала пятеричную систему счисления, а потом ее приспособили для двадцатеричной. Также большой вес имеют пиктографические знаки, часто изображающиеся со многими деталями животных, людей, частей тела и предметов быта. Истоки лежат в методе счёта, при котором применялись не только десять пальцев рук, но и десять пальцев ног. Также интересным является тот факт, что у майя существовало обозначение нуля, который схематически был представлен в виде пустой раковины от устрицы или улитки. Обозначение нуля также применялось для обозначения бесконечности (приложение 8).

2.2.3. Египетская нумерация.

Одна из древнейших нумераций египетская. До нас дошли надписи, сохранившиеся внутри пирамид, на плитах и обелисках. Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад. Система счета древних египтян насчитывает семь знаков, передающих разряды чисел. Запись цифр внутри каждого из разрядов производилась простым увеличением количества знаков по принципу сложения. Например, число «1» передавалось одной чертой (I), «2»- двумя (II), «3» - тремя (III).... «8» - восемью (IIIIIIII), «9» - девятью (IIIIIIIII). Числа, содержащие несколько разрядов единиц, записывались по такому же принципу; при этом единицы высших разрядов выносились в начало записи (приложение 8).

Преимущества счета в том, что на тот момент не было лучшего счета, а неудобство - было тяжело писать.

2.2.4. Римская нумерация.

Древние римляне пользовались «римской нумерацией». Мы пользуемся для обозначения веков, юбилейных дат, для нумерации глав книги или строф стихотворения.

Правило римской нумерации.

• Если меньшее число стоит слева от большего, то вычитаем.

• Если меньшее число стоит справа от большего, то прибавляем.

Например:

четыре записывается как IV, т. е. пять минус один,

восемь - VIII (пять плюс три),

сорок-XL (пятьдесят минус десять),

девяносто шесть-XCVI (сто минус десять плюс пять и плюс еще один) и т. д.

В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так: I=1, V=5, X=10, L=100, D=500, M=1000 (приложение 8).

Запись чисел римскими цифрами:

XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818.

Преимущества эта нумерация очень удобна, даже в наше время её используют. Неудобства в том ,что объёмное написание.

2.2.5. Индийская или арабская нумерация.

Это, самая распространенная на сегодняшний день нумерация. Название «арабская» для нее не совсем верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из арабских стран, но там она тоже была не родной. Настоящая родина этой нумерации - Индия.

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3,... 9, 10,

20, ..., 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка, или кружок, для указания пустующего разряда; и нумерация «Деванагари» превратилась в поместную десятичную систему (приложение 8).

2.2.6. Вавилонская нумерация.

В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация, то есть такой способ записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую у нас играет число 10, играет число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятеричной.

Числа, меньшие 60, обозначались с помощью двух знаков: единицы и для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных дощечках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз. При отсутствии промежуточного разряда применялся знак (приложение 8).

Преимущества легко считать. Неудобства в том, что объёмное написание.

2.2.7. Древнегреческая или алфавитная нумерация.

В Греции была распространена аттическая нумерация. Числа 1, 2, 3, 4 обозначались черточками I, II, III, IIII. Число 5 записывалось знаком Г, древнее начертание буквы «пи», с которой начинается слово «пента» - пять); числа 6, 7, 8, 9 обозначались ГI, ГII, ГIII, ГIIII. Число 10 начальной буквой слова «дека» - десять). Числа 100, 1000 и 10000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000 (приложение 8).

Преимущества эта нумерация легка в счете. Неудобства эта нумерация тяжела в написании.

2.2.8. Славянская глаголическая нумерация.

Эта нумерация была создана для переписки чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет греческую нумерацию. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали Такая запись числа аддитивная, то есть в ней используется только сложение: 800+60+3 = 863 (приложение 8)

Преимущества в том, легко считать. Она до сих пор используется в православных церковных книгах. Неудобства в том,что тяжелые правила написания.

2.2.9. Славянская кириллистическая нумерация.

Славянская кириллическая нумерация была создана по подобию греческой записи чисел греческими же монахами братьями Кириллом и Мефодием. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии.

Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок: ("титло") Так можно было записывать числа до 999. Для больших чисел использовался знак тысяч , который ставился впереди символа, обозначавшего число.

Число 10000 опять обозначалось той же буквой, только без титла, но его уже обводили кружком. Для 10000 ставился кружок из точек (приложение 8).

2.2.10. Китайская нумерация.

Эта нумерация одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную арабскую, которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта нумерация около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого - то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду (приложение 8).

3. Результаты собственных исследований.

3.1. Социологический опрос учащихся.

3.2. Приемы устного счета (умножение).

Приемы устного счета (умножение).

Русский способ умножения, или способ изменения сомножителей.

Если один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не измениться.

Примеры:

43 ∙ 16 = 86∙ 8 = 172∙ 4 = 344∙ 2 = 688 ∙ 1 = 688

23 ∙ 27 = 69 ∙ 9 = 207 ∙ 3 = 621 ∙ 1 = 621

125 ∙ 24 = 500 ∙ 6 = 1500 ∙ 2 = 3000 ∙ 1 = 3000

Умножение по способу Гаусса.

Известный математик Гаусс заметил, что всякое умножение двух целых чисел можно привести к умножению одного из них на 5, 2 и 1 или на круглые числа, записанные только этими цифрами ( и нулем ), путем замены другого сомножителя суммой или разностью соответствующим образом подобранных чисел

Пример 1. 89 ∙ 27.

Представим число 27 в виде суммы трех чисел (20 + 5 + 2) получим

89∙ 27 =89 ∙ (20 + 5 + 2)= 1780 + 445 + 178 =2403

Пример 2. 53∙ 89 = 53∙ (100 - 10 - 1) = 5300 - 530 - 53 = 4770 - 53 = 4717

Пример 3. 47 ∙ 91 = 47 ∙ ( 100 - 10 + 1)= 4700- 470 + 47 = 4230 + 47 = 4277

Умножение на 5 и 50

Умножение на 5 и 50 производиться по способу изменения сомножителей.

Пример 1. 95 ∙ 5 Если первый сомножитель уменьшить в два раза, а второй увеличить в два раза , то произведение не изменится.

95 ∙ 5 = (∙)/ = 475

Пример 2.

87 ∙ 50 = ( ∙)/ = 4350

Умножение на 15 ; 101 ; 11

Чтобы умножить любое число на 15 , надо его умножить на 10 и к полученному произведению прибавить половину этого произведения.

Пример. 78 ∙ 15 = 78 ∙ 10 + ( ∙)/ = 780 + 390 = 1170

Чтобы умножить двузначное число на 101, надо мысленно приписать к данному числу (справа или слева) еще раз само это число.

Пример. 58 ∙ 101 = 5858 , так как 58 ∙ 101 = 58 ∙ 100 + 58 ∙ 1 = 5800 + 58 = 5858

Умножение на 11 , когда сумма двух радом стоящих цифр множимого меньше десятки.

Пример 1. 25 ∙ 11

При умножении первая цифра множимого будет первой цифрой произведения (2); вторая цифра множимого будет последней цифрой произведения (5); средняя цифра произведения равна сумме цифр множимого (2 + 5 = 7).

25 ∙ 11 = 275

Пример 2. 354 ∙ 11

Крайние цифры множимого будут крайними цифрами произведения. Первая средняя цифра произведения равняется сумме первой и второй цифр множимого (3 + 5 = 8); вторая средняя цифра произведения равна сумме второй и третьей цифр множимого (5 + 4 = 9)

354 ∙ 11 = 3894

Пример 3. 4327 ∙ 11

4 - первая цифра произведения.

4 + 3 = 7 -вторая цифра произведения.

3 + 2 = 5 - третья цифра произведения.

2 + 7 = 9 - четвертая цифра произведения.

7 - последняя цифра произведения.

Следовательно, 4327 ∙ 11 = 47597

Умножение на 11 , когда сумма двух радом стоящих цифр множимого равна 10 или больше.

Когда при умножении любого числа на 11 сумма двух рядом стоящих цифр множимого равна десяти или больше десяти, то первую цифру полученной суммы прибавляем к следующей, старшей цифре множимого; причем сложение цифр надо производить только с конца.

Пример 1. 68 ∙ 11

8 - последняя цифра произведения.

8 + 6 = 14 - 4 -вторая цифра произведения 1 в уме;

6 да 1 в уме , будет 7 - первая цифра произведения.

68 ∙ 11 = 748

Пример 2. 587 ∙ 11

7 - последняя цифра произведения

7 + 8 = 15 - 5 вторая цифра, считая с конца, один в уме.

8 + 5 да один в уме, будет 14 (4 третья цифра с конца, 1 в уме)

5 да 1 в уме, будет 6 -первая цифра произведения.

587 ∙ 11 = 6457

4. Вывод.

Проследив основные этапы зарождения чисел, их различных систем записей у разных народов, необходимо сделать такой вывод: не зря многие ученые умы интересовались понятием числа, раскрывали его тайны.

Да и в наш технократичный век, когда с числами сталкиваешься повсеместно (на денежных знаках, ценниках, компьютерах, панелях стиральных машин)

это понятие не утратило своей актуальности. Трудно себе представить, как современный человек смог бы прожить, если бы когда-то, много тысячелетий назад, не была бы приоткрыта тайна великих и загадочных чисел.

Заключение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, «экономическую ситуацию» в стране, погоду на «завтра», описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в IV веке д.н.э. - Пифагора- «Всё есть число!».

Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение старинных способов вычислений показало, что это арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.

Современные способы вычислений просты и доступны всем.

При знакомстве с научной литературой обнаружил более быстрые и надежные способы вычислений.

Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.

Результаты своей работы я оформил в памятку, которую предложу всем своим одноклассникам, также размещу её на школьном тематическом стенде «Это интересно!». Возможно, что с первого раза не у всех получится быстро, с ходу выполнять вычисления с применением этих приемов, даже если сначала не получится использовать прием, показанный в памятке, ничего страшного, просто нужна постоянная вычислительная тренировка. Она и поможет приобрести полезные навыки быстрого счета.

Проведя статистическую обработку данных, были получены следующие результаты:

1. Уметь считать нужно, потому, что это пригодится в жизни, считают 93% учащихся, чтобы хорошо учиться в школе - 72%, чтобы быстро решать - 61%, чтобы быть грамотным - 34% и не обязательно уметь считать - всего 3%.

2. Навыки хорошего счета необходимы при изучении математики, считают 100% учащихся, а также при изучении физики - 90%, химии - 80%, информатики - 44%, технологии - 36%.

3. Приемы быстрого счета знают 16% (много приемов), 25% (несколько приемов), не знают приемов быстрого счета - 59% учащихся.

4. Применяют приемы быстрого счета 21% учащихся, иногда применяют - 15%.

5. Хотели бы узнать приемы быстрого счета 93% учащихся.

Выводы:

• Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.

• В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат данной работы - памятка для быстрого счета будет очень полезной для учащихся 5-6 классов.

Список использованных источников.

1. И.И. Чевелев «Приемы устного счета и вычисления на счетных приборах»

Издательство «просвещение» Москва 1964.

2. Виленкин Н.Я, Жохов В.И, Чесноков А.С, Шварцбурд С.И.

Математика 5 класс.

Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу.

Перельман Я.И. Быстрый счёт.

30 простых приёмов устного счёта.

superidea.ru Развитие творческого мышления и интеллекта

all-fizika.com Техника быстрого счета. Быстрый счет в уме.

ru.wikipedia.org/wiki/История_математики

irnik.narod.ru/htm/histori.htm

freecode.pspo.perm.ru/436/work/ss/ist_ch.htm

sch297.ru/projects/ivt