Сборник заданий по теме Производная и первообразная

Сборник заданий

Задания 8. (В8)

Производная и первообразная

Разработала учитель математики

Валишина Рузиля Такиулловна

МАОУ СОШ №4 г. Тюмени

Тема №1 Физический смысл производной

1. Задание 8 № 119975. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

.

При t = 9 c имеем:

м/с.

Ответ: 60.

Ответ: 60

119975

60

2. Задание 8 № 119976. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

м/с.

Тогда находим:

м/с.

Ответ: 20.

Ответ: 20

119976

20

3. Задание 8 № 119977. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени с.

Решение.

Найдем закон изменения скорости: м/с. При имеем:

м/с.

Ответ: 59.

Ответ: 59

119977

59

4. Задание 8 № 119978. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

Чтобы найти, в какой момент времени скорость была равна 3 м/с, решим уравнение:

Ответ: 8.

Ответ: 8

119978

8

5. Задание 8 № 119979. Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

ОТВЕТ:

1

2

3

4

5

Тема №2 Геометрический смысл производной

1. Задание 8 № 27485. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения :

.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

27485

0,5

2. Задание 8 № 27486. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

Ответ: −1.

Ответ: -1

27486

-1

3. Задание 8 № 27503. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:

Ответ: 2.

Ответ: 2

27503

2

4. Задание 8 № 27504. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), C (−6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтому

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

27504

0,25

5. Задание 8 № 27505. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; −9), B (−2; −3), C (−5; −3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. Поэтому

.

Ответ: -2.

Ответ: -2

27505

-2

6. Задание 8 № 27506. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

.

Ответ: −0,25.

Ответ: -0,25

27506

-0,25

7. Задание 8 № 40129. На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f'(8).

Решение.

Поскольку касательная проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид y = kx. Эта прямая проходит через точку (8; 10), поэтому 10 = 8 · k, откуда k = 1,25. Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, получаем: f'(8) = 1,25.

Ответ: 1,25.

Ответ: 1,25

40129

1,25

8. Задание 8 № 40130. На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и Осталось найти, при каких производная принимает значение 2. Искомая точка .

Ответ: 5.

Ответ: 5

40130

5

9. Задание 8 № 40131. На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, она имеет вид , и её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс. Поэтому искомая точка .

Ответ: -3.

Ответ: -3

40131

-3

10. Задание 8 № 119972. Прямая является касательной к графику функции . Найдите .

Решение.

Прямая является касательной к графику функции в точке тогда и только тогда, когда одновременно и . В нашем случае имеем:

Искомое значение а равно 0,125

Ответ: 0,125.

Приведем другое решение.

По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график заданной функции - парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение имело единственно решение. Для этого дискриминант уравнения должен быть равен нулю, откуда .

Ответ: 0,125

119972

0,125

11. Задание 8 № 119973. Прямая является касательной к графику функции . Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому x=0,5, откуда b=−33.

Ответ: −33.

Ответ: -33

119973

-33

12. Задание 8 № 119974. Прямая является касательной к графику функции . Найдите .

Решение.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Ответ: 7.

Ответ: 7

119974

7

13. Задание 8 № 317539. На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции положительна?

Решение.

Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция возрастает. На них лежат точки Таких точек 4.

Ответ:4.

Ответ: 4

317539

4

14. Задание 8 № 317540. На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение.

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция убывает. В этих интервалах лежат точки Таких точек 7.

Ответ:7.

Ответ: 7

317540

7

15. Задание 8 № 317543. На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная положительна в точках −2 и 2. Угол наклона (и его тангенс) явно больше в точке −2.

Ответ:−2.

Ответ: -2

317543

-2

16. Задание 8 № 505379. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции f(x) в точке

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; 13), B (−2; 3), C (6; 3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

.

Ответ: −1,25.

Ответ: -1,25

ОТВЕТ:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Тема №3 Применение производной к исследованию функций

1. Задание 8 № 27487. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение.

Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27487

4

2. Задание 8 № 27488. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение.

Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (−3,8; 1,2) и (2,8; 4,4). В них содержатся целые точки −3, −2, −1, 0, 1, 3, 4. Их 7 штук.

Ответ: 7.

Ответ: 7

27488

7

3. Задание 8 № 27489. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Решение.

Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27489

4

4. Задание 8 № 27490. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x),.

Решение.

Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

Ответ: 44.

Ответ: 44

27490

44

5. Задание 8 № 27491. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Решение.

На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.

Ответ: −3.

Ответ: -3

27491

-3

6. Задание 8 № 27492. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наименьшее значение?

Решение.

На заданном отрезке производная функции положительна, поэтому функция на этом отрезке возрастает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке .

Ответ: −7.

Ответ: -7

27492

-7

7. Задание 8 № 27494. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

Решение.

Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−6; 9] функция имеет одну точку максимума x = 7.

Ответ: 1.

Ответ: 1

27494

1

8. Задание 8 № 27495. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек минимума функции на отрезке .

Решение.

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке функция имеет одну точку минимума .

Ответ: 1.

Ответ: 1

27495

1

9. Задание 8 № 27496. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

Решение.

Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной. Производная меняет знак в точках −6, −2, 2, 6, 9. Тем самым, на отрезке [−10; 10] функция имеет 5 точек экстремума.

Ответ: 5.

Ответ: 5

27496

5

10. Задание 8 № 27497. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение.

Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (−7; −5,5), (−2,5; 4). Данные интервалы содержат целые точки -6, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Их сумма равна -3.

Ответ: -3.

Ответ: -3

27497

-3

11. Задание 8 № 27498. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (−2,5; 6,5). Данный интервал содержит следующие целые точки: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 сумма которых равна 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

27498

18

12. Задание 8 № 27499. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение.

Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (−11; −10), (−7; −1), (2; 3). Наибольший из них - интервал (−7; −1), длина которого 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

27499

6

13. Задание 8 № 27500. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалам (−1; 5) длиной 6 и (7; 11) длиной 4. Длина наибольшего из них 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

27500

6

14. Задание 8 № 27501. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны -2. Найдем количество точек, в которых y'(x₀) = −2, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

27501

5

15. Задание 8 № 27502. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].

Решение.

Если производная в некоторой точке равна нулю, а в ее окрестности меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке [-2; 6] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, точка 4 является точкой экстремума.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27502

4

16. Задание 8 № 119971. На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Решение.

Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов: −3,7; 1,4; 2,6 и 4,2. Производная равна нулю в 4 точках.

Ответ: 4.

Ответ: 4

119971

4

17. Задание 8 № 317541. На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: , . В скольких из этих точек функция возрастает?

Решение.

Возрастанию дифференцируемой функции соответствуют положительные значения её производной. Производная положительна в точках Таких точек 3.

Ответ:3.

Ответ: 3

317541

3

18. Задание 8 № 317542. На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: ,. В скольких из этих точек функция убывает?

Решение.

Убыванию дифференцируемой функции соответствуют отрицательные значения её производной. Производная отрицательна в точках : точки лежат ниже оси абсцисс, их ординаты отрицательгы. Таких точек 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

317542

5

19. Задание 8 № 317544. На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.

Ответ:4.

Ответ: 4

317544

4

20. Задание 8 № 500910. На рисунке изображён график производной функции определенной на интервале (−8; 9). Найдите количество точек минимума функции принадлежащих отрезку [−4; 8].

Решение.

Точки минимума дифференцируемой функции соответствуют изменению знака её производной с минуса на плюс. На отрезке [−4; 8] лежат две такие точки: 2 и 7.

Ответ:2.

Ответ: 2

500910

2

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 24.01.2013 вариант 1.

21. Задание 8 № 501188. На рисунке изображён график функции у = f'(x) - производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).

Решение.

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с отрицательного на положительный. На интервале (1; 10) функция имеет одну точку минимума x = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

501188

9

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 09.04.2013 вариант МА1601.

22. Задание 8 № 504233. На рисунке изображён график производной y = f'(x) функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−3; 1] функция y = f(x) принимает наименьшее значение?

Решение.

На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на правой границе отрезка, т. е. в точке .

Ответ: 1.

Ответ: 1

504233

1

Раздел: Математический анализ Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 28.01.2014 вариант МА10401.

23. Задание 8 № 505119. Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x₀, в которой функция принимает наименьшее значение, если f (−5) ≥ f (5).

Решение.

Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].

Тем самым, функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].

Из этого следует, что f принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума х_min = 3. В силу возрастания f на отрезке [3; 5] справедливо неравенство f (5) > f (3). Поскольку по условию f (−5) не меньше, чем f (5), справедлива оценка f (−5) > f (3).

Тем самым, наименьшего значения функция f достигает в точке 3. График одной из функций, удовлетовряющих условию, приведён на рисунке.

Ответ:3.

Примечание Б. М. Беккера (Санкт-Петербург).

Непрерывность функции на концах отрезка существенна. Действительно, если бы функция f имела в точке 5 разрыв первого рода (см. рис.), значение f (5) могло оказаться меньше значения f (3), а тогда наименьшим значением функции на отрезке [−5; 5] являлось бы значение функции в точке 5.

Примечание портала РЕШУ ЕГЭ.

Мы были удивлены, обнаружив это задание в экзаменационной работе досрочного ЕГЭ по математике 28.04.2014 г. Это непростое задание отсутствует в Открытых банках заданий, что, несомненно, оказалось неприятным сюрпризом для выпускников.

Примечание Александра Ларина (Москва).

В этой задачке весь ужас «выстрелил вхолостую», 99,9999% решающих даже и не обратят внимание на потенциальную угрозу - ответ-то получается такой же. А про соотношение значений на границах и уж тем более про непрерывность никто читать и не собирается :-) А вот если условие слегка поменять, то «минус балл» всей стране обеспечен будет.

Ответ: 3

505119

3

Источник: ЕГЭ 28.04.2014 по математике. Досрочная волна. Вариант 2.

24. Задание 8 № 505400. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции f(x) в точке

Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; 4), B (−2; −5), C (4; −5). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

.

Ответ: −1,5.

Ответ: -1,5

505400

-1,5

Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.05.2014 вариант МА10702.

25. Задание 8 № 505442. На рисунке изображен график функции - производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 6). В какой точке отрезка [−2; 4] функция f(x) принимает наименьшее значение?

ОТВЕТ:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Тема №4 Первообразная

1. Задание 8 № 323077. На рисунке изображён график функции y = F(x) - одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2;4].

Решение.

По определению первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство

Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x) Это точки −2,6; −2,2; −1,2; −0,5; 0; 0,4; 0,8; 1,2; 2,2; 2,8; 3,4; 3,8. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек. Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение имеет 10 решений.

Ответ:10.

Ответ: 10

323077

10

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 2.

2. Задание 8 № 323078. На рисунке изображён график некоторой функции (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите , где - одна из первообразных функции .

Решение.

Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции Поэтому

Ответ:7.

Ответ: 7

323078

7

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.

3. Задание 8 № 323079. На рисунке изображён график функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках и

Имеем:

Приведем другое решение.

Получим явное выражение для Поскольку

имеем:

Примечание.

Внимательный читатель отметит, что второй подход эквивалентен выделению полного куба:

что позволяет сразу же найти

Еще один способ рассуждений покажем на примере следующей задачи.

Ответ:6.

Ответ: 6

323079

6

4. Задание 8 № 323080. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.

Найдем формулу, задающую функцию график которой изображён на рисунке.

Следовательно, график функции получен сдвигом графика функции на единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком оси абсцисс. Имеем:

Ответ: 4.

Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи.

Ответ: 4

323080

4

5. Задание 8 № 500890. На рисунке изображен график некоторой функции Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл

ОТВЕТ:

1

2

3

4

5

Литература:

reshuege.ru/

Решение.

Определенный интеграл от функции по отрезку дает значение площади подграфика функции на отрезке. Область под графиком разбивается на прямоугольный треугольник, площадь которого и прямоугольник, площадь которого Сумма этих площадей дает искомый интеграл

Ответ:12.

Ответ: 12