Методы решения показательных уравнений

Показательные уравнения

Математика (11 класс)

Учебник: Алгебра и начала анализа А. Н. Колмогоров

Страницы: с.229-230

Наглядно-демонстрационные материалы: проектор, экран, ноутбук; на столах у учащихся карточки с заданиями теста, с заданиями для работы в группах дидактические материалы

Цель ознакомить с новыми способами решения показательных уравнений и научить применять их при решении показательных уравнений

Задачи:

а) Обобщить знания и умения учащихся по применению знакомых методов решения показательных уравнений.

б) Создать условия для творческой самореализации личности.

в) Развивать умение наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации.

г) Воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели

д) Заинтересовать учеников в решении нестандартных показательных уравнений и систем уравнений для подготовки к ЕГЭ.

е) Развивать логико-математическую речь.

Использованные организационные формы при обучении:

Индивидуальная.

Дифференцированная.

Групповая.

Коллективная.

Фронтальная.

Вводная часть:

Учитель Ребята, на предыдущих уроках мы с вами говорили о показательных уравнениях и методах их решения. Сегодня мы продолжим нашу тему и углубим наши знания о способах решения показательных уравнений. А вначале урока поработаем устно.

Я начну, а вы заканчивайте предложение:

а) При умножении показательных функций с одинаковыми основаниями показатели степени…(складываем)

б) При делении показательных функций с одинаковыми основаниями

показатели степени…(вычитаем)

в) При возведении показательной функции в степень показатели степени… (перемножаем)

3^-2 равно…(1\9)

5^-2 равно…(1\25)

Найдите корни уравнений: (см слайд 3 «Планета устного счета»)

Ответы: х=3, х=3, х=1, х=-3, х=-3, уравнение не имеет решения

Учитель. Какую ошибку допустил ученик при решении показательных уравнений? (см слайд 4 «Планета ошибок»)

Ответы:

1. При решении показательных уравнений нужно привести к одному основанию, а затем приравнивать показатели степени

2. Показательная функция 6^х возрастающая. Область значений этой функции множество всех положительных чисел, т. е. показательная функция не может принимать отрицательные значения

Учитель. Издавна людей интересовали звезды и планеты Солнечной системы (см слайд 2). Узнайте, как назывались планеты Юпитер, Марс, Сатурн и Меркурий в древности (см слайд 5). Найдите корни уравнения и соотнесите их с планетами в таблице. (Задание выполняется под спокойную мелодию).

Итак, проверим. Как же назывались планеты?

Ответы:

х=2, Сатурн - Фенон,

х=1, Меркурий - Стилбон,

х=3, Марс - Пирой,

и где нет корней, соответствует планете Юпитер, которая раньше называлась Фаэтон.

Учитель. Скажите, пожалуйста, какое уравнение из предложенных, вам показалось сложным? (Дети назвали уравнение 5^х+2-5^х+1=15•5^х+125)

Учитель. Разберем решение этого уравнения вместе (Разбор решения)

Основная часть:

Сегодня мы с вами познакомимся с новыми приемами нахождения корней показательных уравнений. Рассмотрим примеры (слайд 6).

Пример 1. Решить уравнение:4^х+2-10• 3^х=2•3^х+3-11•22^х

Применим свойство показательной функции и преобразуем:

4•42 -10•3^х=2•3^х•33-11•4^х

4^х •16-10•3^х =54•3^х-11•4^х

4^х•(16+11)•4=54•3^х+10•3^х

4^х 27=3^х•64

Применим свойство пропорции и запишем уравнение в таком виде:

(4\3)^х=64\27

(4\3)^х=(4\3)3

х=3

Пример 2. 4 в степени |х+1| =16 приведем к основанию 4 и приравним показатели степени.

4 в степени |х+1| =4²

|х+1|=2

так как по определению, |х|=х, если х >0,

-х, если х < 0, то

х+1 =2 и х+1=-2. отсюда, х=1 и х=-3

Пример 3. 3^х+4^х=5^х

Привести к одному и тому же основанию? Как же решить такого вида уравнения? Ваши предложения? (Проблемная ситуация)

Ребята, в таких случаях применяется искусственный метод, который заключается вот в чем. Нужно разделить обе части уравнения на 5^х, получим (3\5)^х +(4\5)^х=(5\5)^х

(3\5)^х +(4\5)^х=1. Попробуем подобрать число, удовлетворяющее этому уравнению. Наверняка, х=2. Функция у=(3\5)^х и у=(4\5)^х убывающие функции, поэтому каждое свое значение функции принимают только 1 раз и ответ единственный х=2

Перейдем к закреплению изученного. Решим тесты из сборника (стр. 29, п.4 (3,4) и стр. 27, п.4 (3,4). (Работа по сборнику Старостенковой Н. Г. «Проверочные работы с элементами тестирования по алгебре»11 класс, -Саратов, «Лицей», 1999)

Учитель. Поработали мы славненько, и отдохнем немножко. Разгадайте кроссворд « И в шутку, и всерьез»(см слайд 7)

(Физминутка)

И впереди опять нас ждет упорный труд «Смотр знаний»: решите показательные уравнения(10 минут)(см слайд 8)

Завершающая часть:

Учитель. И так, какие методы решения показательных уравнений мы теперь знаем? Почему же необходимо знать эти методы, нельзя ли обойтись одним из них?

Ответы: Метод замены переменной, метод приведения к квадратному уравнению, искусственный метод, вынесение за скобки.

Мы решали сложные уравнения, знание решений которых будем применять на ЕГЭ. Урок позволил нам расширить свои знания в области решения показательных уравнений

Учитель. А сегодняшний наш урок я хочу закончить словами старца Алевросий (см слайд 10) (звучит мелодия): «Мы должны жить на земле так, как колесо вертится: только чуть одной точкой касаться земли, а остальным непрестанно вверх стремиться, а мы как заляжем на землю, и встать не можем», т. е. нельзя останавливаться на достигнутом, нужно поставить себе цель и дать себе установку: «Я сделаю, я решу, я все равно добьюсь своей цели!», и тогда обязательно удача вам улыбнется

Домашнее задание (дифференцированно)

Первого уровня:

№461

Второго уровня:

№164(с.299)

Третьего уровня:

№165(с. 299)