- Преподавателю
- Математика
- Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ по дисциплине ЕН. 01. Математика
Сборник методических указаний для студентов по выполнению практических работ по дисциплине ЕН. 01. Математика
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Колотова О.В. |
Дата | 04.12.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Министерство общего и профессионального образования
Свердловской области
ГАПОУ СО «ЕКАТЕРИНБУРГСКИЙ ЭКОНОМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
ДИСЦИПЛИНА ЕН.01. МАТЕМАТИКА
Математические и общие естественно-научные
Гуманитарный профиль
специальность
40.02.01 «ПРАВО СОЦИАЛЬНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ»
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ
Екатеринбург, 2015 г.
Методические рекомендации печатаются по решению Методического Совета ГАПОУ СО «ЕЭТК» № от ______г.
Составитель: Колотова О.В., преподаватель ГАПОУ СО «ЕЭТК»
Рецензенты:
Методические указания для выполнения практических работ являются частью программы подготовки специалистов среднего звена ГАПОУ СО «Екатеринбургский экономико-технологический колледж» по специальности СПО 40.02.01 «Право социального обеспечения» в соответствии с требованиями ФГОС СПО.
Методические указания по выполнению практических работ адресованы студентам очной (заочной) формы обучения.
Методические указания включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных во ФГОС СПО, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практической работы студентов и инструкцию по ее выполнению, методику анализа полученных результатов.
СОДЕРЖАНИЕ
Темы практических занятий
страницы
Раздел 1. Основы математического анализа
Тема 1.1. Теория пределов.
Практическая работа № 1. Вычисление пределов с помощью теорем.
5-6
Практическая работа № 2. Вычисление пределов, имеющих неопределенности.
7-10
Раздел 2. Дифференциальное исчисление
Тема 2.1. Дифференцирование сложных функций.
Практическая работа № 3. Производная сложной функции.
11-14
Практическая работа № 4. Экстремумы функции
15-17
Практическая работа № 5. Точки перегиба.
18-20
Тема 2.2. Исследование функций и построение графиков.
Практическая работа студентов №6: Построение графика непрерывной функции.
21-23
Раздел 3. Интегральное исчисление
Тема 3.1. Неопределенный интеграл.
Практическая работа № 7. Нахождение неопределенных интегралов методом непосредственного вычисления
24-27
Практическая работа № 8. Нахождение неопределенных интегралов методом замены.
28-30
Тема 3.2. Определенный интеграл.
Практическая работа студента №9: Вычисление определенного интеграла различными способами.
31-34
Практическая работа студента №10: Вычисление площадей криволинейных фигур с помощью определенного интеграла, путем сведения фигуры к криволинейной трапеции
35-36
Введение
УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!
Методические указания по дисциплине «Математика» для выполнения практических работ созданы Вам в помощь для работы на занятиях, подготовки к ним, правильного составления проектов документов.
Приступая к выполнению практической работы, Вы должны внимательно прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами, краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практической работы, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
Задания практической работы выполняются в тетради для практических работ и сдаются преподавателю.
Наличие положительной оценки по практическим работам необходимо для получения допуска к зачету, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическую работу Вы должны найти время для ее выполнения или пересдачи.
Внимание! Если в процессе подготовки к практическим работам или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.
Желаем Вам успехов!!!
Раздел 1. Основы математического анализа
Тема 1.1. Теория пределов
Название практической работы №1:
«Вычисление пределов с помощью теорем».
Учебная цель: закрепить навыки вычисления пределов функции, применения теорем о пределах функции; раскрытия различных видов неопределенностей.
Учебные задачи:
1. Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
2. Научиться применять теоремы о пределах.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
- применять теоремы о пределах
- вычислять пределы;
знать:
- понятие «предела функции»;
- теоремы о пределах и следствия из них;
Задачи практической работы:
-
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
-
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
-
Решить задачи.
-
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
-
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
-
Рабочая тетрадь в клетку
-
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Конечное число A называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное δ = δ(ε), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − x0| < δ, соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству |f(x) − A| < ε. Для обозначения такого предела используют символику:
При решении задач полезно помнить следующие основные свойства пределов функций:
-
Если функция имеет конечный предел, то он единственный.
-
Постоянный множитель можно выносить за знак предела
-
-
Предел суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) их пределов, если оба предела являются конечными
-
-
Предел произведения функций равен произведению их пределов, если оба предела являются конечными
-
-
Предел отношения функций равен отношению их пределов, если оба предела являются конечными и знаменатель не обращается в нуль
Пример :
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
-
Что называется пределом функции в точке?
-
Какие вы знаете основные свойства о пределах?
Задания для практического занятия:
Задание 1. Вычислить пределы:
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
-
Основные источники:
-
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
-
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. - СПб.: Лань, 2009. - 192 с.
Тема 1.1. Теория пределов
Название практической работы №2:
Вычисление пределов, имеющих неопределенности.
Учебная цель: закрепить навыки вычисления пределов функции, применения теорем о пределах функции; раскрытия различных видов неопределенностей.
Учебные задачи:
1. Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
2. научиться применять теоремы о пределах и правила раскрытия неопределенностей типа
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
- применять теоремы о пределах;
- применять правила раскрытия неопределенностей типа .
знать:
- понятие «предела функции»;
- теоремы о пределах и следствия из них;
- правила раскрытия неопределенностей типа .
Задачи практической работы:
-
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
-
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
-
Решить задачи.
-
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
-
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003
-
Рабочая тетрадь в клетку
-
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.
-
Функция f(x) определена в предельной точке x = a. Тогда
.
-
Функция f(x) в предельной точке x = a не определена или же вычисляется предел функции при x→∞. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода.
Необходимо помнить, что
, , , , , .
Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция f(x) в точке x = a или при x→∞ представляет собой неопределенность (типа , , , , ,,).
При вычислении пределов при основные теоремы о пределах сохраняют силу и, кроме того, используются правила:
а) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной;
б) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наименьшую степень переменной ;
в) чтобы раскрыть неопределенность типа , иногда достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности;
г) чтобы раскрыть неопределенность типа , зависящую от иррациональности, достаточно перевести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и сократить на множитель, приводящий к неопределенности;
д) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби одновременно умножить на сопряженное выражение и тем самым свести к неопределенности вида или .
Примеры вычисления пределов:
-
Найти предел функции
Решение:
Имеем неопределенность вида
Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель x + 2, который при x → -2 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
-
Найти предел функции
Решение:
Имеем неопределенность вида
Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение, стоящее в знаменателе, на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель x - 4, который при x → 4 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
:
-
Найти предел функции
Решение:
Имеем неопределенность вида
Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.
Первый замечательный предел:
С помощью первого замечательного предела можно вычислять пределы различных функций.
-
Найти .
Решение:
= .
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
-
Что называется пределом функции в точке?
-
Какие вы знаете основные свойства о пределах?
-
Каковы правила раскрытия неопределенностей вида .
-
Привести примеры первого замечательного предела функции.
Задания для практического занятия:
Вычислить пределы:
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
-
Основные источники:
-
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
-
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. - СПб.: Лань, 2009. - 192 с.
-
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. - 2-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2007. - 384 с.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление
Тема 2.1. Дифференцирование сложных функций.
Название практической работы № 3.
«Производная сложной функции».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Понятие производной. Производная высших порядков. Производная сложной функции», закрепить умения находить производную функции первого и второго порядка, используя таблицу основных формул дифференцирования элементарных функций и правила дифференцирования.
Учебные задачи:
-
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
-
Научиться применять правила дифференцирования, таблицу основных формул дифференцирования элементарных функций.
-
Научиться вычислять производные простых и сложных функций.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
- применять правило дифференцирования, таблицу основных формул дифференцирования элементарных функций.
знать:
- понятие дифференцирование, производная;
- определение производной функции;
- основные правила дифференцирования.
Задачи практической работы:
-
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
-
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
-
Решить задачи.
-
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
-
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
-
Рабочая тетрадь в клетку
-
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Определение: Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:
.
Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.
Механический смысл производной: скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .
Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции , вычисленной в точке касания, т.е.
Уравнение касательной к графику функции в точке :
Уравнение нормали к графику функциив точке :
Таблица производных основных элементарных функций.
1. (с)/ = 0, с - сonst 9.
2. (xα)/ = αx α - 1 10.
3. 11.
4. 12.
5. 13.
6. 14.
7. 15.
8. 16.
17.
Правила дифференцирования.
1. - вынесение константы за знак производной.
2.- производная суммы равна сумме производных.
3. - производная произведения.
4. - производная частного.
Определение. Пусть функция y = f(x) определена и дифференцируема на интервале (a, b). Если функция f ¢ (x) дифференцируема в точке х0 (a, b), то ее производную называют второй производной или производной второго порядка функции f(x) в точке х0 и обозначают f ′′ (x0), то есть
Определение. Пусть функция y = f(x) имеет на интервале (a, b) производные f ¢ (x), f ′′ (x), …, f (n − 1) (x). Если в точке х0 (a, b) существует производная функции f (n−1) (x0), то эту производную называют производной n-ого порядка, то есть
где производная нулевого порядка − это функция f(x).
Рассмотрим примеры.
Найти производные функций:
Пример 1:
Решение:
+
Пример2:
Решение:
Пример 3:
Решение:
Дифференцирование сложной функции
Пусть y= y(u) , где u= u(x) - дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем
, или
Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.
Рассмотрим примеры.
Пример 1: Найти производную функции
Решение: =
Производные высших порядков
Определение: Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее первой производной: .
Определение: Производная n-ого порядка (n-я производная) от функции y=f(x) есть производная от ее (n-1)-й производной: .
Рассмотрим примеры.
Пример 1: Найти производную второго порядка .
Решение:
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
-
Сформулируйте понятие производной функции.
-
Перечислите основные правила дифференцирования функции?
-
Чему равна производная константы?
-
Как продифференцировать алгебраическую сумму функций?
-
Как найти производную произведения (частного)?
Задания для практического занятия:
-
Найдите производную функции:
-
у=2
-
у= (
-
у=
-
у=
-
Найдите вторую производную функции:
а) б) в)
г) д) е)
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
-
Основные источники:
-
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
-
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. - СПб.: Лань, 2009. - 192 с.
-
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. - 2-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2007. - 384 с.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление
Тема 2.1.Дифференцирование сложных функций
Название практической работы № 4.
«Экстремумы функции».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Понятие производной. Производная высших порядков. Производная сложной функции. Экстремумы функции», закрепить умения применять производную к исследованию функций,
Учебные задачи:
-
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
-
Научиться применять первое и второе достаточное условие экстремума.
-
Научиться вычислять экстремумы функций с помощью первой и второй производной.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
- применять первое и второе достаточное условие экстремума.
знать:
- понятие производная, экстремумы функции;
- определение максимума, минимума функции;
- первое и второе достаточное условие экстремума.
Задачи практической работы:
-
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
-
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
-
Решить задачи.
-
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
-
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
-
Рабочая тетрадь в клетку
-
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех этой окрестности выполняется неравенство <(максимум) или >(минимум).
Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) - максимумом (минимумом), или экстремумом функции.
Первое достаточное условие экстремума
Пусть для функции выполнены следующие условия:
-
функция непрерывна в окрестности точки ;
-
или не существует;
-
производная при переходе через точку меняет свой знак.
Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.
Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.
Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:
-
найти производную ;
-
найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;
-
исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
-
найти значение функции в экстремальных точках.
Пример 1.
Задание. Исследовать функцию на экстремум.
Решение. Находим производную заданной функции:
Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение :
Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку . Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):
Так как при переходе через точку производная сменила свой знак с "-" на "+", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем .
Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале производная , то на этом интервале функция является убывающей; на интервале производная , значит заданная функция возрастает на нем.
Ответ.
Второе достаточное условие экстремума
Пусть для функции выполнены следующие условия:
-
она непрерывна в окрестности точки ;
-
первая производная в точке ;
-
в точке .
Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум.
Пример 2.
Задание. Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной.
Решение. Находим первую производную заданной функции:
Находим точки, в которых первая производная равна нулю:
Вторая производная заданной функции:
В стационарной точке вторая производная , а значит, в этой точке функция достигает минимум, причем .
Ответ.
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
-
Что такое критические точки функции?
-
Сформулировать достаточные условия возрастания и убывания функции.
-
Какими точками отделяются промежутки возрастания от промежутков убывания функции?
-
Сформулируйте правила нахождения точек экстремума функции.
Задания для практического занятия:
-
Найти точки экстремума с помощью первой производной:
-
Найти точки экстремума с помощью второй производной:
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
-
Основные источники:
1. Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
Тема 2.1.Дифференцирование сложных функций
Название практической работы № 5:
«Точки перегиба».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба», закрепить умения применять производную к исследованию функций,
Учебные задачи:
-
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
-
Научиться определять направление выпуклости графика функции с помощью второй производной.
-
Научиться вычислять точки перегиба.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
- применять правило нахождения точек перегиба.
знать:
- понятие производная, направление выпуклости графика функции;
- определение точек перегиба;
- правило нахождения точек перегиба.
Задачи практической работы:
-
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
-
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
-
Решить задачи.
-
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
-
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
-
Рабочая тетрадь в клетку
-
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Определение: Кривая называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.
Определение: Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.
y y
x x
Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх на этом промежутке.
Определение: Точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.
y
x
Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.
Правило нахождения точек перегиба графика функции
-
Найти вторую производную .
-
Найти критические точки II рода функции , т.е. точки, в которой обращается в нуль или терпит разрыв.
-
Исследовать знак второй производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции. Если при этом критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то является абсциссой точки перегиба графика функции.
-
Вычислить значения функции в точках перегиба.
Пример 1: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: .
Решение: Находим , .
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение .
.
2
+
0
-
точка
перегиба
16
Ответ: Функция выпукла вверх при ;
функция выпукла вниз при ;
точка перегиба .
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
-
Дайте определение выпуклости кривых.
-
Дайте определение точек перегиба.
-
Сформулируйте правило нахождения точек перегиба графика функции
Задания для практического занятия:
-
Найти точки перегиба.
Вариант 1 : Вариант 2 :
Вариант 3 : Вариант 4 :
Вариант 5: Вариант 6:
Вариант 7 : Вариант 8 :
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
-
Основные источники:
-
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
-
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. - СПб.: Лань, 2009. - 192 с.
-
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. - 2-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2007. - 384 с.
Тема 2.2. Исследование функций и построение графиков.
Название практической работы №6:
«Построение графика непрерывной функции».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Исследование функций и построение графиков», закрепить умения применять производную к исследованию функций,
Учебные задачи:
-
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
-
Научиться исследовать и строить графики функций с помощью производной.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
- исследовать и строить графики функций с помощью производной.
знать:
- схему построения графиков функций с помощью производной.
Задачи практической работы:
-
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
-
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
-
Решить задачи.
-
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
-
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
-
Рабочая тетрадь в клетку
-
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Общая схема для построения графиков функций
-
Найти область определения функции .
-
Найти точки пересечения графика функций с осями координат.
-
Исследовать функцию на четность или нечетность.
-
Исследовать функцию на периодичность.
-
Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.
-
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.
-
Найти асимптоты функции.
-
По результатам исследования построить график .
Пример: Исследовать функцию и построить ее график:
.
Решение:
-
Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения .
-
Найдем точки пересечения с осями координат:
с осью ОХ : решим уравнение
.
с осью ОY:
-
Выясним, не является ли функция четной или нечет
ной:
.
Отсюда следует, что функция является нечетной.
-
Функция непериодична.
-
Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: .
Критические точки: .
-1
1
+
0
-
0
+
т. max
2
т. min
-2
-
Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
Критические точки: .
0
-
0
+
точка
перегиба
0
-
Функция непрерывна, асимптот у нее нет.
-
По результатам исследования построим график функции:
y
2
-
x
-2
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:
-
Дайте определение выпуклости кривых.
-
Дайте определение точек перегиба.
-
Сформулируйте правило нахождения точек перегиба графика функции
Задания для практического занятия:
1. Исследовать функцию и построить ее график.
Вариант 1 : Вариант 2 :
Вариант 3 : Вариант 4 :
Вариант 5: Вариант 6:
Вариант 7 : Вариант 8 :
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
-
Основные источники:
-
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
-
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. - СПб.: Лань, 2009. - 192 с.
-
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. - 2-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2007. - 384 с.
Раздел 3. Интегральное исчисление
Тема 3.1. Неопределенный интеграл.
Название практической работы № 7:
«Нахождение неопределенных интегралов методом непосредственного вычисления».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Неопределенный интеграл», закрепить умения находить неопределенный интеграл методом непосредственного вычисления.
Учебные задачи:
-
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
-
Научиться находить неопределенный интеграл методом непосредственного вычисления.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
-
решать задачи на отыскание первообразной функции;
-
применять таблицу интегралов основных элементарных функций для отыскания неопределенного интеграла;
-
решать задачи на отыскание неопределенного интеграла с помощью преобразования подынтегральных выражений.
знать:
-
понятие первообразной функции;
-
понятие неопределенного интеграла;
основные правила и формулы интегрирования
Задачи практической работы:
-
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
-
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
-
Решить задачи.
-
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
-
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
-
Рабочая тетрадь в клетку
-
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если или .
Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Определение: Совокупность F(x)+С всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается: .
Основные свойства неопределенного интеграла:
1. 2. ;
3. 4. ;
5. ; 6. .
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование предполагает использование при нахождении неопределенных интегралов таблицы интегралов
Таблица интегралов
Пример 1: Найти неопределенный интеграл:
.
Решение: =
=
.
Пример 2: Найти неопределенный интеграл: .
Решение: =
.
Пример 3: Найти неопределенный интеграл
Решение: =
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
-
В чем заключается смысл действия, обратного дифференцированию?
-
Дать определение первообразной функции
-
Чем отличаются друг от друга любые две первообразные данной функции?
-
Как проверить, правильно ли найдена первообразная данной функции ?
-
Дать определение неопределенного интеграла.
-
Перечислить свойства неопределенного интеграла
Задания для практического занятия:
Задание № 1. Найти неопределенный интеграл, пользуясь таблицей основных интегралов.
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10) 11) 12)
13)
Задание № 2. Найти неопределенный интеграл, преобразуя выражения стоящие под знаком интеграла.
14) 15)
16) 17)
18) 19)
20)
Вариант 1:
а) б) в)
Вариант 2:
а) б) в)
Вариант 3:
а) б) в)
Вариант 4:
а) б) в)
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
-
Основные источники:
-
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
-
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. - СПб.: Лань, 2009. - 192 с.
-
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. - 2-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2007. - 384 с.
Раздел 3. Интегральное исчисление
Тема 3.1. Неопределенный интеграл.
Название практической работы № 8:
«Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменной».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Неопределенный интеграл», закрепить умения находить неопределенный интеграл методом замены переменной.
Учебные задачи:
-
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
-
Научиться находить неопределенный интеграл методом замены переменной.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
-
решать задачи на отыскание первообразной функции;
-
применять таблицу интегралов основных элементарных функций для отыскания неопределенного интеграла;
-
решать задачи на отыскание неопределенного интеграла методом замены переменной.
знать:
-
понятие первообразной функции;
-
понятие неопределенного интеграла;
-
основные правила и формулы интегрирования
Задачи практической работы:
-
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
-
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
-
Решить задачи.
-
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
-
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
-
Рабочая тетрадь в клетку
-
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Метод подстановки в неопределенном интеграле (метод замены переменной)
Этот метод заключается в том, что заменяют переменную х на,где -непрерывно дифференцируемая функция, полагают и получают
При этом получают искомую функцию, выраженную через переменную t. Для возвращения к переменной х необходимо заменить t значением , которое находится из соотношения .
Рассмотрим нахождение интегралов методом подстановки.
Пример 1: Найти неопределенный интеграл
Решение:=
Пример 2: Найти неопределенный интеграл
Решение:
=
Пример 3: Найти неопределенный интеграл
Решение:=
Пример 4: Найти неопределенный интеграл
Решение:=
==.
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
-
Что называется первообразной функции f(x)?
-
Что называется неопределенным интегралом функции f(x)?
-
Сформулируйте теорему о множестве первообразных функции f(x)?
-
Перечислите известные вам методы интегрирования.
-
Охарактеризуйте каждый из них.
Задания для практического занятия:
Задание № 1. Найти неопределенный интеграл, пользуясь методом замены переменной.
Вариант 1:
а) б)
Вариант 2:
а) б)
Вариант 3:
а) б)
Вариант 4:
а) б)
Задание № 2. Найти неопределенный интеграл.
-
6.
-
7.
-
8.
-
9.
-
10.
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
-
Основные источники:
-
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
-
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. - СПб.: Лань, 2009. - 192 с.
-
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. - 2-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2007. - 384 с.
Тема 3.2. Определенный интеграл.
Название практической работы студента №9:
«Вычисление определенного интеграла различными способами».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Определенный интеграл», закрепить умения вычислять определенный интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница различными методами.
Учебные задачи:
-
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
-
Научиться находить определенный интеграл различными методами.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
-
решать задачи на отыскание первообразной функции;
-
применять таблицу интегралов основных элементарных функций для отыскания определенного интеграла;
-
решать задачи на вычисление определенного интеграла.
знать:
-
понятие первообразной функции;
-
понятие определенного интеграла;
-
основные правила и формулы интегрирования.
Задачи практической работы:
-
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
-
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
-
Решить задачи.
-
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
-
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
-
Рабочая тетрадь в клетку
-
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
Определенный интеграл и его свойства
Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на n частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку k и обозначим через длину каждого такого отрезка.
Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида
Определение: Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:
Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл
Простейшие свойства определенного интеграла
-
Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
2) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла
3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
-
Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
-
Отрезок интегрирования можно разделить на части:
с-точка, лежащая между а и b.
6) Если на отрезке , то .
Для вычисления определенного интеграла от функции , в том случае , когда можно найти соответствующую первообразную , служит формула Ньютона-Лейбница:
=F(b)-F(a)
Рассмотрим нахождение простейших определенных интегралов.
Пример 1: Вычислить определенный интеграл .
Решение: =
Пример 2: Вычислить определенный интеграл: .
Решение:
.
Вычисление определенного интеграла методом замены переменной
При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки или в определенный интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами t1 и t2, которые находятся из исходной подстановки.
Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: .
Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений .
Таким образом, имеем
Пример 1: Вычислить определенный интеграл методом замены переменной
Решение: =
.
Пример 2: Вычислить определенный интеграл: .
Решение:
.
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
-
Дать определение определенного интеграла.
-
Перечислить свойства определенного интеграла.
-
Запишите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.
-
В чем отличия методов замены переменной в определенном и неопределенном интегралах?
Задания для практического занятия:
Задание № 1. Вычислить определенный интеграл.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15) 16)
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
-
Основные источники:
-
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
-
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. - СПб.: Лань, 2009. - 192 с.
-
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. - 2-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2007. - 384 с.
Тема 3.2. Определенный интеграл.
Название практической работы студента №10:
«Вычисление площадей криволинейных фигур с помощью определенного интеграла путем сведения фигуры к криволинейной трапеции».
Учебная цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Определенный интеграл», закрепить умения »; закрепить умения интегрировать функцию, используя таблицу основных интегралов, сформировать умения вычислять площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла.
Учебные задачи:
-
Повторить и закрепить ключевые понятия и определения темы
-
Научиться вычислять площадь криволинейных фигур с помощью определенного интеграла.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения:
Студент должен:
уметь:
-
решать задачи на отыскание первообразной функции;
-
применять таблицу интегралов основных элементарных функций для отыскания определенного интеграла;
-
решать задачи на вычисление определенного интеграла;
-
решать задачи на вычисление площади криволинейной трапеции.
знать:
-
понятие первообразной функции;
-
понятие определенного интеграла;
-
основные правила и формулы интегрирования;
-
понятие криволинейной трапеции;
-
правила вычисления площади криволинейной трапеции.
Задачи практической работы:
-
Повторить теоретический материал по теме практической работы.
-
Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.
-
Решить задачи.
-
Оформить решение в тетради.
Обеспеченность занятия (средства обучения):
-
Учебно-методическая литература:
- Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, 2003.
-
Рабочая тетрадь в клетку
-
Ручка, карандаш
Краткие теоретические и учебно-методические материалы
План вычисления площади криволинейной трапеции:
-
Схематический чертеж.
-
Представление искомой площади как суммы или разности площадей.
-
Записать каждую функцию в виде y = f(x).
-
Вычислить площадь каждой криволинейной трапеции или площади искомой фигуры.
Площади фигур.
у у
S х
х S
Если рассмотренная фигура не является криволинейной трапецией, тогда площадь нужно представить как сумму или разность криволинейных трапеций.
m
n
S1 S2
a b
S = S1 + S2 S = S amb - S anb
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию
-
Что называется первообразной функции f(x)?
-
Что называется определенным интегралом функции f(x)?
-
Формула Ньютона-Лейбница.
-
Свойства определенного интеграла.
-
Сформулируйте понятие криволинейной трапеции.
-
Сформулируйте правила нахождения площади криволинейной трапеции.
Задания для практического занятия:
Задание № 1. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями.
1) x - y + 2 = 0, y = 0, x = -1, x = 2 2) x - y + 3 = 0, x + y - 1 = 0, y = 0
3) y = x2, y = 0, x = 0, x = 3 4)
6) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π/2
Форма контроля выполнения практических работ:
Выполненная работа представляется преподавателю в тетради для выполнения практических работ по дисциплине «Математика».
Список рекомендуемой литературы
-
Основные источники:
-
Практические занятия по математике, Богомолов Н.В., 2003.
-
Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: учеб. пособие / А. Ю. Вдовин [и др.]. - СПб.: Лань, 2009. - 192 с.
-
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. - 2-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2007. - 384 с.
Колотова Ольга Викторовна
Преподаватель математики
ГАПОУ СО «Екатеринбургский экономико-технологический колледж»
СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ
ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
40.02.01 право и организация социального обеспечения
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ
41