Математические этюды. 4. Прямоугольник и его части

Прямоугольник и его части

Прямоугольник двумя прямыми разделён на четыре прямоугольника, как показано на рисунке. Известны площади трёх из них - 18, 15 и 25, считая с верхнего слева и далее по часовой стрелке. Найти площадь четвёртой части прямоугольника.

Решаем задачу подбором.

Прямоугольники имеют попарно общие стороны, отсюда следует, что возможно такое решение: замечаем, что 18=3·6, 15=3·5 и 25=5·5; пусть стороны первой части равны 6 и 3, второй части - 3 и 5, третьей - 5 и 5. Получается, что стороны четвертой части равны 5 и 6, а потому её площадь равна 30.

Но единственное ли это решение?

Решим задачу, так сказать, в общем виде. Обозначим стороны частей-прямоугольников буквами a, b, c и d. Тогда их площади равны ab, bc, cd и ad. Перемножим площади «крест-накрест», получаем ab·cd и ad·bc.

Отсюда следует, что произведение площадей верхнего левого и нижнего правого равно произведению площадей верхнего правого и нижнего левого прямоугольников.

Значит, площадь четвёртой части равна

Итак, задача имеет единственное решение - 30.

