Пособие для учащихся «Справочные материалы по математике», 8 класс

§ 36. Умножение вектора на число

Произведением вектора на число называется вектор:

а) длина которого равна произведению модулей вектора и числа;

б) сонаправленный с данным вектором, если число положительное;

в) противоположно направленный, если данное число отрицательное.

Произведение нулевого вектора на число, а также нуля на вектор считается равным нулевому вектору.

Свойства умножения вектора на число.

Теорема 1. Имеет место равенство: λ(μ)=( λμ).

Теорема 2. При любых λ ,, имеет место равенство:

λ ( + ) = λ + λ.

Теорема 3. При любых λ , μ, имеет место равенство:

(λ + μ) = λ + μ.

Цель пособия: привести ваши знания в систему, устранить

пробелы в теоретических сведениях курса математики 8 класса.

Не забывай: математику нужно изучать последовательно и

с большим вниманием. Не выучив материала даже одного урока, ты

уже можешь не понять последующей темы.

Запомни простую истину: математику надо изучать

«с карандашом в руке», при необходимости делай для себя пометки

в отдельной тетради.

Буду доволен, если тебе данное пособие поможет привести

знания по математике за курс 8 класса в систему, ликвидировать

отставание, устранить пробелы в знаниях.

Если ты станешь глубже понимать математику, успешнее

учиться - значит, мой труд не пропал даром.

Твой учитель математики.

Ребята!

Отзывы и пожелания по материалам справочного пособия по курсу математики

8 класса вы можете высказать учителю математики.

Желаю Вам успехов в учёбе!!!

22

Соловьёв В.А.

Справочник

8 класс

Математика. Готовься к экзаменам

Справочные материалы

по курсу математики 8 класса

2010 г.

Данное пособие поможет вам, ребята, повторить

Содержание

Раздел I. АЛГЕБРА

§ 1. Иррациональные числа. Действительные числа ……………………………….1

§ 2. Арифметический квадратный корень ……………………………..…………….1

§ 3. Уравнение ……………………………………………………………….. 2

§ 4. Функция , её свойства и график.………………………………………..2

§ 5. Свойства арифметического квадратного корня.………………………………..3

§ 6. Квадратный корень из степени ……..………..…………………………………3

§ 7. Вынесение множителя за знак квадратного корня …………………………… 4

§ 8. Внесение множителя под знак квадратного корня ………………..………………4

§ 9. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни………………..4

§ 10. Квадратное уравнение и его корни ……………………....……………………5

§ 11. Решение квадратных уравнений по формуле.…………... ……………………6

§ 12. Теорема Виета ………………………………..…………………………………6

§ 13. Решение задач с помощью рациональных уравнений……..…………………7

§ 14. Функция. Область определения и область значений ………………………..7

§ 15. Свойства функций ……...………..……………………………………………..8

§ 16. Рациональные уравнения ………………………………………………………9

§ 17. Уравнения, приводимые к квадратным……………………………………….11

§ 18. Разложение квадратного трёхчлена на множители…………………………..12

§ 19. График функции ….……………………………………………..13

§ 20. Решение неравенств второй степени с одной переменной…………………..14

§ 21. Метод интервалов …………………………………………….………….…….15

Раздел II. ГЕОМЕТРИЯ

§ 22. Четырёхугольник …………………………………………….………...15

§ 23. Параллелограмм ……...…………..…………………………………………….16

§ 24. Прямоугольник. Ромб. Квадрат ……….………………………………………16

§ 25. Средняя линия треугольника. Трапеция …………..…………….……………16

§ 26. Замечательные точки треугольника …………………...……………………...17

§ 27. Площади фигур: прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции 18

§ 28. Функции острых углов прямоугольного треугольника………………………19

§ 29. Теорема Пифагора ……………………………………...………………………19

§ 30. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике ……..................19

§ 31. Основное тригонометрическое тождество. Таблица значений ……………..20

§ 32. Теорема синусов. Свойство биссектрисы угла….……………………………20

§ 33. Теорема косинусов ………………..……………………………………………20

§ 34. Векторы …………………………………………………………………………20

§ 35. Сложение и вычитание векторов ……………………………………………..21

§ 36. Умножение вектора на число …..……………………………………………..22

Длину вектора обозначают через ||, а длину векторачерез ||.

Длину вектора называют также его модулем.

Таким образом, каждый вектор имеет длину и направление.

Нулевым вектором называется вектор с совпадающими концами. Нулевой вектор обозначается как,, его обозначают и как . Длина нулевого вектора равна нулю.

Два вектора, не лежащие на одной прямой, называются одинаково направленными, или сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.

Если вектор сонаправлен вектору , то пишут: ↑↑.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют равную длину.

Два вектора, не лежащие на одной прямой, называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны.

Если вектор противоположно направлен вектору , то пишут: ↑↓.

§ 35. Сложение и вычитание векторов

Сложение векторов

1) Правило треугольника.

Чтобы найти сумму двух векторов, надо к концу первого вектора подвести начало второго вектора, тогда вектор, направленный из начала первого вектора к концу второго, называется суммой этих двух векторов. (Рис. 27)

Рис. 27

Рис. 28

2) Правило параллелограмма.

Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

(Рис. 28)

Вычитание векторов

Чтобы вычесть два вектора, надо к первому вектору прибавить вектор, противоположный второму вектору: .

Формула вычитания векторов: .

Законы векторной алгебры:

1) Переместительный закон сложения векторов: .

2) Сочетательный закон сложения векторов: .

3) ; 4) . 21

или .

§ 31. Основное тригонометрическое тождество. Таблица значений

sinα + cosα = 1; ;

; ; .

Запомни таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов:

§ 32. Теорема синусов. Свойство биссектрисы угла

Рис. 24

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

,

где R - радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

На рисунке 25: ВD -биссектриса угла АВС.

Значит: .

С

Рис. 25

§ 33. Теорема косинусов

Теорема косинусов: Во всяком треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

а= в + с- 2вс·cosA; в= а + с- 2ас·сosВ; с= а + в- 2ав·cosС.

§ 34. Векторы

Рис. 26

Вектором, или направленным отрезком, называется отрезок вместе с его направлением. На рис. 26 векторобозначен буквой . Поэтому можно записать: .

Точка А называется началом вектора, а точка В - концом вектора.

Длиной, или абсолютной величиной (модулем), вектора называется длина

20 определяющего его отрезка.

Раздел I. АЛГЕБРА

§ 1. Иррациональные числа. Действительные числа

В курсе математики мы встречались с различными числами. Числа 1, 2, 3, ..., которые употребляются при счёте, образуют множество натуральных чисел. Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль составляют множество целых чисел. Кроме целых, нам известны дробные числа (положительные и отрицательные). Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.

Множество натуральных чисел обычно обозначают буквой N, множество целых чисел - буквой Z, множество рациональных чисел - буквой Q. Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рассматриваемому множеству, используют знак . Например, утверждение, что число 2 является натуральным (или что число 2 принадлежит множеству натуральных чисел), можно записать так: 2N. Число - 2 не является натуральным; это можно записать с помощью знака: - 2N.

Всякое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби , где т - целое число, а п - натуральное. Одно и то же рациональное число можно представить в таком виде разными способами.

Например: ; ; .

Всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь называется иррациональным числом.

Рис.1

Число π, выражающее отношение длины любой окружности к своему диаметру, также является иррациональным числом.

Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Ось Ох называется осью действительных чисел или числовой прямой.

Множество действительных чисел принято обозначать буквой R.

Соотношение между натуральными, целыми, рациональными и действительными числами можно представить в виде кругов Эйлера (рис. 1).

§ 2. Арифметический квадратный корень

Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.

Число 8 - неотрицательный корень уравнения х = 64, называют арифметическим квадратным корнем из 64. Иначе говоря, арифметический квадратный корень из 64 - это неотрицательное число, квадрат которого равен 64. 1

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначают так: . Знак называют знаком арифметического квадратного корня. Выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запись читают: Квадратный корень из а (слово «арифметический» при чтении опускают).

Приведём примеры нахождения (или, как говорят иначе, извлечения) арифметических квадратных корней:

= 2, так как 2 - число неотрицательное и ;

= 1, так как 1,1 - число неотрицательное и ;

= 0, так как 0 - число неотрицательное и .

§ 3. Уравнение .

Рассмотрим уравнение , где а - произвольное число. В зависимости от числа а при решении этого уравнения возможны три случая:

1) Если а < 0, то уравнение корней не имеет.

Действительно, не существует числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу.

2) Если а = 0, то уравнение имеет единственный корень, равный нулю.

3) Если а > 0, то уравнение имеет два корня: и .

§ 4. Функция , её свойства и график.

Рис. 2

1) областью определения функции является промежуток [0; + ∞);

2) график функции проходит через начало координат, так как при х = 0, у = 0;

3) график функции расположен

в 1 четверти координатной плоскости, так как,

по определению арифметического корня, значения переменных х и у не могут быть отрицательными числами;

4) функция возрастает, так как меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, а большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

5) При х > 0 график функции как и график функции расположен

в 1 четверти координатной плоскости. Причём они симметричны относительно

прямой у = х. Если какая-нибудь точка М(а; в) принадлежит графику функции ,

2

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению основания

на соответствующую высоту: (Рис. 21)

5. Площадь трапеции

Перпендикуляр, опущенный из любой точки основания трапеции на прямую, содержащую другое основание, называется высотой трапеции.

Рис. 22

Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: .

(рис. 22).

Следствие: Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

§ 28. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Рис. 23

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

, ; , из этих формул видно, что

= и =

, ; , из этих формул видно, что

= и =.

§ 29. Теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.

.

§ 30. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

или

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой

и его проекцией на гипотенузу. 19

Теорема. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

4. Точка пересечения медиан треугольника

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка отсекает от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

Таким образом, с каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров, проведённых к сторонам, точка пересечения высот и точка пересечения медиан - эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.

§ 27. Площади фигур

1. Площадь прямоугольника

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

.

2. Площадь прямоугольного треугольника

Теорема. Площадь прямоугольного треугольника равна половине

произведения его катетов.

3. Площадь произвольного треугольника

Будем называть основанием треугольника любую его сторону. Перпендикуляр, опущенный из противолежащей основанию вершины на прямую, содержащую это основание, называется высотой треугольника, соответствующей основанию.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения основания

на соответствующую высоту: S= a · h.

Есть и другие формулы для нахождения площади треугольника:

1) Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: S= = aв sin C = aс sin В =вс sin А.

2) Формула Герона: S= , где р=

Рис. 20

Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы: . (Рисунок 20)

4. Площадь параллелограмма

Будем одну из сторон параллелограмма называть его основанием, а перпендикуляр, опущенный из какой-либо точки противоположной стороны на прямую, содержащую основание, - высотой параллелограмма, соответствующей основанию.

18

Рис. 21

то симметричная ей точка М(в; а) относительно прямой у = х принадлежит графику функции (рис. 2).

§ 5. Свойства арифметического квадратного корня

При преобразовании выражений, содержащих арифметические квадратные корни, используются их свойства. Эти свойства сформулированы ниже в виде теорем:

Теорема 1. Если а > 0 и в > 0, то . (При извлечении арифметического квадратного корня из произведения можно извлечь арифметический квадратный корень из каждого множителя и полученные результаты перемножить).

Теорема 2. Если а > 0 и в > 0, то . (При извлечении арифметического квадратного корня из дроби можно арифметический квадратный корень из числителя разделить на арифметический квадратный корень из знаменателя).

Примеры: 1);

2).

3) ; 4) .

§ 6. Квадратный корень из степени

Теорема 3. Для любого числа х справедливо равенство: .

Пример 1. Найдем значение выражения при .

Решение. Так как , то . Теперь, подставляя вместо х его значение, т.е. , имеем: . Ответ: 3.

Если х ≥ 0 и п - натуральное число, то

(1)

Пример 2. Упростим выражение: 1) (а ≥ 0); 2) (в ≥ 0).

Решение: Применяя равенство (1), имеем: 1) = а; 2) = в.

Ответ: 1) а; 2) в.

Пример 3. Преобразуем выражение , где х < 0.

Решение: , так как х < 0. 3

§ 7. Вынесение множителя за знак квадратного корня

Сравним значения выражений и . Эту задачу можно решить, преобразовав : . Так как < , то < .

При решении задачи мы заменили произведением чисел 5 и . Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня.

Пример 1. Вынесем множитель из-под знака корня в выражении .

Выражение имеет смысл лишь при а ≥ 0 (если а < 0, то < 0. Представим подкоренное выражение в виде произведении , в котором множитель является степенью с чётным показателем. Тогда

§ 8. Внесение множителя под знак квадратного корня

Значения выражений и можно сравнить иначе, представив произведение в виде арифметического квадратного корня. Для этого заменим число 6 на , получим: =∙=. Так как 50 < 72, то <. Значит < .

При решении задачи вторым способом мы заменили на. Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня.

Пример 1. Внесём множитель под знак корня в выражении .

Отрицательный множитель -4 нельзя представить в виде арифметического квадратного корня и поэтому множитель -4 нельзя внести под знак корня. Однако выражение можно преобразовать, внеся под знак корня положительный множитель 4: .

Пример 2. Внесём множитель под знак корня в выражении .

Множитель а может быть любым числом (положительным, нулём или отрицательным). Поэтому рассмотрим два случая:

1) если а ≥ 0, то ;

2) если а < 0, то .

§ 9. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Пример 1. Упростить выражение: .

Решение: .

Пример 2. Преобразовать произведение: .

Решение: .

4

Рис. 17

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема. Средняя линия треугольника

параллельна третьей стороне и равна её половине.

На рис. 17 ЕD и DF - средние линии треугольника, причём ЕD||АС, ЕD = АС и DF ||АВ , DF=АВ.

Трапецией называется выпуклый четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а другие две стороны - боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Рис. 18

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной. Трапеция, у которой один из углов прямой, называется прямоугольной.

На рис. 18 изображена трапеция АВСD, у которой отрезки ВС и АD её основания, АВ и СD - боковые стороны, ЕF - средняя линия.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Значит, ЕF||ВС и ЕF||АD, ЕF = (АD + ВС).

§ 26. Замечательные точки треугольника

1. Точка пересечения биссектрис треугольника

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена

от его сторон.

Теорема (обратная). Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая

от сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла.

Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров

Рис. 19

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, принадлежит серединному перпендикуляру.

На рис. 19 ОХ - серединный перпендикуляр АХ = ХВ.

Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются

в одной точке.

3. Точка пересечения высот треугольника 17

невыпуклый четырёхугольник, так как он расположен по обе стороны от прямой, например ВС. Мы будем рассматривать только выпуклые четырёхугольники.

§ 23. Параллелограмм

А D

Рис. 13

Параллелограммом называется четырёхугольник,

у которого противоположные стороны параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма:

Четырёхугольник является параллелограммом, если:

1) противоположные стороны равны;

2) его диагонали точкой пересечения делятся пополам;

3) две его противоположные стороны равны и параллельны.

§ 24. Прямоугольник. Ромб. Квадрат

Четырёхугольник, у которого все углы прямые, называется прямоугольником. (Рис. 14)

Теорема. Прямоугольник является параллелограммом.

Диагонали прямоугольника равны.

Рис. 14

Рис. 15

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны

равны. (Рис.15)

Теорема. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны

и являются биссектрисами его углов.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Из этого определения следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба, а именно:

1) все углы прямые;

2) диагонали равны, перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами его углов.

§ 25. Средняя линия треугольника. Трапеция

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки,

то они отсекают равные отрезки и на другой стороне угла.

16

Рис. 16

Пример 3. Сократить дробь: .

Решение: .

Пример 4. Избавиться от иррациональности в знаменателе: .

Решение: .

Пример 5. Избавиться от иррациональности в знаменателе: .

Решение: .

§ 10. Квадратное уравнение и его корни

Квадратным уравнением называется уравнение вида,

где х - переменная, а, в и с - некоторые числа, причём а ≠ 0.

Числа а, в и с - коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым (старшим) коэффициентом, в - вторым коэффициентом и с - свободным членом.

Квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) , где с = 0; 2) , где в = 0; 3), где в = с = 0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов:

Пример 1. Решим уравнение: , , отсюда:

= 0 ах + в =0

ах = - в .

Пример 2. Решим уравнение: . Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на а ≠ 0: .

Если > 0, то уравнение имеет два корня: .

5

Если < 0, то уравнение не имеет корней.

Пример 3. Решим уравнение: . , х = 0. Уравнение имеет 1 корень.

§ 11. Решение квадратных уравнений по формуле

Решим уравнение в общем виде. Найдём - дискриминант. При этом возможны случаи:

1) D > 0, тогда уравнение имеет два корня: , эту формулу называют формулой корней квадратного уравнения.

2) D = 0, тогда уравнение имеет один корень: .

3) D < 0, тогда уравнение не имеет корней.

§ 12. Теорема Виета

Квадратные уравнения, в которых первый коэффициент равен 1, называют приведёнными квадратными уравнениями.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Если , то

Эти формулы выражают теорему Виета.

Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.

Пусть квадратное уравнение имеет корни и . Равносильное ему приведённое квадратное уравнение имеет вид: .

По теореме Виета имеем:

Пример. Найдём сумму и произведение корней уравнения: .

Дискриминант > 0, уравнение имеет два корня. Преобразуем данное уравнение в приведённое, получим: .

По теореме Виета имеем:

6

Ответ: .

Пример 2. Решим неравенство: .

Рис. 9

Решим уравнения: , х + 3 = 0,

х - 4 =0.

==0; -3, . Из рис. 9 видно, что , если х ≤ - 3 и х ≥ 4.

Ответ: .

Раздел II. ГЕОМЕТРИЯ

§ 22. Четырёхугольник

Рис. 10 Рис. 11

Отрезки, составляющие четырёхугольник, называются его сторонами, а концы отрезков - вершинами. Четырёхугольник обозначают по его последовательным вершинам. Если А, В, С, D - последовательные вершины четырёхугольника, то четырёхугольник обозначают АВСВ (рис. 10).

Несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными сторонами, а две вершины, принадлежащие одной стороне, - соседними. Так, на рис. 10 стороны АВ и СD, АD и ВС - противоположные, а вершины А и В, В и С, С и D, D и А - соседние.

Вершины четырёхугольника, не являющиеся соседними, называются противоположными вершинами. Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются диагоналями. Угол, вершина которого совпадает с вершиной четырёхугольника, а стороны содержат соответствующие стороны четырёхугольника, называются углом четырёхугольника. На рис. 10 А и С, В и D - противоположные вершины, АС и ВD - диагонали, DАВ, АВС, ВСD и СDА - углы четырёхугольника.

Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром.

D

Рис. 12

Четырёхугольник делит плоскость на две части, которые называются внутренней и внешней областями. Внутренняя область отличается от внешней тем, что она не может содержать прямую, а внешняя область содержит. На рис. 12 внутренняя область четырёхугольника АВСD заштрихована. Четырёхугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. На рис. 10 четырёхугольник АВСD выпуклый, а на рис. 11 изображён 15

§ 20. Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида , , , называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Пример 1. Решим неравенство: .

Рис. 6

Решим уравнение:. Здесь = -

и = 3. График представлен на рис. 6.

Ответ: .

Пример 2. Решим неравенство: .

Дискриминант уравнения равен -3. Значит, корней нет. Графиком квадратного трёхчлена является парабола, ветви которой направлены вниз, так как

а = - 1. Значит квадратный трёхчлен принимает только отрицательные значения

при всех х. Ответ: не имеет решений.

Пример 3. Решим неравенство: .

Решение. Упростим неравенство, получим: .

Рис. 7

Находим корни трёхчлена: , значит = и = . Трёхчлен

с положительным первым коэффициентом

и различными действительными корнями неположителен при всяком х, заключённом между корнями (рис. 7).

Ответ: ≤ х ≤ .

§ 21. Метод интервалов

При решении квадратных неравенств и многих других основным способом решения является метод интервалов.

Рассмотрим его на конкретных примерах.

Пример 1. Решим неравенство: .

Рис. 8

Решим уравнение: .

= - и = . Из рис. 8 видно,

что , если х < - и х > .

14

§ 13. Решение задач с помощью рациональных уравнений

Задача. Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

Решение:

Пусть х км/ч - скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению (х +3) км/ч, а против течения (х - 3) км/ч.

По течению реки 25 км лодка прошла за ч, а против течения 3 км - за ч. Значит, время, затраченное на весь путь, равно + ч.

По условию задачи на весь путь лодка затратила 2 ч.

Следовательно, + =2.

Решив это уравнение, найдём, что его корни: = 2 и = 12.

По смыслу задачи скорость лодки в стоячей воде должна быть больше скорости течения. Этому условию удовлетворяет только второй корень - число 12.

Ответ: 12 км/ч.

§ 14. Функция. Область определения и область значений

Функция - одно из важнейших математических понятий. Напомним, что функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: у = f(х). (Читают: у равно эф от х.) Символом f(х) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.

Пусть, например, функция задаётся формулой у = 2х + 5. Тогда можно записать, что f(х) = 2х + 5. Найдём значения функции для значений х, равных, например, 1; 2,5; -3, т. е. найдём f(1) = 2∙1 + 5 = 2 + 5 = 7; f(2,5) = 2∙2,5 + 5 = 5 + 5= 10;

f(-3) = 2∙(-3) + 5 = - 6 + 5= -1.

Заметим, что в записи вида у = f(х) вместо f употребляют и другие буквы: g, φ, h и т. п.

Область определения функции - множество всех значений аргумента (независимой переменной), при которых функция имеет смысл.

Область значений функции - множество всех значений, которые принимает функция (зависимая переменная).

Если функция задана формулой и её область определения не указана, то 7

считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл. Например, областью определения функции является множество всех чисел; областью определения функции служит множество всех чисел, кроме 5.

При нахождении области определения функции следует обращать внимание на два факта:

1) делить на нуль нельзя, поэтому выражение, стоящее в знаменателе дроби, или делитель всегда отличен от нуля.

Например: Найти область определения функции. Делить на нуль нельзя, поэтому , , . Значит область определения данной функции .

2) корень чётной степени из отрицательного числа не извлекается, поэтому выражение, стоящее под знаком корня чётной степени, всегда неотрицательно (≥ 0).

Например: Найти область определения функции. Согласно правилу: . Найдём корни квадратного уравнения. По теореме Виета:

= 2 и = 3. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит область определения данной функции .

§ 15. Свойства функций

Рис. 3

Рассмотрим свойства функции у =, график которой изображён на рисунке 3. Выясним сначала, при каких значениях х функция обращается в нуль, принимает положительные и отрицательные значения. Найдём абсциссы точек пересечения графика с осью Ох. Получим х = -3 и х = 7.

Значит, функция принимает значение, равное нулю, при х = -3 и х = 7.

Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называют нулями функции, т. е. числа -3 и 7 - нули рассматриваемой функции. Нули функции разбивают её область определения промежуток [-5; 9] на три промежутка: [-5; -3), (-3; 7) и (7; 9]. Для значений х из промежутка (-3; 7) точки графика расположены выше оси Ох, а для значений х из промежутков [-5; -3) и (7; 9] - ниже оси Ох. Значит, в промежутке

(-3; 7) функция принимает положительные значения, а в каждом из промежутков

[-5; -3) и (7; 9] - отрицательные.

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции;

8

Так как дискриминант отрицателен, то квадратный трёхчлен не имеет корней. Следовательно, квадратный трёхчлен нельзя разложить на множители.

§ 19. График функции

Расположение графика параболы в зависимости от первого коэффициента а и дискриминанта D показано в следующей таблице:

a

D

а > 0

а < 0

D > 0

D = 0

D < 0

13

§ 18. Разложение квадратного трёхчлена на множители

Из курса алгебры 7 класса вы знакомы с понятием многочлен. Рассмотрим теперь один из видов многочлена - квадратный трёхчлен.

Квадратным трёхчленом называется многочлен вида , где х - переменная, а, в, с - коэффициенты, причём а ≠ 0.

Как и в случае с квадратным уравнением, а - первый коэффициент, в - второй коэффициент, с - свободный член квадратного трёхчлена.

Квадратный трёхчлен называется приведённым, если его первый коэффициент равен 1, т.е. а = 1.

Корнями квадратного трёхчлена называются значения переменной х, при которых значение квадратного трёхчлена равно нулю. Другими словами, корнями трёхчлена называются корни уравнения .

Пусть корнями приведенного квадратного уравнения будут и , тогда формула разложения квадратного трёхчлена на множители имеет вид:

.

Если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители.

Пример 1. Разложим на множители квадратный трёхчлен:

1); 2); 3) .

Решение. Для того чтобы разложить квадратный трехчлен на множители необходимо найти его корни, если они существуют.

1) Уравнение является приведённым квадратным уравнением, так как а = 1. Решая уравнение, имеем: = 3 и = - 7. Используя формулу разложения квадратного трёхчлена, получим:

2) дискриминант уравнения равен нулю. Значит, уравнение имеет два равных корня: и а = 25. Значит, квадратный трёхчлен разложим на множителя следующим образом: .

3) уравнение имеет корни: = 1 и =. Значит, квадратный трёхчлен можно разложить на множители. В данном случае а = 3, поэтому имеем: .

Ответ: 1) ); 2) ; 3) .

Пример 2. Выясним, можно ли разложить на множители квадратный трёхчлен

.

12 Решение. Найдём дискриминант уравнения : .

функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Если функция возрастает на всей области определения, то её называют возрастающей функцией, а если убывает, то убывающей функцией.

Рассмотрим свойства линейной функции у = kх + в, где k ≠ 0 (рис. 4).

а) б)

Рис. 4.

При k > 0 функция у = kх + в возрастает (рис. 4,а)

При k < 0 функция у = kх + в убывает (рис. 4,б)

Рассмотрим свойства функции, где х ≠ 0 (рис. 5).

а) б)

Рис. 5.

При k > 0, х ≠ 0 функция убывает (рис. 5,а)

При k < 0, х ≠ 0 функция возрастает (рис. 5,б)

§ 16. Рациональные уравнения

Вы уже научились решать уравнения вида Р(х) = Q(x), где Р(х) и Q(x) - целые рациональные выражения. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Некоторые уравнения, кроме целых рациональных выражений, могут содержать и дробно-рациональные выражения. Уравнения, содержащие дробно-рациональные выражения называются дробно-рациональными уравнениями.

Например, уравнения х - 30 = 0 и - целые рациональные,

9

а уравнения и - дробно-рациональные уравнения.

Для решения дробно-рациональных уравнений используется отдельный алгоритм. Рассмотрим это на конкретном примере.

Пример 1. Решим уравнение:.

Решение. В данном случае х ≠ 1, так как при х = 1 знаменатель левой части уравнения обращается в нуль.

Найдём общий знаменатель дробей и обе части уравнения представим в виде дробей с общим знаменателем . Согласно свойству дробей эти дроби будут равны, если равны их числителя (выше мы полагали, что х ≠ 1, т.е. знаменатель отличен от нуля). Итак, корнями исходного уравнения будут корня уравнения .

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, имеем: или

,откуда: = -3,5 и = 5.

Выполнив проверку, убеждаемся, что -3,5 и 5 удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: = -3,5 и = 5.

Следует отметить, что при решении рациональных уравнений могут появиться корни, которые обращают в нуль общий знаменатель. Такие корни называют посторонними корнями.

Для решения дробно-рациональных уравнений применяется следующий алгоритм:

1) найдём общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2) умножаем каждый член уравнения на соответствующий дополнительный

множитель;

3) приравнивая числители, получим целое рациональное уравнение;

4) решаем полученное уравнение;

5) исключаем из числа его корней посторонние корни.

Пример 2. Найдём корни уравнения .

Решение. Так как в обеих частях уравнения находятся рациональные дроби

с одинаковыми знаменателями, то должны быть равны и их числители,

т.е.: . После преобразования последнего уравнения имеем: или: . Полученное квадратное уравнение имеет корни = - 2 и = 7.

Проверка показывает, х = 7 не является корнем данного уравнения, так как знаменатели обеих частей исходного уравнения обращаются в нуль.

10 Ответ: = - 2.

§ 17. Уравнения, приводимые к квадратным

Уравнение вида , где а ≠ 0, называется биквадраткым уравнением.

Пример 1. Решим уравнение:

Решение. Если обозначим в данном уравнении через у, то получим следующее квадратное уравнение: . Решив полученное квадратное уравнение, имеем: = - 9 и = 1.

Для нахождения значения х в равенство у = вместо у подставим его значения. Тогда получим уравнения: = - 9 и = 1. Уравнение = - 9 не имеет корней, а уравнение = 1 имеет два корня: = - 1 и = 1.

Подставляя эти значения в исходное уравнение, убеждаемся, что они удовлетворяют ему.

Ответ: {-1; 1}.

Из рассмотренного примера видно, что для приведения исходного уравнения четвертой степени к квадратному ввели другую переменную - у. Такой метод решения уравнений называют методом введения новых переменных.

Для решения уравнений, приводящихся к решению квадратных уравнений методом введения новой переменной, можно выполнить следующий алгоритм:

1) введём в уравнение новую переменную путём обозначения какого-то выражения из этого уравнения;

2) вместо этого выражения подставляем новую переменную и получим квадратное уравнение относительно новой переменной;

3) решаем полученное квадратное уравнение;

4) способом подстановки находим значение исходной переменной;

5) с помощью проверки определяем корни данного уравнения.

Решение не только биквадратных, но и некоторых других видов уравнений сводится к решению квадратных уравнений.

Пример 2. Решим уравнение: .

Решение. Введём новую переменную . Подставляя новую переменную у вместо выражения в исходное уравнение, имеем: . Это уравнение сводится к следующему квадратному уравнению: . Полученное квадратное уравнение имеет корни = - 6 и = 1.

Тогда имеем два уравнения: и .

Уравнение не имеет корней, так как дискриминант меньше нуля.

А уравнение имеет корни: .

Ответ: {; }.

11