Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов»

На уроке рассматриваются частные случаи решения квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой. Такие частные случаи позволяют решать квадратные уравнения гораздо проще.Целью урока:1.Нахождение математических особенностей коэффициентов квадратных уравнений.2.Исследование математических особенностей коэффициентов квадратных уравнений.3.Составление квадратных уравнений с учетом выделенных особенностей.
Раздел Математика
Класс 8 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов».

Цели урока:

Образовательные:

1)выяснить зависимость корней квадратного уравнения ах2 + вх + с=0 от коэффициентов а, в, с.

2) Нахождение рациональных способов решения квадратных у уравнений

3) Использование рациональных способов при решении квадратных уравнений.

Развивающие:

1) Развитие навыка познавательного интереса

2) Развитие навыков исследовательской работы

2) Развитие навыков самостоятельной работы.

3) создать базу для продуктивного генерирования идей школьников.

4)развитие творческих способностей и осознанного усвоения и глубокого усвоения программы.

5) Развитие самоконтроля.

6) Развитие внимания.

Воспитательные:

1) Воспитание коммуникативности, умения слушать.

2) Воспитание умения осуществлять совместную деятельность.

Задачи урока:

  1. Генерирование идей на основе разнообразных манипуляций с коэффициентами квадратных уравнений.

  2. Поиск, конструирование объектов, соотнесение их друг с другом, с целью получения идей и фактов

  3. Построение объектов с заданными свойствами, а свойство - это различная связь между коэффициентами.

  4. Составление задач на основе этой идеи.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Оборудование: доска, мультимедийный проектор, презентации к уроку.

План урока:

  1. Нахождение математических особенностей коэффициентов квадратных уравнений.

  2. Исследование математических особенностей коэффициентов квадратных уравнений.

  3. Составление квадратных уравнений с учетом выделенных особенностей.

  4. Перенос математических особенностей квадратных уравнений.

  1. Актуализация знаний.

Практическое исследование:

Предлагается учащимся решить ряд квадратных уравнений, используя теорему обратную теореме Виета. После решения квадратных уравнений обратить внимание на коэффициенты уравнений и корни этих уравнений:

II. Организация учебно-познавательной деятельности.

Учащиеся объединяются в группы, дается задание для каждой группы.

1 группа.

  1. х2 + х - 2 = 0, коэффициенты: 1 + 1 - 2 = 0, корни: х1 = 1, х2 = -2

  2. х2 + 2х - 3 = 0, коэффициенты: 1 + 2 - 3 = 0, корни: х1 = 1, х2 = -3

  3. х2 - 3 х + 2 = 0, коэффициенты: 1 - 3 +2 = 0, корни: х1 = 1, х2 = 2

  4. 14 х2 - 17 х + 3 = 0, коэффициенты: 14 - 17 + 3 = 0, корни: х1 = 1, х2 = 3/14Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов».

  5. 13х2 - 18 х + 5 = 0, коэффициенты: 13 - 18 + 5 = 0, корни: х1 = 1, х 2= 5/13

2 группа.

  1. х2 - 2 х - 3 = 0, коэффициенты: 1 + (- 2) = 3 , корни: х1 = - 1, х2 = 3

  2. 2 + 3х + 1 = 0, коэффициенты: 2 + 1 = 3, корни: х1 = - 1, х2 = -1/2Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов».

  3. 2 - 4х - 9 = 0, коэффициенты: 5 + (- 9) = -4, корни: х1 = -1, х2 = Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов». 9/5

  4. х2 - х - 2 = 0, коэффициенты: 1+ ( - 2) = -1, корни: х1 = -1, х2 = 2

  5. 14х2 + 3х - 11 = 0, коэффициенты: 14 +( - 11) = 3, корни: х1 = - 1,х2=Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов».11/14

После решений, учащиеся методом рассуждений приходят к следующим выводам:

III. Совместная деятельность учащихся.

Вывод №1.

Во всех предложенных уравнениях

первой группы коэффициенты а + в + с = 0 и один из корней равен 1, а другой Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов». c/a

Вывод №2.

Во всех предложенных уравнениях второй группы коэффициенты

а + с = в и один из корней равен - 1, а другой Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов». - c/a.

Учащиеся в ходе беседы выдвигают, свои гипотезы.

Формулирование гипотезы:

а) если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а + в + с = 0,

то х1 = 1, х2 = c/a

б) если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а + с = в,

то х1 = -1, х2 = - c/a

Предлагается доказать гипотезы, используя теорему обратную теореме Виета:

Доказательство гипотезы.

а) По условию а + в + с = 0, значит в = - (а + с).

Подставим значение «в» в уравнение ах2 + вх + с = 0,

получим: ах2 - (а + с)х + с = 0.

Почленно разделим на а≠0, получим:

х2 - (a+c)x/a + c/a =0,

х2 - (1+ Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов». c/a )х + Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов». c/a = 0.

По теореме обратной теореме Виета:

х1 + х2 = - Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов». b/a х1 х2 = c/a

значит х1=1, х2 = Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов». c/a

б) По условию в = а + с.

Подставим значение «в» в уравнение ах2 + вх + с = 0,

получим: ах2 + (а + с)х + с = 0.

Раскроем скобки: ах2 + ах + сх + с = 0.

Разложим левую часть на множители:

ах (х+1) + с (х + 1)=0,

(х + 1)(ах + с) =0,

х + 1 = 0 или ах + с = 0,

х1 = -1, х2 = - Тема урока «Исследование свойств корней квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов». c/a.

Гипотезы доказаны, сделаются выводы:

Вывод:№1

Если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а + в + с = 0, то,

  1. записать х1 = 1,

  2. найти и записать х2 = c/a

Вывод:№2

Если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0, а - в + с = 0, то

  1. записать х1 = -1,

  2. найти и записать х2 = - c/a.

IV. Этап закрепления новых знаний.

Перенос математических особенностей простейших квадратных уравнений.

Установка учителя: Покажем, применение данных выводов при решении более сложных квадратных уравнений, не прибегая к способу замены переменной..

При решении квадратного уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Сначала надо посмотреть, нельзя ли записать его проще.

№1

(5х + 3)2 = 3(5х + 3) - 2,

(5х + 3)2 - 3(5х + 3) + 2=0.

Так как, а + в + с = о, то 5х + 3 = 1, 5х = -2, х = - 2/5 и 5х + 3 = 2, 5х = -1, х = - 1/5.

Ответ: - 2/5; - 1/5.

№2

(x2 - 2x)2 - 2(x2 - 2x) - 3 =0

Так как, а + с = в, то х1 = -1, х2 = 3

В первом случае, будет x2 - 2x = -1, x2 - 2x +1=0, х1 = 1, х2 = 1- два совпадающих корня

Во втором случае, будет x2 - 2x =3, x2 - 2x -3=0, х1 = -1, х2 = 3 .Ответ: -1; 1; 3.

Составление квадратных уравнений с учетом выделенных особенностей.

Установка учителя:

1) Составьте простейшие квадратные уравнения, если коэффициентами уравнения могут быть числа -5; 1; 4.

( х2 + 4х - 5 = 0, 4 х2 + х - 5 = 0, -5х2 + 4х + 1 = 0, -5 х2 + х +4 = 0)

2)Решите, составленные вами квадратные уравнения и установите связь между корнями .

а) х2 + 4х - 5 = 0, х1 = 1, х 2= -5

б)4 х2 + х - 5 = 0, х1 = 1, х 2= -5/4

в)-5х2 + 4х + 1 = 0, х1 = -1, х 2= -1/5

г) -5 х2 + х +4 = 0, х1 = -1, х 2= -4/5

(Учащиеся составляют уравнение по заданному условию и находят связь между корнями.) Делают вывод:

Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты а и с, то значения корней в полученном уравнении будут взаимно обратными корням в исходном уравнении

V. Рефлексия.

Учитель:

На листе бумаги обведите свою ладошку. каждый палец - это какая то позиция, по которой необходимо высказать свое мнение.  большой - для меня это важно и интересно …  указательный - я получил конкретные рекомендации…  средний - мне было трудно ( не понравилось)…  безымянный - моя оценка психологической атмосферы…  мизинец - для меня было недостаточно…

VI . Домашнее задание

№1 Решить уравнение

(1 - 3х)2 = 4 (1 - 3х) - 3,

№2 Составьте и решите простейшие квадратные уравнения, если коэффициентами уравнения могут быть числа -14; 3; 11.



© 2010-2022