- Преподавателю
- Математика
- Программа элективного курса по математике в 10 классе Отдельные вопросы теории многочленов
Программа элективного курса по математике в 10 классе Отдельные вопросы теории многочленов
Раздел | Математика |
Класс | 10 класс |
Тип | Рабочие программы |
Автор | Рузанова И.М. |
Дата | 10.04.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
«Утверждаю» «Согласовано» «Рассмотрено»
Директор МБОУ СОШ № 35 Зам. дир.УВР на заседании МО учит.
___________Н.С.Мушкат ________Т.В.Казурова ____________________
От «___» _______ 20___
01.09.2014 г. 01.09.2014 г. протокол № __________
______И.М. Рузанова
Программа элективного курса
по математике в 10 классе
«Отдельные вопросы теории многочленов»
Составила:
Рузанова И.М.
учитель математики
высшей категории
Самара,2014
Пояснительная записка
Данный курс рассчитан для учащихся 10 класса на 35 часов в год, и предлагает изучение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики, но закладывают основы для дальнейшего (вузовского) его изучения. Включенный в программу материал может применяться для разных групп школьников за счет обобщенности знаниевого компонента и его преемственности с базовым уровнем, практической направленности.
Базовый уровень знакомит с многочленами, с действиями над многочленами (сложением, вычитанием и умножением), разложением многочлена на множители, с формулами сокращенного умножения. Решаются квадратные уравнения; учащиеся знакомятся с формулами Виета, выражающими зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Рассматривается метод решения рациональных уравнений четвертой степени путем введения вспомогательной переменной.
Цель занятий данного профильного курса - расширить знания школьников о многочленах, рассмотреть новое действие для многочленов, а именно: деление многочленов нацело и с остатком. Сформировать представление о методах и способах решения нестандартных задач и алгебраических уравнений на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов. Знакомство с теорией многочленов позволит учащимся решать определенные олимпиадные и конкурсные задачи.
Предложенный материал обеспечивает преемственность между числами и многочленами, является доступным, интересным, воспитывает математическую культуру учащихся и вполне уместен для развития устойчивого интереса к математике, мыслительных и творческих способностей. Теория многочленов богата идеями, содержит много практически применяемых приёмов. Ее методы интересны, не трудоемки для изложения и приводят к глубоким результатам, имеющим многочисленные приложения. Важность теории многочленов состоит еще в том, что с помощью многочленов можно получить хорошие приближения различных функций, что позволяет применять теорию многочленов во многих вычислительных методах и в компьютерной математике. Изучение теории многочленов поможет ученику с единых позиций взглянуть на многие задачи математики, успешно решать сложные уравнения и неравенства (в том числе и в заданиях ЕГЭ), почувствовать связь между чистой и прикладной математикой. В предлагаемом курсе каждое положение теории многочленов сопровождается большим количеством примеров и исследовательских задач.
Соответствующий подбор материала преследует следующие цели: с одной стороны - это создание базы для развития способностей учащихся, расширения кругозора, с другой - восполнение некоторых содержательных пробелов основного курса, подготовка к сдаче ЕГЭ, а также включение учащегося в поисковую деятельность, как фактор личностного развития; развитие коммуникативных навыков в процессе практической деятельности.
Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:
-
Приобщение учащихся к работе с математической и справочной литературой.
-
Выделение логических приёмов мышления, их осмысление и овладение ими.
-
Обеспечение диалогичности процесса обучения математике.
-
Формирование потребности к целенаправленному самообразованию.
Вид курса: расширяющий и углубляющий базовый курс.
Профильное обучение в старших классах стало требованием времени, но переход к нему достаточно труден. Элективные курсы, проводимые в 8-9 классах, способствуют интенсификации образовательного процесса и призваны помочь профессиональному ориентированию и самоопределению школьников. Эти курсы предоставляют возможность оценить свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего обучения в классах технологического или естественнонаучного профиля.
Для отбора учащихся на соответствующий профильный курс следует использовать результаты итоговой аттестации за 9 класс, итоги успеваемости на предпрофильных курсах или входной тест (стартовую диагностику) к началу изучаемого курса.
С целью определения динамики интереса предлагается:
-
Собеседования в процессе работы.
-
Анкетирование на последнем занятии по теме.
С целью определения динамики умений предлагается:
-
Отслеживание умений по каждой теме.
-
Построение диаграммы умений по темам и общей диаграммы успешности учебной деятельности.
По окончанию изучения курса учащиеся должны уметь:
-
Выполнять действия над многочленами.
-
Применять теорию многочленов к нахождению корней уравнений высших степеней. Уметь применять теорему Безу.
-
Использовать обобщенную теорему Виета для решения уравнений с параметрами.
-
Решать уравнения методом неопределенных коэффициентов.
-
Использовать замену переменных в определенных типах уравнений.
-
Применять алгоритмы решения симметричных и возвратных уравнений.
Изучение курса предполагается построить в виде лекций, семинаров, уроков-сообщений, консультаций. На всех типах занятий следует вести активный диалог с учащимися.
Итоговое занятие предусматривает защиту и презентацию собственного проекта или реферата (доклада).
Тематическое планирование
№ урока п/п
Тема
Количество часов
Тип занятия
1-2
1. Понятие многочлена. Действия над многочленами.
3
Беседа.
Практикум.
3-6
2. Дополнительные формулы сокращенного умножения.
3
Лекция. Практикум.
7-9
3. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
3
Лекция. Практикум.
10-11
Зачетная работа № 1.
2
Контроль.
12-14
4. Обобщенная теорема Виета.
3
Сообщения учащихся. Практикум.
15-17
5. Симметрические многочлены.
3
Сообщения учащихся. Практикум.
18-20
6. Возвратные уравнения.
3
Сообщения учащихся. Практикум.
21-22
Зачетная работа № 2.
2
Контроль.
23-26
7. Замена переменных в определенных типах уравнений.
4
Практикум.
27-30
8. Уравнения с параметрами.
4
Практикум.
31-32
Зачетная работа № 3.
2
Контроль.
33-35
Итоговое анкетирование. Заслушивание докладов и рефератов учащихся.
3
Семинар.
Содержание программы
-
Понятие многочлена. Действия над многочленами.
Стандартный вид многочлена. Свойства степеней и коэффициентов многочлена. Равенство многочленов. Действия над многочленами. Разложение многочленов на множители методом группировки и с помощью вынесения общего множителя за скобки.
-
Дополнительные формулы сокращенного умножения.
(a + b) (a - b) = a2 - b2, (a b)2 = a2 2ab + b2, a3 b3 =(a b)(a2 - ab + b2),
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2 b + …+ an-k bk-1 +… + a bn-2 +bn-1),
a2m+1 + b2m+1 = (a + b)(a2m - a2m-1b + …+(-1) ka2m-k b k +… + b2m),
(a + b + c)2 = a2 + c2 + b2 + 2ab + 2ac + 2bc,
(a1 + a2 + … + an)2 = a12 + a22 + a32 +…+ 2a1a2 + 2a1a3 +…+ 2an-1an.
-
Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
Деление многочлена на многочлен с остатком. Теорема Безу. Корни многочлена. Схема Горнера.
-
Обобщенная теорема Виета.
Обобщение теоремы Виета для многочленов степени n 2.
-
Симметрические многочлены.
Симметрические многочлены и их применение. Метод неопределенных коэффициентов. Решение симметрических уравнений.
-
Возвратные уравнения.
Решение возвратных уравнений четной и нечетной степени.
-
Замена переменных в определенных типах уравнений.
а) Замена:
б)
Замена: сводит уравнение к биквадратному.
в) Деление на и замена сводит уравнение к квадратному.
-
Уравнения с параметрами.
Входной тест
A1. Представьте в виде многочлена: (2х2 + 3х - 2)(4х + 2).
1) 8х3 + 16х2 + 2х - 4; 2) 8х3 + 16х2 - 2х - 4;
3) 8х3 + 16х2 - 14х + 4; 4) 8х3 + 8х2 - 2х - 4
A2. Разложите на множители: abx2 + bxy - axy - y2.
1) (ax + y) (bx - y); 2) (ax - y) (bx + y); 3) (ax + y) (bx + y); 4) (ax - y) (bx - y)
A3. Решите уравнение: 2х2 - 9х + 10 = 0.
1) -2 и 2,5; 2) -2 и -2,5; 3) 2 и 2,5; 4) 2 и -2,5
A4. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней: х2 - 9х + 20 = 0.
1) -9 и 20; 2) -9 и -20; 3) 9 и 20; 4) 9 и -20
A5. Разложите на множители квадратный трехчлен: 3x2 - 2x - 8.
1) (x + 2) (3x + 4); 2) (x - 2) (3x - 4); 3) (x + 2) (3x - 4); 4) (x - 2) (3x + 4)
B1. Решите уравнение: 2х3 + 3х2 + 2х + 3 = 0.
B2. Один из корней уравнения х2 - aх - 12 = 0 равен 2. Найдите коэффициент a.
В3. Найдите сумму натуральных значений n, при которых выражение принимает целые значения.
С1. Сравните меньший корень уравнения с числом .
С2. Решите уравнение: abх2 + (a2 - b2)x + (a - b)2 = 0.
Ответы
А1
А2
А3
А4
А5
В1
В2
В3
С1
С2
2
1
3
3
4
- 1,5
- 4
12
Меньший корень< 6
Зачетная работа № 1
А1. Укажите номера неверных утверждений:
1) (47193 - 27343) 1985;
2) (7315 - 6115) 120;
3) число 255 + 1 составное, т. к. делится на 33;
4) 313 299 - 3132 составное, т. к. делится на 7.
А2. Дан многочлен Р(х)= 2х4 - 3х3 + 7х2 - 10х - 16. Найдите: Р(-1), Р( 1), Р(0), Р(2).
А3. Найдите частное (ответ проверьте умножением):
1) (х2 + 3х - 4) : (х + 4);
2) (4х3 - 5х2 + 6х + 9 ) : (4х + 3).
А4. Найдите числа а и b из тождественного равенства:
х4 + 2х3-16х2 - 2х + 15 = (х + 1)(х3 + ах2 - 17х + b).
А5. Укажите наименьший общий знаменатель данных алгебраических дробей:
А6. Сократите дробь:
B1. Не проводя деления многочленов, найдите остаток от деления многочлена
Р(х)= х50 + х25 + 4 на многочлен Q(х) = х2 - 1.
В2. При каких натуральных значениях n выражение является целым числом?
В3. Разложите многочлен Р(х) = х4 - 5х3 - 3х2 + 9 по степеням разности х - 3.
В4. Найдите целые корни уравнения (6 - х)(х - 2)(х + 3)(х + 9) = 24х2.
С1. Остаток от деления многочлена Р(х) на х- 2 равен 6, а остаток от деления его на х + 3 равен 1. Найдите остаток от деления этого многочлена на (х - 2)(х + 3).
С2. Разложите на множители многочлен х4 + 3х3 - 13х2 - 9х + 30, если известно, что числа
2 и -5 - корни этого многочлена.
С3. Выясните, делится ли нацело многочлен Р(х) = х100 + 3х79 + х48 - х27 на х+1.
Зачетная работа № 2
Вариант 1
A1. Известно, что уравнение 2х4 + 3х3 - 4х2 - 3х + 2 = 0 имеет пять действительных корней. Не находя этих корней найдите сумму их квадратов.
1) - 6,5; 2) 6,5; 3) - 6,25; 4) 6,25
A2. Известно, что уравнение х4 - 7х3 + 13х2 + 3х - 18 = 0 имеет четыре действительных корня. Не находя этих корней найдите сумму их кубов.
1) - 63; 2) 63; 3) 61; 4) - 61
В1. Решите уравнение методом неопределенных коэффициентов:
х4 + 12х3 + 32х2 - 8х - 4 = 0.
В2. Решите возвратное уравнение: 2х4 - 5х3 - х2 + 5х + 2 = 0.
B3. Решите симметрическое уравнение: х4 - 5х3 + 8х2 - 5х + 1 = 0.
С1. Решите уравнение: х7 + 2х6 - 5х5 - 13х4 - 13х3 - 5х2 + 2х + 1 = 0.
Ответы
А1
А2
В1
В2
В3
С1
4
3
-4 14, -2 6
2, -0,5,
1 (четная кратность)
-1; ;
Зачетная работа № 3
Вариант 1
A1. Решите уравнение: (х2 + х + 2) (х2 + х + 3) = 6.
1) 0 и 1; 2) 0 и - 1; 3) 2 и - 3; 4) - 3 и 2
A2. Решите уравнение: 4х4 - 5х2 + 1 = 0.
1) 1 и 0,5; 2) 1 и 0,5; 3) 1 и ; 4) 1 и 0,5
A3. Решите уравнение: (x + 1)4 + (x + 5)4 = 82.
1) -2 и 0; 2) 2 и 0; 3) - 2; 4) 2 и -3
A4. Решите уравнение: (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 10.
1) -6 и 6; 2) -3 и 3; 3) -3 + 6; 4) -3 6
B1. Определите, при каких значениях a уравнение
(а2 + 4а - 21)х2 - (а2 - 3а)х - 3 + 4a - а2 = 0 имеет более двух корней?
B2. При каком наименьшем значении a уравнение х3 + 3х2 - 45х + a = 0 имеет ровно один корень?
B3. Решите уравнение: 3(х2 + 2х - 1) 2 - 2(х2 + 3х - 1) = - 5х2.
С1. Укажите значение параметра a, при котором уравнение х4 + (1 - 2а)х2 + а2 - 4 = 0 имеет три различных корня.
Ответы
А1
А2
А3
А4
В1
В2
В3
С1
2
4
1
4
3
82
2
Темы докладов и рефератов для учащихся
-
Возвратные уравнения. Решение возвратных уравнений четной и нечетной степени.
-
Вывод формулы Кардано.
-
Интерполяционный многочлен Лагранжа.
-
История открытия формулы Кардано.
-
Метод Феррари для решений уравнений четвертой степени.
-
Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.
-
Неприводимый случай формулы Кардано.
-
Основная теорема алгебры многочленов.
-
Симметрические многочлены. Метод неопределенных коэффициентов. Решение симметрических уравнений.
-
Теорема Безу. Корни многочлена.
-
Теоремы о границах корней многочленов.
-
Теоремы о числе действительных корней многочлена (Штурма, Бюдана-Фурье, Декарта).
-
Франсуа Виет, его жизнь и творчество (развитие теории уравнений).
Литература
-
Виленкин, Н. Я. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики /Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. - Москва: Просвещение, 1996. - 335 с.
-
Виленкин, Н. Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики /Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. - Москва: Просвещение, 1996. - 288 с.
-
Галицкий, М. Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. - Москва: Просвещение, 1997. - 271 с.
-
Болдырева, М. Х. Факультативный курс по математике, 8 класс. Материалы для учащихся и учителей математики / М. Х. Болдырева, Ю. П. Карпухин, Г. А. Клековкин, Л. М. Рудман. - Самара: СИПКРО, 1997. - 142 с.
-
Лысенко, Ф. Ф. Математика ЕГЭ - 2007. Вступительные экзамены. Пособие для самостоятельной подготовки / Ф. Ф. Лысенко, В. Ю. Калашников, А. Б. Неймарк, О. Е. Кудрявцев, Д. А. Мальцев. - Ростов - на - Дону: Легион, 2006. - 416 с.
-
Максютин, А. А. Математика - 10. Учебное пособие для 10-х математических классов, лицеев и гимназий / А. А. Максютин. - Самара, 2002. - 588 с.
-
Максютин, А. А. Дидактические материалы для подготовки к Единому государственному экзамену по математике: В помощь выпускнику и абитуриенту / А. А. Максютин. - Самара: Корпорация «Федоров», Изд. «Учебная литература», 2002. - 64 с.
-
Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы /И. Ф. Шарыгин. - Москва: Просвещение, 1989. - 252 с.
-
Шарыгин И. Ф. Математика для школьников старших классов /И. Ф. Шарыгин. - Москва: Дрофа, 1995. - 491 с.
Матричное представление многоуровневой системы задач.
Уровень | Вынесение общего множителя | Формулы сокращенного умножения | Выделение полного квадрата | |
Общеобразовательный уровень | ЗЗ | Разложите на множители:
б) ab2 - b2y - ax + xy + b2- х. | Решите уравнение выделением полного квадрата: а) 2х2 - 9х + 10 = 0; б) х2 + 4х + 3 = 0.
| Решите уравнение выделением полного квадрата: а) 2х2 - 9х + 10 = 0; б) х2 + 4х + 3 = 0.
|
МЗ | Сократите дробь:
| 1. Решите уравнение: (х + 1)2 - 6(х + 1) + 9 = 0. 2. Вычислите: а) 3,73 + 3 3,72 1,3 + 3 3,7 1,32 +1,33; б) 15,83 - 3 15,82 11,8 + 3 15,8 11,82 - 11,83. | Разложите на множители: Р4(х) = х4 - 6 х2 - 10. | |
НЗ | Решите уравнение: 6 - 7х + х2 = 4(х - 1). | Выполните действия: а) ; б) . | Решите уравнение: х4 + х2 + 1 + 2х3 + 2х2+ 2х = 1. 2. Докажите, что (х + а)(х + 2а)(х + 3а)(х + 4а) + а4 есть полный квадрат. | |
Углубленный уровень | ЗЗ | 1. Решите уравнение: (a - х)3 + (b - х)3 - (a + b - 2x)3 = 0. 2. Сократите дробь:
| 1. Разложите на множители: а) х(х3 - а3) + ах(х2 - а2) + а3(х - а); б) а4 + 4b4; в) х4 + 6х2 - 10. | Докажите, что многочлен Р4(х) = х4 + 2х3 + ах2 + 2х + b является квадратом другого многочлена и найдите а и b. |
МЗ | 1) Решите уравнение: (1 + х)2 - 6 х + 1 + 9 = 0; 2) Докажите, что если n - нечетное число, то 1 + 2n + 7n + 8n кратно 9.
| 1. Решите уравнение: а) х4+ х2 +1 +2 х3 + 2х = 1; б) х4 + 2х 3 + х2 = 1. 2. Какое наименьше значение может принимать выражение При каких значениях х оно достигается? | В зависимости от значения параметра а, определите число корней уравнения х2 + 4x - 2 х - а + 2 - а =0.
| |
НЗ | При каком целом положительном х значение выражения
ближе всего к 0, 66? | Решите уравнение: х4 - 4х3 - 1 =0 | Докажите, что а4 + b4 если а + b 1. |
Уровень
Теорема Виета
Метод группировки
Теорема Э. Безу и ее следствия
Общеобразовательный уровень
ЗЗ
Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней:
а) 4х2 - 15х = 0;
б) 2х2 - 25 = 0;
в) х2 - 9х + 20 = 0.
Разложите на множители:
а) a2 - a - ab2 + b - 2ab + 2;
б) abx2 + bxy - axy - y2.
Запишите в виде формулы правило нахождения делимого a по делителю b, неполному частному q и остатку r. По этой формуле найдите:
-
делимое a, если неполное частное равно 15, делитель - 7 и остаток - 4;
б) делитель b, если a = 257, q = 28, r = 5;
в) неполное частное q, если a = 597, b = 12, r = 9.
МЗ
Не решая уравнения, найдите сумму четвертых степеней его корней: х2 - 3х + 1 = 0.
Разложите на множители:
а) х4 + 4;
б) х4 + 16х2 + 28.
Определите, при каких натуральных значениях n данное выражение принимает целые значения.
НЗ
Дано уравнение х2 + 5х - 4 = 0 с корнями x1 и x2. Составьте квадратное уравнение с корнями:
и и .
1. Разложите на множители:
а) ak + 1 - a + ak - 1;
б) a2n + 1 - an + 1 + an - 1.
2. Решите уравнение:
2х3 + 3х2 + 2х + 3 = 0
При каких значениях a и b выполняется без остатка деление х4 + 3х3 - 2х2 + аx + b на
х2 - 3х + 2?
Углубленный уровень
ЗЗ
1) Определите k так, чтобы один из корней уравнения 9х2 - 18(k -1) х - 8k + 24 = 0 был вдвое больше другого.
2) Сумма квадратов корней уравнения
х2 + (3p -5) х + (3p2 -11p - 6)=0 равна 65. Найдите значения параметра p и его корни.
1. Решите уравнение в целых числах:
х2- 3ху + 2у2 = 5.
2. Сократите дробь:
1. Дан многочлен Р3(х) = х3 + 3х2 - 7x- 6.
Разделите его на f(x) с остатком:
a) f(x) = х - 1; б) f(x) = х + 3.
2. Найдите остаток от деления
f(x) = х4 + 7х3 + 2х2 - 3x - 5 на х + 1.
МЗ
1) Дано уравнение ах2 + bx +c = 0, корни которого x1 и x2. Составьте уравнение, корни которого будут равны: а) x1 - а и x2 - а; б) аx1 и аx2.
2) Решите уравнение:
а) х4 + х3 - 4х2 - x+3 = 0; б) х4 + 4х3 - 4х - 1 = 0;
в) х3 + 6х2 - 3x- 10 = 0.
1) Решите уравнение:
х4 + 12х3 + 32х2 - 8х - 4 = 0.
2) Разложите на множители:
х5 + х + 1.
При каких значениях a и b выполняется без остатка деление х4 + 3х3 - 2х2 + аx + b на х2 - 3х + 2?
НЗ
1) Решите уравнение, используя теорему Виета и теорему Безу, если известно, что произведение двух его корней равно единице:
2) Решите уравнение:
1) Докажите, что х, у R выполняется
x2 + 10y2 - 6хy + 10x - 26y + 30 > 0.
2) 2003 является дискриминантом квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Верно или нет.
Уровень
Замена переменных
Симметрические многочлены
Общеобразовательный уровень
ЗЗ
Решите уравнение:
а) (2х2 + 3)2 - 12(2х2 + 3) +11 = 0;
б) 4х4 - 5х2 + 1 = 0.
Найдите значение функции f(x,у) в точке А(x;у):
a) f(x,у) = х + у; А(3;3);
б) f(x,у) = х2 + у2; А(-2;4).
МЗ
Решите уравнение:
а) (х2 + х - 1)(х2 + х + 2) = 40;
б) (2х2 + х - 1)(2х2 + х - 4) + 2 = 0.
Разложите на множители:
Р(х,у) = 2х4 - 3х3у + 5х2у2 - 3ху3+ 2у4.
НЗ
Решите уравнение:
а) (х + 1)4 + (х + 5)4 = 82;
б) (х + 1)(х + 2)(х + 4)(х +5) = 10.
1. Решите уравнение:
3х3 + 4х2 + 4х + 3 = 0.
2. Решите систему уравнений:
Углубленный уровень
ЗЗ
Решите уравнение:
6(х2 - 4)2 + 5(х2 - 4)(х2 - 7х + 12)+(х2 - 7х + 12)2 = 0.
Решите систему уравнений:
МЗ
Решите уравнение:
а) (х2 + х + 2)(х2 + 2х + 2) = 2х2;
б) (х - 1)(х - 2)(х - 4)(х - 8) = 7х2.
1) Решите уравнение:
a) х4 - 5х3 + 8х2 - 5х + 1 = 0;
б) х7 + 2х6 - 5х5 - 13х4 - 13х3 - 5х2 +2х + 1 = 0.
НЗ
Решите уравнение:
3(х2 + 2х - 1) - 2(х2 + 3х - 1) + 2х2 = 0.