Спецкурс Матрицы и определители

Бабенко Е.В.

Урок 1.

Тема : «Системы линейных уравнений и способы их решения»

Цель: Повторить, углубить и расширить знания учащихся о способах решения линейных уравнений. Ввести понятие определителя, метода решения систем уравнений способом Крамера посредством определителя.

1. Организационный момент .

2. Актуализация знаний учащихся .

Задача.

Периметр равнобедренного треугольника 28 см. основание его на 2 см меньше боковой стороны Найти стороны треугольника.

Решение.

Пусть основание -х см, а боковая сторона - у см. Периметр это сумма длин всех сторон , тогда х+ 2у=28, но боковая сторона больше основания на 2 см, тогда - у-х =2.

То есть получилось два уравнения , их нужно решать в системе.

Вспомним способы решения систем. Мой шаг первый, а потом вы с комментарием коллективно решаете.

Первый способ- способ подстановки

Второй способ - сложение

Третий способ - графический

3. Изучение нового материала .

воспользуемся приёмом умножения уравнений на множители, как в способе сложения . первое умножим на в₂, а второе на в₁. Получим систему:

Вычтем из первого уравнения второе, вынесем х за скобки , получим:

(.

Выделим х : х==.

Способ решения придумал математик Крамер -немецкий математик. Только сначала он составлял матрицу значений уравнений. Матрица- это специальная таблица значений.

Вернёмся к системе уравнений и определимся с алгоритмом решения.

Шаг первый

Составим таблицу коэффициентов - матрицу .

и расширенную матрицу

Шаг второй .

По матрице можно найти главный определитель . Он обозначается Δ =

Шаг третий .

Заменим столбец с коэффициентами возле х (а₁,а₂) на с₁,с₂ соответственно .

Получим

Δ_х=

Шаг четвёртый.

Х=. Вычисляем и получаем корень - значение переменной х.

Шаг пятый - заменим столбец, содержащий в₁,в₂ на с₁, с₂. Пройдём тот же путь и получим значение у..

Например . Возьмём ту же систему, которую мы уже решали

Составим матрицу . найдём определитель

Найдём

Δ_х

Найдём х =

Найдём Δ_у=

Найдём у =

4. Закрепление

• Решим несколько систем методом Крамера у доски.

А)

Б)

• Самостоятельная работа

Вариант 1

• (4,2)

• (1;-21)

Вариант 2

• (-3;1)

• (21;1)

Решение самостоятельной работы.

1. Найдём определитель

Найдём =44

Найдём х: х=

Найдём =18+4=22

Найдём у : у=

2. Найдём определитель

Найдём

Х=21

Найдём

У=

2.1. Найдём главный определитель

Найдём

Найдём х : х= -3

Найдём

Найдём у: у =1

2.2. Найдём главный определитель

Найдём

Найдём х: х=-22

Найдём

Найдём у: у= =16

• Углубление знаний

х= а(а+в), у= в(а-в)

5. Домашнее задание

Решить систему по методу Крамера

Повторить: что называется системой, что значит решить систему, сколько решений имеет система, когда система не имеет решений, когда решение одно, когда решений нет. Знать: как решить систему методом Крамера.

Индивидуальное задание : Сообщение о биографии Крамера .