- Преподавателю
- Математика
- Лекции по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика
Лекции по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Зингер Л.И. |
Дата | 22.09.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Тема 31-32: «Математическое ожидание и его свойства»
Цель: рассмотреть числовые характеристики дискретной случайной величины, вывести формулы и обозначения, учить решать задачи.
Функция распределения случайной дискретной величины позволяет наиболее полно охарактеризовать рассматриваемую случайную величину. Однако при решении многих задач проще указать числовые характеристики случайной величины, чем соответствующий закон распределения. К важнейшим числовым характеристикам случайной величины относятся: мода, медиана, математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.
-
Модой ДСВ называется такое значение дискретной случайной величины, вероятность которого наибольшая.
Обозначается: Мо(х)
Значение случайной величины, вероятность которой минимальная. Называется антимодой.
Пример 1. Закон распределения СВ задан таблицей
х
2
3
4
5
6
7
8
9
10
р
Наибольшая вероятность р = , следовательно мода Мо(х) = 7, антимода равна 2.
Пример 2. При подбрасывании одного игрального кубика составить ряд выпадения граней
х
1
2
3
4
5
6
р
Мода не может быть указана, так как вероятность выпадения каждой грани одинакова.
Пример 3. По наблюдениям метрологов, среднесуточная температура в первой половине февраля имела следующий ряд распределения: -18, -15, -18, -18, -15, -12. -12. -5, -10, -7, -12, -18, -20,-15, -12. Составить закон распределения ДСВ - среднесуточной температуры и найти моду.
Решение: Составим закон распределения ДСВ - среднесуточной температуры, ранжируя ее значения в порядке возрастания:
х
-20
-18
-15
-12
-10
-7
-5
р
В данном случае наибольшую вероятность р = имеют два значения ДСВ: х=-18 и х=-12. Значит мода ДСВ х равна Мо(х)=-12 и Мо(х)=-18.
Моду как характеристику ДСВ часто используют в социологических исследованиях, например при определении рейтинга популярности того или иного политического деятеля или певца. При этом в качестве ДСВ выступает число голосов, отданных, например, за любимого певца при социологическом опросе .
-
Медианой ДСВ называется среднее по положению в пространстве событий значение ДСВ.
Обозначается Ме(х)
Пример: Учет производительности труда станочников цеха №3 за смену задан рядом распределений:
Номер по списку
1
2
3
4
5
6
7
8
производительность
52
52
53
54
56
57
57
57
Найти моду и медиану ДСВ х.
Решение: мода Мо(х) = 57 (самая «модная» производительность труда)
т.к. число столбиков четное то медиану вычисляем как среднее арифметическое ДСВ Ме(х)=
Для нахождения медианы ранжирование ряда распределения является обязательным условием.
Одна из самых важных характеристик ДСВ - математическое ожидание.
-
Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений значений случайной величины на их вероятности.
Обозначается М(Х).
Не любая ДСВ может имеет математическое ожидание.
Свойства математического ожидания.
-
Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной М(С)=С=const
-
Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(kX)=kМ(Х), k-const;
-
Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М(х + у)=М(х) +М(у);
-
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ху)=М(х)М(у).
Математическое ожидание можно найти всегда, если задан закон распределения ДСВ.
Задача 1. Найти математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин Х и У, если известны их законы распределения.
х
3
5
7
р
0.3
0,5
0.2
у
1
2
3
4
р
0.3
0,1
0,25
0,35
М(х) = 3*0,3 + 5*0,5 + 7*0,2 =4,8
М(у) = 1*0,3 +2*0,1 + 3*0,25 + 4*0,35 = 2,65
М(ху)=М(х)М(у)=4,8*2,65=12,72.
Ответ: 12,72
Задача 2. Из 100 лотерейных билетов в тридцати выигрыш составляет 100 тыс. р., в десяти - 200 тыс. р., в пяти - 300 тыс.р., в одном -1 млн.р. Найти числовые характеристики выигрыша.
Решение: СВ х -выигрыш - принимает значения х1=0, х2=100 тыс.р, х3=200 тыс.р., х4=300 тыс.р., х5=1 млн.р.
Вычислим вероятности р1==0.54; р2 = =0.3; р3 = =0,1; р4 = =0,05;
Р5 = =0,01. Составим закон распределения этой ДСВ
х
0
100тыс.
200 тыс.
300 тыс.
1 млн.
р
0,54
0,30
0,10
0,05
0,01
Мо(х) = 0 ( т. К. наибольшая вероятность 0,54 )
Ме(х) =200 тыс.
М(х) = 0*0,54 + 100 тыс.р.*0,3 + 200 тыс.р.*0,1 +300 тыс.р.*0,05 + 1 млн.р*0,01=75 тыс.р.
Задача 3. Найти математическое ожидание случайной величины у = 5х + 9, если известно, что М(х) =2,5
Решение: зная свойства математического ожидания, имеем:
М(у) = М(5х +9) = М(5х) +М(9) = 5М(х) +9 = 5*2,5 +9 =7,5 +9=16,5.
Решить самостоятельно:
-
Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, имеющей следующее распределение:
А)
-
х
2
3
7
р
0.6
0.3
0,1
Б)
-
х
-3
-2
1
р
0,2
0.4
0,4
В)
-
х
-4
0
1
р
0,5
0,4
0,1
-
Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х1=4 с вероятностью р1=0,5; х2=6 с вероятностью р2=0,3 и х3 с вероятностью р3. Найти х3 и р3, зная, что М(х) = 8.
-
Дискретная случайная величина имеет следующий закон распределения:
-
х
Х1
4
7
р
0,3
0,5
Р3
Математическое ожидание равно 3. Найти х1 и р3. Построить многоугольник распределения.
-
Найти математическое ожидание величины Z, если:
А) Z = 3х +4 у; М(х)=2; М(у)=6;
Б) Z = 12х +3у; М(х)=0; М(у)=4.
Тема 33-34: «Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение»
Цель: дать определения, ввести обозначение дисперсии и среднеквадратического отклонения, учить вычислять эти величины.
Математического ожидания недостаточно для описания случайной величины. Для более полной характеристики случайной величины надо оценивать рассеивание ее возможных значений. Для характеристики рассеивания случайной величины и предназначена дисперсия.
Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения ее возможных значений от ее среднего значения.
Обозначается: Д(х).
Д(х)= М((х - М(х))2) или
Д(х) = М(х2) - М2(х).
Дисперсия числа появлений в n независимых испытаниях ( с одинаковой вероятностью появления р события в каждом испытании и вероятности не появления q) вычисляется по формуле Д(х) = npq.
Пример1. Найти Д(х) случайной величины, заданной следующим законом распределения:
х
3
4
6
7
р
0.2
0,25
0,35
0,2
Решение: вычислим М(х) = 3*0,2 +4*0,25 + 6*0,35 + 7*0,2 = 5,1
Составим закон распределения случайной величины х2
Х2
32=9
16
36
49
р
0,2
0,25
0.35
0,2
М(х2) = 9*0,2 + 16*0,25 + 36*0,35 +49*0,2 = 28,2
Д(х) = М(х2) - М2(х) = 28,2 - 5,12 = 28,2 - 26,01 = 2,19
Ответ: Д(х) =2,19
Пример 2. Найти дисперсию ДСВ х - числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.
Решение: по условию n = 10; q =0.9 ; p = 0.1
D(x) = nqp = 10*0,9*0,1 = 0,9
Ответ: Д(х) = 0,9
Свойства дисперсии.
-
Д(х) 0 дисперсия любой случайной величины есть величина неотрицательная.
-
Дисперсия постоянной величины С равна 0. Д(С) =0.
-
Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат. Д(Сх) = С2Д(х).
-
Дисперсия не меняется от смещения случайной величины Д(х - С)=Д(х).
-
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин Д( х1 + х2 + х3 +…+ хn) = Д(х1)+Д(х2)+Д(х3)+ … +Д(хn)
Т.к. дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, то это очень неудобно для наглядного представления степени рассеивания случайной величины Х. Чтобы устранить этот недостаток, вводится показатель степени рассеивания случайной величины Х, имеющий с ней одинаковую размерность. Этот показатель называется среднеквадратическим отклонением и обозначается σ.
квадратный из дисперсии этой ДСВ.
σ=
Пример 3. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение, если ДСВ задана законом распределения.
х
4
5
10
р
0,2
0,3
0,5
Решение: Д(х) = М(х2) - М2(Х) ; М(х) = 4*0,2 + 5*0,3 + 10*0,5 =7,3
Составим таблицу для х2
х
16
25
100
р
0,2
0,3
0,5
М(х2) = 16*0,2 + 25*0,3 + 100*0,5 = 60,7
Д(х) = 60,7 - 7,32 =7,41; σ = =2,72
Ответ: 7,41; 2,72
Пример 4. Составить закон распределения ДСВ х, принимающей значения х1 =1, х2 =3, Х3=4, если известно, что М(х) = 2,3; Д(х) =1,21.
х
1
3
4
р
Р1
Р2
Р3
Х2
1
9
16
р
Р1
Р2
Р3
Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными
Р1 + 3р2 + 4р3 =2,3;
Р1 +9р2 + 16р3 = 1,21 +2,32;
Р1 + р2 + р3 = 1
Решим систему и найдем р1 =0,4; р2 =0,5; р3 =0,1
Решить задачи самостоятельно:
-
Найти М(х2) дискретной случайной величины, заданной законом распределения:
А)
-
х
-4
6
10
р
0,2
0,3
0,5
Б)
-
х
0,2
0,5
0,6
р
0,1
0,5
0,4
-
Дан перечень возможных значений дискретной значений величины: х1 = -1, х2 =0, х3 =1, а также известны М(х) = 0,1 и М(х2) =0,9. Найти вероятности р1, р2. Р3.
-
Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины, имеющей следующее распределение:
А)
-
х
-5
2
3
4
р
0,4
0,3
0.1
0,2
Б)
-
х
4
5
10
р
0,2
0,3
0,5
В)
-
х
-2
4
5
р
0,3
0,1
0,6
-
Дискретная случайная величина имеет только два возможных значения х1 и х2, причем х1х2. Вероятность того, что Х принимает значение х1, равно 0,6.
Найти закон распределения величины Х, если М(х) = 1,4; Д(х) = 0,24.
Тема: Характеристики непрерывной случайной величины.
Основные числовые характеристики: мода, медиана, математическое ожидание, дисперсия.
-
Модой НСВ Х называется такое ее значение, при котором плотность вероятности максимальная. Случайная вероятность может иметь несколько мод.
С геометрической точки зрения мода - значение аргумента Х, при котором график функции плотности распределения принимает максимальное значение.
( находят моду через производную. Надо исследовать функцию на интервале и найти точки максимума функции и сравнить их со значением f(x) на границах интервала).
-
Медианой НСВ Х называют такое ее значение µ, для которого равновероятно что случайная величина Х больше или меньше µ.
Р(хµ) = р(хµ) = 0,5
Т.е. медиана есть корень алгебраического уравнения F(x) = 0,5 или
Интегрального уравнения
C геометрической точки зрения медиана делит площадь под графиком функции плотности вероятности на две равные части.
-
Математическим ожиданием НСВ называется интеграл
М(Х) = в том случае если он существует.
С геометрической точки зрения математическое ожидание случайной величины равно абсциссе центра тяжести площади, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс.
В случае, когда кривая распределения симметрична относительно прямой
X = m математическое ожидание совпадает с этой абсциссой, и математическое ожидание, мода и медиана равны между собой.
М(х) =Мо=Ме=µ.
-
Дисперсию НСВ х находят по формуле D(x) = или
D(x)
Примеры:
Тема: «Теорема сложения совместных событий»
Пусть в некотором испытании рассматриваются два совместных случайных А и В, вероятности которых известны ли могут быть найдены.
Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т. е. р(А + В) = р(А) + р(В) - р(АВ)
Эту формулу можно применить и для двух несовместных событий т. к. р(АВ) = 0.
Если А и В независимые р(а + В) = р(А) + р(В) - р(А)*р(В)
Если А и В зависимые р(А + В) = р(А) + р(В) - р(А)* ра(в).
Пример 1: Два футболиста делают независимо друг от друга по одному удару по воротам. Вероятность попадания первого футболиста равна 0,8; второго - 0,9. Найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно попадание.
Решение: событие А- попадание первым футболистом
Событие В - попадание вторым футболистом
А + В - произойдет хотя бы одно попадание.
По теореме р(А + В) = 0.8 + 0, 9 - 0,8*0,9 =
Ответ:
Эту задачу можно решить другим способом:
Р() = 1 - р(А) = 1 - 0,8 =0,2
Р() = 1 - р(В) = 1 - 0,9 = 0,1
Р(А + В) = 1 - 0,2*0,1 =
Ответ:
Существует более общая формула для нахождения вероятности суммы трех и большего числа совместных событий. А, В, С - события, тогда
Р(А + В +С) = р(А) +р(В) + р(С) - р(АВ) - р (АС) - р(ВС) + р(АВС), но решать задачу таким образом очень сложно, легче решать через противоположные события.
Пример 2: Каждый из четырех стрелков независимо друг от друга производит по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания равны: 0,7; 0,6; 0,8; 0,4. Определить вероятность того, что произойдет хотя бы одно попадание.
Решение: пусть события А1 -попадет первый стрелок, А2 - второй стрелок, А3 - третий стрелок, А4 - четвертый стрелок.
Для событий А1 +А2 +А3 +А4 противоположными являются события 1 234 - все промахнутся.
Р(1) = 1 - р(А1) = 1 - 0,7 = 0.3
Р(2) = 1 - р(А2) = 1 - 0,6 = 0,4
Р(3) = 1 - р(А3) = 1 - 0,8 = 0,2
Р(4) 1 - р(А4) = 1 - 0,4 = 0,6
Р(А1+А2 +А3 + А4) = 1 - 0,3*0,4*0,2*0,6 =
Ответ:
Таким способом решаются задачи в которых есть слова «хотя бы».
Решить задачи самостоятельно:
-
Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятность попадания в круг и кольца соответственно равны 0,1; 0,3; 0,4. Определить вероятность попадания в мишень.
-
В двух группах имеется по 25 студентов; в первой - 5 отличников. Во второй -8. Из каждой группы выбирается по одному студенту. Какова вероятность того, что они отличники?
-
Вероятности вынуть белый шар из двух ящиков равны соответственно 0,8; 0,6. Из обоих ящиков вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что хотя бы один из вынутых шаров белый?
-
В двух коробках лежат по 20 одинаковых по форме карточек. Из них в первой - 5 карточек зеленого цвета, во второй -10. Наугад выбирают из каждой коробки по одной карточке. Какова вероятность того, что хотя бы одна карточка будет не зеленого цвета?
-
Из колоды в 32 карты наугад выбирают 4 карты. Найдите вероятность того, что среди отобранных карт окажется хотя бы один туз.
-
На стеллаже в библиотеке стоят 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найдите вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников будет в переплете.
Тема: « Формула полной вероятности. Формула Байеса».
Чтобы вывести формулу полной вероятности рассмотрим задачу:
Задача 1. В трех одинаковых ящиках находятся: в первом - 3 белых и 2 черных шара; во втором - 6 белых и 4 черных шара; в третьем - 2 белых и 3 черных. Из случайно выбранного ящика наугад вынимают шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?
Решение: А - вынутый белый шар.
В1 - шар вынут из первого ящика;
В2 -шар вынут из второго ящика;
В3 - шар вынут из третьего ящика.
Р(В1) =р(В2) =р(В3) = Событие А должно произойти с одним из событий В1, В2 или В3.
Р(А) = р(В1)рВ1(А) + р(В2) рВ2(А) + р(В3) рВ3(А);
Рв1(А) =; рв2(А) = ; рв3(А) =
Р(А) =
Ответ: при решении этой задачи была использована формула полной вероятности.
Теорема: (формула полной вероятности)
Пусть В1, В2, … Вn - полная группа событий для некоторого испытания, и событие А может произойти вместе с одним из событий полной группы. Тогда справедлива формула:
Р(А) = р(В1) рв1(А) + р(В2) рв2р(А) + … + р(Вn) рвnр(А), В1, В2, … Вn -называются гипотезами.
Решить задачу: Для приема зачета преподаватель приготовил 50 задач: 20 по дифференциальному и 30 по интегральному исчислению. Для получения зачета студент должен должен решить первую попавшуюся ему задачу. Какова вероятность для студента получить зачет, если он знает решение 18 задач по дифференциальному и 15 по интегральному исчислению.
Решение: А - студент сдаст зачет; В1 - попадет задача по дифференциальному исчислению; В2 - по интегральному исчислению.
Р(В1) = = 0,4 р(В2) = = 0,6; рв1(А) = = 0,9; рв2(А) = = 0,5;
Р(А) = 0,4
Ответ: 0,66
Решим задачу 1. С измененным условием: Предположим, что шар вынут и известно, что он оказался белым, т. е. событие А произошло. Какова вероятность того, что шар был вынут из первого ящика?
Р(В1) - это вероятность события вычисленная до испытания;
Рв1(А) - вероятность события В1 вычисленная при условии, что событие А уже произошло.
Для решения задачи использовали формулу:
Рвi(А ) = ; i = 1, 2, … , n. Формула Байеса. ( применяется, когда известно, что событие А уже произошло).
Решить задачу: Из имеющихся на складе кинескопов 30 % изготовлены на заводе №1, остальные на заводе №2. Вероятность того, что кинескоп, изготовленный на заводе №1 не выйдет из строя в течении гарантийного срока службы, равна 0.9, для кинескопов с завода №2 эта вероятность равна 0,8. Случайным образом для поверки со склада выбирают кинескоп, который выдержал гарантийный срок. Определить вероятность того, что его изготовили на заводе №2.
Решение: А - кинескоп выдержавший гарантийный срок;
В1 - завод №1; В2 - завод №2;
р(В1) = 0,3; р(В2) = 0,7; рв1(А) = 0,9; рв2(А) = 0,8.
Р(А) = 0,3
Рв2(А) = = ( если надо найти рв1(А) = 1 - 0,67 = 0,33)
Ответ: 0,67
Решить задачи самостоятельно:
-
Имеется два набора открыток. В первом наборе имеется 13 стандартных и 2 не стандартных по размеру открытки; во втором - 8 стандартных и 2 нестандартных открытки. Определить вероятность того, что взятая наудачу открытка (из случайно выбранного набора ) стандартная.
-
В магазин поступили две партии костюмов. В первой партии - 20 синих и 15 черных, во второй -15 синих и 10 черных. Первая партия изготовлена заводом №1, вторая -заводом №2. Покупатель купил синий костюм. Определить вероятность того, что костюм изготовлен заводом №2.
-
Представитель фирмы при приеме двух партий некоторой продукции для контроля случайным образом выбирает по одному изделию из каждой партии. Вероятность выбора бракованного изделия из первой партии равна 0,1; из второй - 0,05. Найдите вероятность того, что: а) оба выбранных изделия будут без брака; б) хотя бы одно выбранное изделие без брака.
Схема Бернулли. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа в схеме Бернулли.
На практике часто приходится иметь дело с многократным повторением одного и того же испытания по возможности в одних и тех же условиях. Например, 10 выстрелов по мишени при неизменных условиях стрельбы - это десятикратное повторение одного испытания - выстрела по мишени.
Допустим, что выполняется n независимых одинаковых испытаний. Испытания независимы в том смысле, что результаты одних испытаний не влияют на результаты других.
Одинаковые независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если в каждом испытании возможны только два исхода («успех» и «неудача») и вероятности каждого из этих исходов постоянны.
Введем обозначения: р - вероятность «успеха», появления события А.
q - вероятность «неудачи», непоявление события А, тогда р + q = 1.
Пусть проводят n испытаний в которых событие А встречается m раз, и не встречается (n - m), то искомую вероятность можно вычислить по формуле Бернулли:
Рn(А = m) =
Пример: Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет только два раза?
Решение: n = 6; m = 2; p = ( только два исхода орел и решка)
q = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5 p6(A = 2) =
Ответ:
Решить самостоятельно: Вероятность попадания в цель для стрелка равна 0,6. Какова вероятность из 10 выстрелов попасть ровно 4 раза. (ответ: 0,11)
Чем больше число n в задачах тем сложнее ее вычислить. Это обстоятельство было отмечено еще в 18 веке математиками занимающимися демографическими проблемами. Возникла необходимость получения приближенной формулы для нахождения соответственно вероятности. Эта задача была успешно решена для частного случая при р = 0,5 в 1730 году английским математиком Абрахамом де Муавром и обобщена в1783 году французским математиком Пьером Лапласом.
Локальная теорема Муавра-Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна Р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний велико, то вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно m раз, приближенно равна значению функции
Рn (А = m) , где - находим в таблице П2 учебник Спирина стр.265-267.
Пример: Вероятность того, что сошедшая с конвейра деталь окажется бракованной, равна 0,1. Найти вероятность того, что 600 деталей, сошедших с конвеера, 87 деталей будут бракованными.
Решение: р = 0,1, n = 600 m = 87
q = 1 - 0.1 = 0.9 P600(A =87)
Ответ: 0,000068
Решить самостоятельно: Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле 0,7. Найти вероятность того, что при 20 выстрелах стрелок поразит мишень 15 раз.
Теорема Пуассона: Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний Бернулли достаточно велико, то вероятность того, что в этих n испытаниях событие А наступит ровно m раз, приближенно равна:
Рn(А = m) = формула Пуассона.
Пример: Завод отправил в магазин 5000 исправных телевизоров. Вероятность того, что во время пути произойдет повреждение телевизора, равна 0,0002. Какова вероятность того, что во время пути произойдет повреждение у трех телевизоров.
Решение: n = 5000 m = 3 p = 0.0002 λ = 5000
Р5000(А =3) =
Ответ: 0,062
Интегральная теорема Лапласа.
Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Событие А наступит не менее m1 раз и не более m2 раз, приближенна равна:
Рn(m1
Пример: Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 500 деталей проверку не пройдут от 70 до 100 деталей.
Решение: n = 500 m1=70 m2=100 p = 0.1
q =1 - p = 1 - 0.1 = 0.9
P500( ( Ф(7,45) и Ф(2,98) находят в таблице стр. 267 Спирина)
Ответ: 0,0013
Решить самостоятельно: Производится 600 выстрелов. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,015. Найти вероятность того, что число промахов будет не меньше 7 и не больше 9.