НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ          (1) КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА Нахождение решения (1) разобьем на три случая. 1.                Случай гиперболичности уравнения (1) В этом случае должно быть больше нуля, что возможно, если , а , где pи qнечетные числа. Составим характеристическое уравнение для уравнения (1): .               (2) Решим уравнение (2), откуда получаем такие два дифференциальных уравнения: ;  или . Последние два уравнения имеют решения: , . Введем характеристические коор...
Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (1)

КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Нахождение решения (1) разобьем на три случая.

  1. Случай гиперболичности уравнения (1)

В этом случае НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА должно быть больше нуля, что возможно, если НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, а НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, где p и q нечетные числа.

Составим характеристическое уравнение для уравнения (1):

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА. (2)

Решим уравнение (2) НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, откуда получаем такие два дифференциальных уравнения:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА или

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Последние два уравнения имеют решения:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА,

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Введем характеристические координаты ξ , η , полагая

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (3)

Найдем производные от ξ и η по x и y включительно до второго порядка.

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Тогда после введения новых переменных ξ и η получим уравнение:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА,

где НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Точно также должно НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА .

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, то есть

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Очевидно, что и НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Таким образом, в характеристических координатах уравнение (1) принимает вид: НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Разделив все члены последнего уравнения НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, получим

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (4)

из (3) имеем НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, откуда НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

После подстановки значения НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА в (4) получим уравнение:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, (5)

в котором НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Для уравнения (5) будем искать последовательность инвариантов НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА. Нулевой инвариант найдется из условия НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, имеем:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Для получения НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА введем в уравнение (5) подстановку НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, получим уравнение со следующими коэффициентами:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА,

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА,

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

ОткудаНАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАНАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Пользуясь рекуррентной формулой (6)

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, будем иметь

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Найдем пока, чему равно НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА,

откуда НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА .

Для того, чтобы подметить общий закон образования числителей инвариантов НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, предварительно найдем условия равенства нулю инвариантов НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА и НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Если НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, то НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (7)

Решим уравнения (7) относительно выражения НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (8)

Аналогично, приравнивая числитель инварианте НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАнулю, получаем НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (9)

Учитывая (8) и (9), инварианты НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА и НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА можно переписать так:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Докажем, что любой инвариант НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА , согласно подмеченной закономерности, запишется так:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Для доказательства этого предположения допустим, что оно верно до НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, т.е. НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Тогда по рекуррентной формуле будем иметь:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Обозначим числитель инварианта НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАчерез M, а НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА через N, тогда

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Таким образом НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА,

т.е. НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, что и требовалось доказать.

Теперь для обращения инварианта НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, где НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАв ноль, надо, чтобы НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (10)

Решая уравнение (10) относительно НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, будем иметь:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, откуда НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, где НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА или иначе НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, где НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (11)

Условие (11) и является необходимым и достаточным условием интегрируемости (1) в квадратурах каскадным методом Лапласа.

  1. Случай эллиптичности уравнения

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (1)

Уравнение (1) является уравнением эллиптического типа в случае, если НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, т.е. НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, где НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА. Неравенство НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА возможно при НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА или НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, но при p-четном.

Составим характеристическое уравнение уравнения (1) НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, откуда НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА получим два диф. уравнения:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАНАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАи НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Решая эти диф. уравнения, получим уравнения характеристик:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Введем характеристические координаты:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (2)

Найдем опять производные от НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА и НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА по x и y включительно до второго порядка.

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАНАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Вычислим теперь коэффициенты уравнения, полученного при введении характеристик (2).

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Точно так же должно НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Очевидно и НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, значит при введении характеристических координат уравнение (1) перепишется так:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (3)

Разделив все члены равенства (3) на НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА , будем иметь:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (4)

Сложив значения характеристических координат, выраженных через x и y, найдем НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, откуда НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Тогда (4) перепишется так:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (5)

А такое уравнение, как было показано ранее, интегрируется каскадным методом при условии, что НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, где НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА .

  1. Случай, когда в (1) y<0, p-нечетное, а q-четное

В этом случае преобразуем НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАтак:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, т.е. НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Проверим, можно ли в этом случае применять каскадный метод Лапласа. Напишем характеристическое уравнение уравнения (1).

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАпри НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, откуда

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА;

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Имеем два диф. уравнения:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА;

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, которые имеют решения:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАНАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Вводим характеристические координаты:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (2)

Находим снова производные от НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА и НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАпо x и y до 2-го порядка включительно.

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Вычислим теперь коэффициенты, получаемые вновь.

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, где имеется ввиду, что НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА. Точно также НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАНАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАКоэффициент НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА,

таким образом уравнение (1) перепишется так:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (3)

Сложив уравнения (2) почленно, получим

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, откуда НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Подставляя полученный результат в (3), будем иметь

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (4)

А, как мы уже знаем, уравнение (4) интегрируется каскадным методом Лапласа при условии, если НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, где НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА .

В случае же параболичности уравнения (1) оно решается просто, ибо в этом случае получается:НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

При НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА имеем НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; отсюда НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Таким образом получено, что уравнение

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Интегрируется в квадратурах каскадным методом при выполнении условия НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАна всей плоскости, кроме оси X, где оно интегрируется сразу.

Но для различных полуплоскостей и для определенных k, где k- рациональная дробь, применяются различные замены переменных, что и отмечается в следующей таблице:



Уравнение (1)

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

тип

подстановка

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

p, q-нечетные числа

гипербол.

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

p, q-любые целые положит.

p-четное

эллиптич.

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

p-нечетное

q-четное

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

В случае, если k=1, т.е. если имеем диф. уравнение

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, (5)

то условие необходимое и достаточное для его интегрирования в квадратурах каскадным методом Лапласа напишется так:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, где НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА .

А если в уравнение (5) предположить, что НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА , то получаем уравнение Трикоми

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Таким образом получается как побочный результат, что уравнение Трикоми не интегрируется каскадным методом, ибо ни при каком НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАвыражение НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАне равно нулю.

ПРИМЕР НА ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ВИДА КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ

Рассмотрим пример, когда в уравнении (1)

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, а НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, т.е. когда будем иметь уравнение

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (2)

Если НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАи НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАтакие, что допускают каскадное интегрирование уравнения (2), то из необходимости и достаточного условия (3) НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАприменимости этого метода можно найти НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, как целое.

А последовательное введение преобразования

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

приведет к инварианту НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, что и позволит перейти к интегрированию в квадратурах.

Подставляя в (3) данные значения НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА и НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, получаем НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Значит, преобразование НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, нужно применить к уравнению (2) три раза.

Канонический вид данного уравнения, согласно полученным результатам, будет

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Проверим, действительно ли НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Вычислим, чему равны НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА;

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Мы при этом подразумевали такую систему последовательных подстановок:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, (*)

которые приводят к уравнениям:

(**) НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Но так как НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, то будем иметь:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА(4)

Подставляя в (4) значение НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА из (2), получим:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (5)

Проинтегрируем уравнение (5).

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, где НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА- произвольная функция от НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Подставим значение НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА в уравнение НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА из системы (*)

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (6)

Проинтегрируем пока однородное уравнение

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Разделяем переменные, НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, откуда НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАНАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА или НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА (7)

Заметим, что функция НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАявляется произвольной только по НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, а по НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАдолжна быть такой, чтобы она удовлетворяла уравнению (6).

Найдем теперь функцию НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Продифференцируем (7) по НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА: НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Подставим значения НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА и НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА в равенство (6).

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА;

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Но если отождествим НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАсо второй производной некоторой функции НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, то будем иметь:

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, где НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА - произвольная функция от НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Таким образом НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА.

Теперь с учетом системы (**) можем найти искомую функцию с помощью двукратного дифференцирования.

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАНАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Далее, НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА, откуда НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА; НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСАОкончательно

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

Справедливость полученного можно проверить подстановкой в данное уравнение

НАХОЖДЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ ЛАПЛАСА

© 2010-2022