Исследовательская работа по математике Магические квадраты

Слайд 1 Тема моей работы: «Магические квадраты»

Слайд 2

Цель работы: Познакомится с историей появления магических квадратов

Задачи:

1. Исследовать способы заполнения магических квадратов 3, 4, 5 … порядков

2. Вывести алгоритм

3. Придумать применение магических квадратов

Актуальность:

Однажды, когда я ходил на олимпиаду, то одним из заданий был магический квадрат и мне захотелось узнать как можно больше о нём.

Гипотеза:

Для заполнения магического квадрата существуют специальные способы, позволяющие быстро это сделать.

Слайд 3

Трудно назвать такую область человеческой деятельности, где не приходилось бы пересчитывать предметы, группировать их, находить их размеры, форму, взаимное положение. Но счёт и измерение - это ещё не математика. Смысл и сила математики в том, что она учит нас отвечать на вопросы без лишних пересчитываний.

Из всех старинных задач меня больше всего заинтересовали магические квадраты.

Наиболее ранние сведенья о магических квадратах содержатся в древних китайских книгах IV - V веков до нашей эры. Название «магические» (или волшебные, таинственные) квадраты получили от арабов. Люди верили, что магические квадраты обладают чудесными свойствами, и использовали их как талисманы.

В древнекитайской рукописи «Же-ким» (книга перестановок) описывается предание, согласно которому император Ию увидел однажды на берегу реки священную черепаху с узором на панцире из белых и черных кружков. Этот рисунок на панцире черепахи считали магическим символом и употребляли при заклинаниях.

В Европе магические квадраты появились в XV веке. Средневековые звездочеты верили в магическую силу этих квадратов, которые, по их убеждению, могли служить талисманами против чумы.

Слайд 4 Исследование способов заполнения магических квадратов

Однажды я встретил интересную задачу:

«Заполнить натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3х3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны 15»

Я нашел 8 вариантов:

Исследуя магические квадраты, я увидел следующую закономерность:

- если двигаться по часовой или против часовой стрелки, то можно получить 3 новых квадрата;

- если исходный квадрат взять в зеркальном отражении и двигаться по кругу, то получим еще 4 квадрата.

Но таких квадратов должно было быть не 8, а множество, так как каждый хотел иметь собственный магический квадрат - талисман, свою собственную защиту от бед и напасти,

В это же время люди увлекаются нумерологией, то есть влиянием числа на судьбу человека. Следовательно, возникала потребность в квадратах не только с числом 15.

Слайд 5

Я стал пробовать составлять другие квадраты. Сначала приписывал один 0, два 0 к числам.

Слайд 6

Затем при чтении литературы по данной проблеме мне встретилась ещё одна задача:

«Числа от 2 до 10 разместить в квадрате 3х3 так, чтобы сумма чисел по любой горизонтали, вертикали, и диагонали равнялось 18»

Решив эту задачу, я стал искать принцип составления других.

Если сумма - 15, то числа в квадрате от 1 до 9

Если сумма - 18, то числа в квадрате от 2 до 10

Так как 15 меньше 18 на 3, то я предположил, что следующая сумма будет равна 21, а числа в квадрате будут от 3 до 11.

Квадрат получился

4

9

8

11

7

3

6

5

10

Слайд 7

Проверял дальше до суммы равной 51.

После изучения квадратов, составленных мной, и таблицы, я выяснил, что прослеживаются закономерности:

- сумма чисел в строках, столбцах и диагоналях должна делиться на 3,

- частное от деления суммы чисел в квадрате и 3-х будет стоять в центре квадрата и являться пятым числом в ряду натуральных чисел, которые необходимо найти,

- при делении суммы всех чисел в квадрате на 3 получается сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям.

Итак, магических квадратов размером 3х3 множество,

Слайд 8

Возникает вопрос: можно ли составить магические квадраты 4х4, 5х5, 6х6, 7х7, и т.д.?

Используя эти закономерности, определим сумму чисел в строках, столбцах и диагоналях в квадрате 4х4.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136

136 : 4 = 34 - искомая сумма.

Запишем эти числа в квадрате по порядку

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Выясняется, что сумма чисел по диагоналям равна 34. Следовательно, надо поменять местами только числа 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 14, 15.

Слайд 9

В первой строке числа 1, 4 остаются на местах.

1+4=5 => 34 - 5 = 29 => Значит сумма двух искомых чисел равна 29. Из ряда чисел 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15 видно, что это числа 14 и 15. В это же время замечаем, что в четвёртой строке не хватает 2, 3.

14

15

1

4

6

7

10

11

13

16

2

3

После подсчётов сумм по столбцам выясняю, что меняются числа так: 14 с 3, 15 с 2.

Аналогично меняю числа 5 и 12, 9 и 8

1

2

3

4

1

15

14

4

1

15

14

4

5

6

7

8

5

6

7

8

12

6

7

9

9

10

11

12

9

10

11

12

8

10

11

5

13

14

15

16

13

3

2

16

13

3

2

16

Слайд 10

По полученному правилу составляю квадраты 4х4 с числами от 2 до 17 с суммой чисел по строкам, столбцам, диагоналям 38 и с числами от 3 до 18 с суммой - 42.

2

3

4

5

=>

2

16

15

5

3

4

5

6

=>

3

17

16

6

6

7

8

9

13

7

8

10

7

8

9

10

14

8

9

11

10

11

12

13

9

11

12

6

11

12

13

14

10

12

13

7

14

15

16

17

14

4

3

17

15

16

17

18

15

5

4

18

Принцип подтверждается.

Исследуя суммы 34, 38, 42 и квадраты, выясняю следующее:

34:4=8 (ост. 2)

8-2=6 -первое центральное число,

38:4=9 (ост. 2)

9-2=7 - первое центральное число,

42:4=10 (ост. 2)

10-2=8 - первое центральное число.

Итак, чтобы составить магический квадрат 4х4 необходимо число (является суммой чисел по столбцам строкам и диагоналям), которое делится на 4 с остатком 2. От значения частного данного числа и 4 отнимаем остаток 2 и получаем 1-е центральное число. Расставляем числа (последующие и предыдущие) по порядку, затем меняем числа наискосок.

Слайд 11

Пробую составить квадрат 5х5.

Определяю сумму чисел в магическом квадрате:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+…+25) : 5 = 65

65 : 5 = 13 - центральное число.

Записываю числа по порядку по диагоналям.

5

4

10

3

9

15

2

8

14

20

1

7

13

19

25

6

12

18

24

11

17

23

16

22

21

Сумма по диагоналям равна 65. Определяю, где должны стоять остальные числа и получаю магический квадрат

3

16

9

22

15

20

8

21

14

2

7

25

13

1

19

24

12

5

18

6

11

4

17

10

23

Проверив свое предположение о том, что сумма чисел должна делиться на 5, и правило составления квадрата 5х5 путем составления других квадратов 5х5, пришел к следующему выводу:

Чтобы составить магический квадрат 5х5, необходимо, чтобы число, которое является суммой чисел по диагоналям, столбцам и строкам, делилось на 5.

Разделив его на 5, получаем центральное число.

Расставляем последующие и предыдущие центральному числа по диагонали и заполняем пустые клетки.

Слайд 12

Выводы:

1. При составлении магических квадратов я заметил, что квадраты с четным числом клеток составляются по одной закономерности, а с несчетным - по другой.

Итак, для составления квадрата с нечетным числом (2n+1) клеток необходимо, чтобы сумма чисел по столбцам, строкам и диагоналям делилась на количество клеток одной стороны.

Частное от этого деления является центральным числом квадрата.

Далее расставляются по порядку предыдущие и последующие числа по диагоналям.

Пустые клетки заполняются числами, оказавшимися за квадратом.

а+2

а+1

а

а-1

а-2

Для составления квадрата с четным (2n) числом клеток необходимо взять число, которое делится на количество клеток одной стороны с определенным остатком (деля количество клеток одной стороны на 2, получаем необходимый остаток).

Если от частного суммы и стороны квадрата отнять остаток, то получится 1-е центральное число.

Далее расставляются числа в возрастающем и убывающем порядке по строкам.

По диагоналям числа остаются на месте, остальные меняются между собой.

b-2

b-1

b

b+1

b+2

b+3

2. Не каждое число является суммой чисел в магическом квадрате. Каждый квадрат имеет свою минимальную сумму, прибавляя к которой число клеток стороны квадрата, получаются следующие суммы.

Итак, для квадрата

3х3

min сумма

15

4х4

-

34

5х5

-

65

6х6

-

111

7х7

-

175

8х8

-

260

Например, число 16 не является суммой ни одного магического квадрата, а число 165 - сразу 2-х магических квадратов 3х3 и 5х5.

Слайд 13

Где можно применить эти знания о способах составления магических квадратов?

Я стал составлять разнообразные математические задачи.

Получилось несколько типов:

1. Найди значения выражений, впиши их в клетки квадрата с подходящими буквами и заполни пустые клетки, чтобы квадрат стал магическим:

а)

1

:

5

(1)

е)

65

*

6

:

13

*

3

(9)

2

10

5

2

б)

5

*

6

(6)

ж)

32

1

:

2

1

(13)

1

5

2

2

в)

146

-

91

(11)

з)

1

+

1

+

6

-

2

+

4

+

5

(2)

5

5

10

5

10

10

5

10

г)

54

+

13

()

и)

631

2

:

63

12

(10)

18

10

100

д)

56

:

24

(7)

3

а

б

д

е

и

в

ж

з

г

2. 10 чисел, помеченные красным цветом стоят не на своих местах. Поставь их на свои места так, чтобы сумма по всем строкам, столбцам и диагоналям была одной и той же.

1

35

34

33

2

6

25

8

18

30

11

9

20

7

15

16

23

19

24

17

21

22

14

13

12

26

10

27

29

5

31

32

4

3

28

36

3. На старой доске нарисован квадрат. В клетках этого квадрата должны стоять числа от 1 до 25 так, чтобы сумма чисел по всем срокам, столбцам и диагоналям была ровна 65, но несколько чисел стерлись. Впиши недостающие числа.

3

16

22

15

21

14

25

13

19

24

6

11

17

10

В данной работе рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из интересных вопросов математики - магических квадратов.

Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики: теории групп, определителей, матриц и др.

Я считаю, что материалы моего исследования можно использовать при подготовке к олимпиадам по математике, на математических кружках и факультативах, при проведении внеклассных мероприятий с целью развития и расширения своего познавательного кругозора, развития логического мышления.