Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя образовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов с. Тербуны

Учебно-исследовательская работа

Автор:

ученик 8 «Б» класса

Волков Владимир Викторович

Руководитель:

учитель математики

Болгова Нелля Васильевна

2015

Оглавление

Введение…………………………………………..……………………………..3

Теоретическая часть

Глава I. Теория вероятностей - что это?………………..………………..........5

1. Немного истории…………………………………………… ……………5

2. Основные понятия теории вероятностей………………………………..5

3. Теория вероятностей в жизни…………………………………………….8 Практическая часть

Глава II. Контрольная работа в форме тестов как пример использования теории вероятностей жизни

2.1. Контрольная работа в форме тестов и государственная итоговая аттестация…………………………………………………………………………9

Экспериментальная часть………………………………………………………..9

Анкетирование…………………………………………………………………9

Контрольная работа по математике……………..…………………………..10

Контрольная работа по обществознанию…………………………………...11

Заключение………………………………………..…………………………..13

Литература…………………………………………………………………….14

Высшее назначение математики…состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Н.Винер

Введение

Мы, не раз слышали или сами говорили "это возможно", "это не возможно", это обязательно случится", "это маловероятно". Такие выражения обычно употребляют, когда говорят о возможности наступления события, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.

Цель моего исследования: определить вероятность получения положительной отметки при написании контрольной работы в форме теста путем угадывания правильного ответа, применяя теорию вероятностей.

Для реализации целей я поставил перед собой задачи:

1)собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;

2) рассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности;

3) провести исследование по определению вероятности получения положительной оценки при написании контрольной работы в форме теста путем угадывания правильного ответа.

Я выдвинул гипотезу: с помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни.

Объект исследования -теория вероятностей.

Предмет исследования: практическое применение теории вероятностей.

Методы исследования:1)анализ,2)синтез, 3)сбор информации, 4)работа с печатными материалами, 5)анкетирование,6)эксперимент.

Я считаю, что вопрос, исследованный в моей работе, является актуальным по ряду причин:

1. Случай, случайность - с ними мы встречаемся повседневно. Кажется, как можно «предвидеть» наступление случайного события? Ведь оно может произойти, а может и не сбыться! Но математика нашла способы оценивать вероятность наступления случайных событий. Они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

2. Серьёзный шаг в жизни каждого выпускника - ГИА и Единый государственный экзамен. Мне тоже предстоит на следующий год сдавать экзамены. Успешная его сдача - это дело случая или нет?

В ходе знакомства с теорией вероятности, изучения дополнительной литературы я познакомился с историей развития теории вероятности, узнал о ученых, которые внесли огромный вклад в развитие этой науки, научился решать задачи с помощью формулы Бернулли.

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть- и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.» Г.Лейбниц.

Глава 1.Теоретическая часть

1. Немного истории

Корни теории вероятностей уходят далеко вглубь веков. Известно, что в древнейших государствах Китае, Индии, Египте, Греции уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения, и даже определения численности войска неприятеля.

Первые работы по теории вероятностей, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма, голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартних играх. Крупный успех теории вероятностей связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли(1654-1705гг.). Он открыл знаменитый закон больших чисел: дал возможность установить связь между вероятностью какого-либо случайного события и частотой его появления, наблюдаемой непосредственно из опыта.

Следующий период истории теории вероятностей ( XVIII в. и начало ХIХ в.) связан с именами А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса и С. Пуассона. В этот период теория вероятностей находит ряд применений в естествознании и технике.

Третий период истории теории вероятностей, (вторая половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова. Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ теории вероятностей разработана в 1933 году математиком А. Н. Колмогоровым.

2. Определение и основные формулы

Итак, насколько эта теория полезна в прогнозировании и насколько она точна? Каковы ее основные тезисы? Какие полезные наблюдения можно вынести из текущей теории вероятностей?

Основным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу».

В словаре С.И.Ожегова дается толкование слова вероятность как «возможности осуществления чего-нибудь». И здесь же дается определение понятию теории вероятностей как «разделу математики, изучающей закономерности, основанные на взаимодействии большого числа случайных явлений».

В учебнике «Алгебра» для 9 класса под редакцией А.Г.Мордковича дается следующее определение: теория вероятностей - раздел математики, который «занимается исследованием закономерностей в массовых явлениях».

При изучении явлений, мы проводим эксперименты, в ходе которых происходят различные события, среди которых различают: достоверные, случайные, невозможные, равновероятные.

Событие U называют достоверным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие U обязательно произойдет. Например, достоверным будет появление одного из шести чисел 1,2,3,4,5,6 при одном бросании игральной кости.

Событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. Например, при однократном бросании игральной кости может выпасть число 1 или не выпасть, т.е. событие является случайным, потому что оно может произойти, а может и не произойти.

Событие V называют невозможным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие V не произойдет. Например, невозможным является выпадение числа 7 при бросании игрального кубика.

Равновероятные события - это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь если случайное, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности.

Принято вероятность события А обозначать буквой Р(А),тогда формула для вычисления вероятности записывается так:

Р(А)=, где m ≤n(1)

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу исходов n всех исходов испытания. Из формулы (1) следует, что

0≤ Р(А)≤ 1.

Данное определение принято называть классическим определением вероятности. Оно применяется, когда теоретически удается выявить все равновозможные исходы испытания и определить благоприятствующие исследуемому испытанию исходы. Однако на практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых очень велико. Например, без многократного подбрасывания кнопки трудно определить, равновозможны ли ее падения на «на плоскость» или на «острие». Поэтому используется и статистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью называют число, около которого колеблется относительная частота события (W(A)- отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведенных испытаний N) при большом числе испытаний.

Также я познакомился с формулой Бернулли - это формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу:

P(m)=

Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации, необходимо:

• найти общее количество исходов этой ситуации;

• найти количество возможных исходов, при которых произойдёт событие А;

• найти, какую часть составляют возможные исходы от общего количества исходов.

  2. Теория вероятностей в жизни.

В развитии теории вероятностей весьма большую роль играли задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости.

Игры в кости

Инструментом для игры являются кубики (кости) в количестве от одного до пяти в зависимости от вида игры. Суть игры состоит в выбрасывании кубиков и дальнейшем подсчёте очков, количество которых и определяет победителя. Основной принцип игры в кости - каждый игрок по очереди бросает некоторое количество игральных костей (от одной до пяти), после чего результат броска (сумма выпавших очков; в некоторых вариантах используются очки каждой кости по отдельности) используется для определения победителя или проигравшего.

Лотерея

Лотерея - организованная игра, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера (жребия, лота).

Теория вероятности применяется в селекции при разведении ценных сортов растений, при приемке промышленной продукции, при расчете графика разгрузки вагонов и т.д.

Глава II. Контрольная работа в форме тестов как пример использования теории вероятностей жизни

Я сегодня обучаюсь в 8б классе, и на следующий год мне предстоит сдавать экзамены. Многие контрольные работы по различным предметам предлагаются в виде тестов с выбором правильного ответа. На следующий год мне сдавать основной государственный экзамен и экзаменационные работы по различным предметам имеют свои особенности, но во всех из них, в том числе и по математике в части 1 даны задания с выбором ответа. Среди учеников возник вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку за контрольную работу?». Я провел опрос среди обучающихся 8 классов: можно ли практически угадать 7 заданий из 10, т.е. получить положительную отметку без подготовки. Результаты такие: 40% респондентов считают, что смогут получить положительную отметку указанным выше способом. Результаты опроса представлены в диаграмме.

Я решил проверить, правы ли они? Ответить на этот вопрос можно путем использования элементов теории вероятностей. Я хочу проверить это на примере контрольных работ по математике в 4,8,9.классах и на примере наиболее предпочитаемых предметов в 11 классе. По данным 2014 года 49% выпускников РФ, в Липецкой области 67% и 62% выпускников МБОУ СОШ с.Тербуны выбрали в качестве предмета по выбору обществознание.

Контрольные работы по математике.

Контрольная работа в форме тестов по алгебре в 8 классе. Тест включает 10 с выбором ответа из 4-х предложенных. Для того, чтобы получить положительную отметку нужно выполнить 7заданий. Каждое задание имело 4 варианта ответов, один из которых правильный. Определить вероятность получения положительной оценки на экзамене можно по формуле Бернулли:

Схема Бернулли описывает эксперименты со случайным исходом, заключающиеся в следующем.[5,]Проводятся n последовательных независимых одинаковых экспериментов, в каждом из которых выделяется одно и тоже событие А, которое может наступить или не наступить в ходе эксперимента. Так как испытания одинаковы, то в любом из них событие А наступает с одинаковой вероятностью. Обозначим ее р = Р(А). Вероятность дополнительного события обозначим q. Тогда q = P(Ā) = 1-p

Пусть событие А - это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании первой части. Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4). Тогда p=P(A)= и q=P(Ā)=1-p=.

P₁₀(7)=C⁷p⁷q^10-7

C^m=C⁷= 10•9…•5•4/7! =120

P^m=(1/4)⁷

q^n-m=(3/4)^10-7=(3/4)³

P_n(m)=120•(1/4)⁷•(3/4)³≈0,003

(это означает, что только 3 ученика из 1000могут получить положительную отметку).

На примере теста я предложил обучающимся 8А класса выбрать ответы путем угадывания. И вот, что у меня получилось.

Баллы

Класс

Всего

испытаний

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

8а

60

5

5

12

13

7

9

8

0

1

0

0

8б

60

1

15

16

13

7

8

0

0

0

0

0

4б

18

1

2

8

1

4

1

0

1

0

0

0

9а

14

0

1

3

2

3

2

1

2

0

0

0

9б

19

1

1

4

2

6

3

2

0

0

0

0

Контрольные работы по обществознанию.

Первая часть демонстрационного варианта ЕГЭ 2014 года по обществознанию содержит 20 заданий с выбором ответа, из которых только один верный. Определим вероятность получения положительной оценки. Рособрнадзором установлен минимальный первичный балл по обществознанию - 15.

Вероятность получения положительной оценки:

= =15504

0,000003*100%=0,0003%

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,0003%!

В результате проведенного эксперимента и применяя формулу Бернулли, я доказал, что получить положительную отметку по контрольной работе в форме тестов и в будущем сдать экзамены путем угадывания ответа невозможно.

Если в 2007 году вероятность сдачи ЕГЭ по математики была достаточно маленькой ( 3 из 1000), то в 2010 эта вероятность сведена к нулю, т.к. при сдаче ЕГЭ по математике в новой версии первая часть ( задания с выбором ответа отсутствует.) Мне думается, что в Министерстве образования РФ так же как и я провели исследовательскую работу по такой же проблеме, потому что при работе над своей работой я прочитал выступление министра образования Дмитрия Ливанова, в котором он сказал: «Из всех экзаменов исчезнут задания с выбором ответа, где человек может просто угадать".

Заключение

В результате проделанной мной работы, я добился реализации поставленных перед собой задач:

во-первых, понял, что теория вероятностей - это огромный раздел науки математики и изучить его в один заход невозможно;

во-вторых, множество фактов из жизни, и проведя эксперименты, я понял, что действительно с помощью теории вероятностей можно предсказать события, происходящие в различных сферах жизнедеятельности;

в-третьих, исследовав вероятность получения положительной отметки по контрольным работам, проводимых в форме тестов, успешной сдачи обучающимися 11 классов ЕГЭ по обществознанию, я пришел к выводу, что только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к участию в ГИА и ЕГЭ. Таким образом, выдвинутая мной гипотеза подтвердилась, с помощью теории вероятностей я доказал, что к экзаменам надо готовиться, а не рассчитывать на авось.

На примере моей работы можно сделать и более общие выводы: подальше держаться от всяких лотерей, казино, карт, азартных игр вообще. Всегда надо подумать, оценить степень риска, выбрать наилучший из возможных вариантов - это, я думаю, пригодится мне в дальнейшей жизни.

Литература

1. Мордкович Алгебра 9 класс учебник для общеобразовательных учреждений: базовый уровень. М.:Просвещение,2010.

2. Бродский Я.С. «Статистика. Вероятность. Комбинаторика»-М.: Оникс; Мир и Образование, 2008 г.

3. Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования»//Математика в школе.-2003.-№3.

4. Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.-М.:Просвещение,1984.

5. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей.-М.:Просвещение 1990.

6. Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. М.:Просвещение,2007.

7. Панов Э. Введение в статистику//Математика(приложение к газете «Первое сентября»),2004,№25-26.

8. Семеновых А. Комбинаторика//Математика(приложение к газете «Первое сентября»),2004,№16,17.

9. Федосеев В.Н .Элементы теории вероятностей для VII-IX классов средней школы.//Математика в школе.-2002.-№4,5.

10. Что такое. Кто такой: В 3 т.Т.1 - 4-е изд. перераб.и доп.-М.:Педагогика-Пресс,1997.

Ресурсы:

1. blagodeteleva-vovk.com/theory/never.htm

2. habrahabr.ru/blogs/gtd/101695

3. prosto.ws/2010/03/02/ot-teorii-veroyatnosti-k-teorii-vsego

4. mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter4/section3/paragraph1/theory.html

5. ru.wikipedia.org/wiki

6. fipi.ru