Тема: «Решение задач на построение методом геометрических мест (Г.М.Т.)»

Цель: 1) Повторить основные места точек, определения (Г.М.Т.).

2) Решать задачи на построение методом Г.М.Т.

План:

I. Повторение:

1. Геометрическое место точек

Вывод: если фигура является геометрическим местом точек, то:

1. 1. Любая точка этой фигуры обладает указанным свойством

   2. Все точки с указанным свойством принадлежат этой фигуре.

2. Основные геометрические места точек

   1. Г.М.Т., равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

   2. Г.М.Т., равноудаленных от данной мочки, есть окружность с центром в этой точке и с радиусом, равным данному расстоянию.

   3. Г.М.Т., равноудаленных от сторон угла, есть биссектриса этого угла.

   4. Г.М.Т., равноудаленных от данной прямой, есть две прямые, параллельные данной и отстоящее от нее на данное расстояние.

   5. Г.М.Т., равноудаленных от двух параллельных прямых, есть прямая, параллельная данным прямым и одинаково отстоящая от них.

   6. Г.М.Т., из которых отрезок АВ виден под данным углом , и которые лежат по одну сторону от прямой АВ, есть дуга окружности с концами в точках А и В.

II Сущность метода геометрических мест при решении задач на построение.

Мы должны построить точку Х, удовлетворяющую двум условиям:I есть фигура F₁, а Г.М.Т., удовлетворяющих второму условию - есть F₂. ХF₁, ХF₂, т.е. является их точкой пересечения.

Точка С удовлетворяет двум условиям: 1) находится на данном расстоянии от точки А и 2) на данном расстоянии от В.

III. Два вида задач на Г.М.Т.

Дана некоторая фигура и на ней требуется найти точку, удовлетворяющую определенным условиям. В этом случае искомая точка удовлетворит следующим условиям:

а) принадлежит указанной в условии задачи геометрической фигуре;

б) принадлежит фигуре, все точки которой обладают определенным свойством.

Задача № 1. На прямой, пересекающей стороны угла, найти точку, одинаково удаленную от сторон данного угла.

I. Анализ.

1) Искомая точка Х принадлежит прямой MN, пересекающей стороны угла А;

2) точка Х одинаково удалена от сторон АМ и AN угла А, следовательно, Г.М.Т., удовлетворяющих этому условию, есть биссектриса угла А;

3) Искомая точка Х лежит на пересечении прямой MN и биссектрисы угла А.

II. Построение:

1) m - биссектриса угла А,

2) Х=MN∩m.

Задача №2. найти на данной прямой АВ точку, которая находится на расстоянии m от другой данной прямой С, не параллельной АВ.

1. Анализ. 1) Искомая точка Х лежит на данной прямой АВ;

2) Точка Х находится на данном расстоянии от данной прямой С, следовательно, Г.М.Т., удовлетворяющих этому условию, есть две прямые, параллельные данной прямой и отстоящие от нее на данном расстоянии m;

3) Искомая точка Х лежит на пересечении прямой АВ и двух прямых, параллельных прямой с, отстоящих от нее на расстоянии m.

II. Построение

1) а॥ с - на расстоянии m от с

2) в॥с - на расстоянии m от с

3) а॥в пересекаются с прямой АВ в точках Х₁ и Х₂.

Вывод: этот метод состоит в следующем:

1. изобразить геометрическую фигуру, которой принадлежит искомая точка Х;

2. сформулировать, исходя из текста задачи условия, которому удовлетворяет искомая точка Х;

3. назвать Г.М.Т., удовлетворяющих этому условию;

4. построить это Г.М.Т.;

5. найти точку (точки) пересечения данной фигуры и геометрического листа точек.

Задача №3. На стороне данного острого угла найти точку, отстоящую от другой стороны на данном расстоянии.

1. Анализ.

1)  АВС (искомая точка Х лежит на стороне АВ этого угла).

2) Искомая точка Х удовлетворяет условию: она удалена от стороны ВС на данное расстояние d.

3) Г.М.Т., удовлетворяющих этому условию, есть прямая, параллельная данной и отстоящая от нее на данном расстоянии.

II. 4) Построение названного Г.М.Т.

5) Точка Х - искомая, т.к. лежит на пересечении данной фигуры (АВ и угла АВС) и названного геометрического места точек.

Решить задачи (дидактический материал)

1. Дан ∆ АВС. На биссектрисе угла А найти точку, равноудаленную от вершины В и С.

2. На серединном перпендикуляре к стороне АС ∆АВС найти точку, равноудаленную от сторон АС и ВС данного треугольника.

3. Дан ∆MNK. На перпендикуляре, проведенном из вершины N к стороне MK или ее продолжению, найти точку, равноудаленную от вершин N и K.

Требуется построить два геометрических листа точек и найти точку (точки) их пересечения.

Задача. Построить точку, равноудаленную от двух данных параллельных прямых и, находящуюся на данном расстоянии от данной точки.

1. Анализ. Пусть а и в - данные прямые, а॥в, M- данная точка, d - данное расстояние.

   1. Искомая точка Х удовлетворяет двум условиям:

а) одинаково удалена от параллельных прямых а и в;

б) находятся на данном расстоянии от точки M.

2) Г.М.Т., удовлетворяющих первому условию, есть прямая l , параллельная прямым а и в и одинаково отстоящая от них.

3) Г.М.Т., удовлетворяющих второму условию, есть окружность данного радиуса d с центром в точке М.

4) Искомая точка Х лежит на пересечении этих геометрических мест.

II. Построение.

1) Проводим прямую l ॥ а, l ॥ в и равноудаленную от них.

2) Окружность (М, d)

3) Х₁ и Х₂ - точки пересечения прямой l и окружности. (М,d)

Задача. На сторонах АВ и ВС острого угла АВС даны соответственно точки M и N. Найти точку Х, равноудаленную от сторон угла АВС и удовлетворяющую условию ХМ=ХN.

I. Анализ.

1) искомая точка Х удовлетворяет двум условиям

а) она одинаково удалена от сторон АВ и ВС данного угла;

б) она удовлетворяет условиям ХМ=ХN.

2) Г.М.Т., удовлетворяющее первому условию, есть биссектриса l угла АВС;

3) Г.М.Т., удовлетворяющее второму условию, есть прямая перпендикулярная к отрезку MN и проходящая через его середину;

4) Искомая точка Х лежит на пересечении геометрических мест.

II. Построение:

1) Биссектриса l;

2. MN - отрезок

3. DХ - серединный перпендикуляр к отрезку MN

4. Х - точка пересечения биссектрисы l угла АВС и серединного перпендикуляра DХ к отрезку MN, где ХM=ХN

Процесс решения рассмотренных задач позволит построить обобщенный прием решения задач второго вида методом геометрических мест:

1. на основе анализа задачи сформулировать два условия, которым удовлетворяет искомая точка Х;

2. назвать Г.М.Т., удовлетворяющих первому условию;

3. назвать Г.М.Т., удовлетворяющих второму условию;

4. построить названные геометрические места точек;

5. найти искомую точку (точки) пересечения этих геометрических мест.

Рассмотрим задачи, для решения которых применяется сформулированный прием. (Дидактический материал)

Задача: Даны угол и точка М внутри угла. Найти такую точку, которая была бы одинаково удалена от обоих сторон угла и отстояла бы от точки М на данное расстояние а.

Пользуясь сформулированным приемом, получаем:

1) Искомая точка Х удовлетворяет двум условиям:

а) она одинаково удалена от обоих сторон данного угла;

б) она удалена от данной точки М на данное расстояние а.

2) Г.М.Т., удовлетворяющих первому условию, есть биссектриса данного угла.

3) Г.М.Т., удовлетворяющих второму условию, есть окружность, радиуса а с центром в точке М

4) Построение данных Г.М.Т.

5) Точки Х₁ и Х₂ искомые, так как они лежат на пересечение названных Г.М.Т.

Дидактический материал

1. Даны угол А и точки В и С, расположенные одна на одной стороне угла, другая на другой. Найти точку Р такую, чтобы каждая из них одинаково отстояла от А и Р.

2. Даны четыре точки А, В, С, D. Найти точку Х такую, чтобы она была одинаково удалена от точек А и В, и С и D.

3. Построить треугольник по основанию, углу при вершине и медиане, проведенной к основанию.

4. Построить треугольник по основанию, углу при вершине и высоте, проведенной через вершины этого угла.

5. Построить параллелограмм по его углу и диагоналям.

Указания.

При решении последних трех задач используется геометрическое место точек, через которых данный отрезок виден под данным углом, т.е. строится сегмент, вмещающий данный угол.

Умение строить основные геометрические места точек является завершающем этапом в подготовке учащихся к использованию специальных приемов решения задач на построение методом геометрических мест.