Нестандартные методы решения задач по математике

Методы, основанные на использовании монотонности функции: Задача 1. Решить уравнение:  х6  - |7x – 8|3 = 25cos(x2 ) - 25cos(7х-8) Решение:  х6  - |7x – 8|3 = 25cos(x2 ) - 25cos(7х-8)   |7x – 8|3 - 25cos(7х-8) =  25cos(x2 ) - x2Введем функцию: f(х) = |t|3 – 25tf(х)= f(х)Найдем производную:f(х) = 3t2 – 25уравнение сведется к двум уравнениям:        x2  = ± (7х-8)          х2 +7х -8 = 0                                      х2 +7х + 8 = 0                                              х1 = -8, х2 = 1 ... Задача 1 На сторонах ВС и СА треугольника АВС взяты точки К и L так, что BK:KC=2: 3 , AL:LC= 7: 5. Пусть точка О – точка пересечения отрезков АК и BL. Найти в каком отношении точка О делит эти отрезки.  Решение:  Прямая   AK  пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВLС. По теореме Менелая:   BO/OL  • AL/AC   • CK/KB  = 1, т.е.   BO/OL • 7/12 • 3/2 = 1  ⇒    BO/OL • 7/8 = 1 ⇒  BO/OL = 8/7  Прямая   BL  пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника AKС. По теореме Менелая:   AL/LC • CB/BK • KO/AO  =  1, т.е.    7/5 • 5/2 • KO/AO=1  ⇒   7/2 • KO/AO = 1 ⇒  AO/KO = 7/2      Ответ:  АО:ОK=7: 2 , ВО:ОL= 8: 7.  Задача 2 В треугольнике АВС на сторонах AВ, BС и АC выбраны соответственно точки М , N и K соответственно, делящие их в отношениях AM:MВ=2:3, АK:KC=2:1 и ВN:NC=1:2. Отрезки АN и KM пересекаются в точке О. Найдите, в каком отношении точка О делит отрезок АN.   Решение:   Рассмотрим следующий рисунок:  Прямая   MD  пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВAN: По теореме Менелая:  BM/MA • AO/ON • ND/BD=1     ⇒      3/2 • AO/ON • ND/BD=1,    Введем обозначение:  CD = х, тогда имеем:  3/2 • AO/ON • ((2+х))/((3+х)) =1  ⇒   (AO )/ON= (2(3+х))/(3(2+х))   (⋆) Прямая   MD  пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника ВAC: По теореме Менелая:    BM/MA • AK/KC • CD/BD=1     ⇒      3/2 • 2/1 • CD/BD=1,     Учитывая введенное  обозначение  CD = х, получим:   3х/((3+х))=1     х= 1,5= СD, подставляя  в равенство (⋆) , имеем:  AO/ON = (2(3+1.5))/(3(2+1,5))   ⇒  AO/ON=6/7 . Ответ:  АО:ОN=6: 7        Задание 5.Задача 1Решить уравнение:log_2〖(16у^2-8у+33)=√(25-х^4+4х^2 у-4у^2 )〗Решение:  Оценим левую и правую части уравнения:log_2〖(16у^2-8у+33)≥5,т.к.〗  16у^2-8у+33≥32, а log_2〖32=5〗√(25-х^4+4х^2 у-4у^2 )  ≤5,  т.к. √(25-х^4+4х^2 у-4у^2 )=√(25-〖(х^2-2у)〗^2 ), 25-〖(х^2-2у)〗^2  ≥0,т.е.〖(х^2-2у)〗^2≤25, то √(25-х^4+4х^2 у-4у^2 )  ≤5Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равн...